Πήγαινε σε

Βιβλιο V.

Οροι.

I.

Ένα μέγεθος λέγεται μέρος ή υποπολλαπλάσιο ενός μεγαλύτερου μεγέθους, αν μπορούμε να μετρήσουμε το δεύτερο μέγεθος με μονάδα μέτρησης το πρώτο. Δηλαδή το μικρότερο να περιέχεται κάποιον αριθμό φορές στο μεγαλύτερο.

II.

Αν ένα μέγεθος μπορεί να μετρηθεί από ένα μικρότερό του, τότε αυτό λέγεται πολλαπλάσιο του μικρότερού του. Δηλαδή, εάν το μεγαλύτερο περιέχει το μικρότερο κάποιον αριθμό φορές.

III.

Λόγος δύο ομοειδών μεγεθών είναι η (κατά πηλικότητα) σχέση που προκύπτει από την σύγκριση του μεγέθους των.

IV.

Δύο μεγέθη λέμε ότι έχουν λόγο μεταξύ τους, όταν είναι ομοειδή· και όταν το μικρότερο από αυτά, πολλαπλασιάζοντάς το κατάλληλα, μπορούμε να καταφέρουμε να υπερέχει (να είναι μεγαλύτερο) του μεγαλύτερου.

Οι υπόλοιποι ορισμοί θα δοθούν όπου πρωτοχρειαστεί η βοήθειά τους.

Στις Σημειώσεις του Μεταφραστή (Σ.τ.Μ.) στα παρακάτω, οι α, β, γ, κ.ο.κ, θα συμβολίζουν γενικά μεγέθη (σύμμετρα και ασύμμετρα) ενώ οι m, n, l, κ.ο.κ, θα συμβολίζουν θετικούς ακέραιους.

Αξιωματα.

I.

Τα ίσες φορές (ισάκις) πολλαπλάσια ή τα ίσες φορές υποπολλαπλάσια του ίδιου μεγέθους ή ίσων μεγεθών είναι ίσα.

Αν Α = Β, τότε δυο φορές Α = δυο φορές Β, δηλαδή, 2 Α = 2 Β, 3 Α = 3 Β, 4 Α = 4 Β, κ.ο.κ, κ.ο.κ. και 1 / 2 του Α = 1 / 2 του Β, 1 / 3 του Α = 1 / 3 του Β, κ.ο.κ, κ.ο.κ.

II.

Το πολλαπλάσιο ενός μεγαλύτερου μεγέθους είναι μεγαλύτερο από το ισάκις πολλαπλάσιο ενός μικρότερου μεγέθους.

Αν Α > Β, τότε 2 Α > 2 Β, 3 Α > 3 Β, 4 Α > 4 Β, κ.ο.κ, κ.ο.κ.

III.

Το μέγεθος αυτό, του οποίου ένα πολλαπλάσιο είναι μεγαλύτερο από το ισάκις πολλαπλάσιο ενός άλλου, είναι μεγαλύτερο από το άλλο.

Αν 2 Α > 2 Β, τότε Α > Β, ή, αν 3 Α > 3 Β, τότε Α > Β ή, αν 4 Α > 4 Β, τότε Α > Β. κ.ο.κ, κ.ο.κ.

Προταση I. θεωρημα.

Αν οποιοδήποτε πλήθος μεγεθών είναι ισάκις πολλαπλάσια ίσου πλήθους άλλων μεγεθών, ένα προς ένα, τότε, όσες φορές πολλαπλάσιο είναι το πρώτο μέγεθος του μέρους του, τόσες φορές θα είναι πολλαπλάσια τα πρώτα μεγέθη από τα άλλα μεγέθη αν αυτά παρθούν μαζί (αν προστεθούν).

Έστω το Red dome Red dome Red dome Red dome Red dome είναι ίσες φορές πολλαπλάσιο του Red dome ,
όσες είναι το Yellow home Yellow home Yellow home Yellow home Yellow home του Yellow home .
και το Blue drop Blue drop Blue drop Blue drop Blue drop είναι του Blue drop .

Τότε είναι προφανές ότι το
Red dome Red dome Red dome Red dome Red dome Yellow home Yellow home Yellow home Yellow home Yellow home Blue drop Blue drop Blue drop Blue drop Blue drop } πολλαπλάσιο του { Red dome Yellow home Blue drop
όσες φορές είναι πολλαπλάσιο το Red dome Red dome Red dome Red dome Red dome του Red dome ·
διότι υπάρχουν τόσα μεγέθη
στο { Red dome Red dome Red dome Red dome Red dome Yellow home Yellow home Yellow home Yellow home Yellow home Blue drop Blue drop Blue drop Blue drop Blue drop } = { Red dome Yellow home Blue drop
όσα υπάρχουν και στο Red dome Red dome Red dome Red dome Red dome = του Red dome .

Η ίδια απόδειξη, που εδώ δόθηκε για τρία μεγέθη, μπορεί να γίνει για οσαδήποτε μεγέθη.

Αν οποιοδήποτε πλήθος μεγεθών. κ.λπ.

Σ.τ.Μ. Με σύγχρονο συμβολισμό, mα + mβ + ・・・ = m(α + β + ・・・).

Προταση II. θεωρημα.

Εάν πρώτο μέγεθος είναι ισάκις πολλαπλάσιο ενός δευτέρου και τρίτο (μέγεθος) είναι (ισάκις πολλαπλάσιο) τετάρτου, υπάρχει δε και πέμπτο ισάκις πολλαπλάσιο του δευτέρου και έκτο (ισάκις πολλαπλάσιο) τετάρτου, το άθροισμα του πρώτου και του πέμπτου θα είναι ισάκις πολλαπλάσιο του δευτέρου και το άθροισμα του τρίτου και του έκτου θα είναι (ισάκις πολλαπλάσιο) του τετάρτου.

Έστω Yellow circle Yellow circle Yellow circle , το πρώτο, είναι ίσες φορές πολλαπλάσιο του Yellow circle , του δεύτερου, όσες φορές είναι το Red drop Red drop Red drop , το τρίτο, του Red drop , του τετάρτου· και έστω το Blue circle Blue circle Blue circle Blue circle , το πέμπτο, είναι ισάκις πολλαπλάσιο του Yellow circle , του δευτέρου, όσες φορές το Black drop Black drop Black drop Black drop , το έκτο, είναι του Red drop , του τετάρτου.

Τότε είναι προφανές ότι το { Yellow circle Yellow circle Yellow circle Blue circle Blue circle Blue circle Blue circle } , το πρώτο και πέμπτο μαζί είναι ίσες φορές πολλαπλάσιο του Yellow circle , του δεύτερου, και ότι το { Red drop Red drop Red drop Black drop Black drop Black drop Black drop } , το τρίτο και το έκτο μαζί, είναι ισάκις πολλαπλάσιο του Red drop , του τέταρτου. Διότι υπάρχουν τόσα μεγέθη στο { Yellow circle Yellow circle Yellow circle Blue circle Blue circle Blue circle Blue circle } = Yellow circle όσα υπάρχουν και στο { Red drop Red drop Red drop Black drop Black drop Black drop Black drop } = Red drop .

Εάν πρώτο μέγεθος είναι ισάκις πολλαπλάσιο ενός δευτέρου κ.λπ.

Σ.τ.Μ. mα + nα = (m + n) α.

Προταση III. θεωρημα.

Εστω πρώτο μέγεθος που είναι πολλαπλάσιο ενός δευτέρου και τρίτο μέγεθος που είναι ισάκις πολλαπλάσιο ενός τετάρτου. Αν ληφθούν ισάκις πολλαπλάσια του πρώτου και τρίτου, το καθένα τους θα είναι ισάκις πολλαπλάσιο του άλλου αντιστοίχως, το πρώτο του δευτέρου και το τρίτο του τετάρτου.

Έστω το { Yellow square Yellow square Yellow square Yellow square } είναι τόσες φορές πολλαπλάσιο του Red square
όσες φορές είναι το { Black diamond Black diamond Black diamond Black diamond } του Blue diamond ·
Αν πάρουμε το { Red square Red square Red square Red square Red square Red square Red square Red square Red square Red square Red square Red square Red square Red square Red square Red square } τόσες φορές πολλαπλάσιο του { Yellow square Yellow square Yellow square Yellow square ,
όσες το { Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond } του { Black diamond Black diamond Black diamond Black diamond .

Τότε είναι προφανές,
ότι το { Red square Red square Red square Red square Red square Red square Red square Red square Red square Red square Red square Red square Red square Red square Red square Red square } είναι τόσες φορές πολλαπλάσιο του Red square
όσες το { Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond } είναι του Blue diamond ·
επειδή το { Red square Red square Red square Red square Red square Red square Red square Red square Red square Red square Red square Red square Red square Red square Red square Red square } περιέχει το { Yellow square Yellow square Yellow square Yellow square } που περιέχει το Red square
τόσες φορές όσες το
Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond } περιέχει το { Black diamond Black diamond Black diamond Black diamond } που περιέχει το Blue diamond .

Το ίδιο σκεπτικό εφαρμόζεται σε όλες τις περιπτώσεις.

Εάν πρώτο μέγεθος που είναι πολλαπλάσιο ενός δευτέρου κ.λπ.

Σ.τ.Μ. m(nα) = (mn) α

Ορισμος V.

Τέσσερα μεγέθη Red circle , Yellow square , Blue diamond , Black home , λέμε ότι είναι ανάλογα (έχουν τον ίδιο λόγο) όταν οποιοδήποτε πολλαπλάσιο των πρώτου και τρίτου πάρουμε, και οποιοδήποτε πολλαπλάσιο των δεύτερου και τέταρτου, όπως παρακάτω,

του πρώτου

Trans square Trans square Trans square Trans square Trans square Red circle Red circle Trans square Trans square Trans square Trans square Red circle Red circle Red circle Trans square Trans square Trans square Red circle Red circle Red circle Red circle Trans square Trans square Red circle Red circle Red circle Red circle Red circle Trans square Red circle Red circle Red circle Red circle Red circle Red circle

κ.ο.κ.

του δεύτερου

Trans square Trans square Trans square Trans square Trans square Yellow square Yellow square Trans square Trans square Trans square Trans square Yellow square Yellow square Yellow square Trans square Trans square Trans square Yellow square Yellow square Yellow square Yellow square Trans square Trans square Yellow square Yellow square Yellow square Yellow square Yellow square Trans square Yellow square Yellow square Yellow square Yellow square Yellow square Yellow square

κ.ο.κ.

του τρίτου

Trans diamond Trans diamond Trans diamond Trans diamond Trans diamond Blue diamond Blue diamond Trans diamond Trans diamond Trans diamond Trans diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Trans diamond Trans diamond Trans diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Trans diamond Trans diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Trans diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond

κ.ο.κ.

του τέταρτου

Trans square Trans square Trans square Trans square Trans square Black home Black home Trans square Trans square Trans square Trans square Black home Black home Black home Trans square Trans square Trans square Black home Black home Black home Black home Trans square Trans square Black home Black home Black home Black home Black home Trans square Black home Black home Black home Black home Black home Black home

κ.ο.κ.

και μετά, παίρνοντας κάθε ζευγάρι ισάκις πολλαπλασίων των πρώτου και τρίτου, και κάθε ζευγάρι ισάκις πολλαπλασίων των δευτέρου και τετάρτου,

Αν { Red circle Red circle >, = ή < Yellow square Yellow square Red circle Red circle >, = ή < Yellow square Yellow square Yellow square Red circle Red circle >, = ή < Yellow square Yellow square Yellow square Yellow square Red circle Red circle >, = ή < Yellow square Yellow square Yellow square Yellow square Yellow square Red circle Red circle >, = ή < Yellow square Yellow square Yellow square Yellow square Yellow square Yellow square

τότε θα ισχύει και { Blue diamond Blue diamond >, = ή < Black home Black home Blue diamond Blue diamond >, = ή < Black home Black home Black home Blue diamond Blue diamond >, = ή < Black home Black home Black home Black home Blue diamond Blue diamond >, = ή < Black home Black home Black home Black home Black home Blue diamond Blue diamond >, = ή < Black home Black home Black home Black home Black home Black home

Δηλαδή, αν δύο φορές το πρώτο είναι μεγαλύτερο, ίσο ή μικρότερο από δύο φορές το δεύτερο, τότε δύο φορές το τρίτο θα είναι αντίστοιχα μεγαλύτερο, ίσο ή μικρότερο από δύο φορές το τέταρτο. Ή αν δύο φορές το πρώτο είναι μεγαλύτερο, ίσο ή μικρότερο από τρεις φορές το δεύτερο, τότε δύο φορές το τρίτο θα είναι αντίστοιχα μεγαλύτερο, ίσο ή μικρότερο από τρεις φορές το τέταρτο, κ.o.κ.

Αν { Red circle Red circle Red circle >, = ή < Trans square Trans square Trans square Trans square Trans square Yellow square Yellow square Red circle Red circle Red circle >, = ή < Trans square Trans square Trans square Trans square Yellow square Yellow square Yellow square Red circle Red circle Red circle >, = ή < Trans square Trans square Trans square Yellow square Yellow square Yellow square Yellow square Red circle Red circle Red circle >, = ή < Trans square Trans square Yellow square Yellow square Yellow square Yellow square Yellow square Red circle Red circle Red circle >, = ή < Trans square Yellow square Yellow square Yellow square Yellow square Yellow square Yellow square

τότε θα ισχύει και { Blue diamond Blue diamond Blue diamond >, = ή < Trans square Trans square Trans square Trans square Trans square Black home Black home Blue diamond Blue diamond Blue diamond >, = ή < Trans square Trans square Trans square Trans square Black home Black home Black home Blue diamond Blue diamond Blue diamond >, = ή < Trans square Trans square Trans square Black home Black home Black home Black home Blue diamond Blue diamond Blue diamond >, = ή < Trans square Trans square Black home Black home Black home Black home Black home Blue diamond Blue diamond Blue diamond >, = ή < Trans square Black home Black home Black home Black home Black home Black home

Με άλλα λόγια, αν τρεις φορές το πρώτο είναι μεγαλύτερο, ίσο ή μικρότερο από δύο φορές το δεύτερο, τότε, τρεις φορές το τρίτο θα είναι αντίστοιχα μεγαλύτερο, ίσο ή μικρότερο από δύο φορές το τέταρτο· ή αν δύο φορές το πρώτο είναι μεγαλύτερο, ίσο ή μικρότερο από τρεις φορές το δεύτερο, τότε δύο φορές το τρίτο θα είναι αντίστοιχα μεγαλύτερο, ίσο ή μικρότερο από δύο φορές το τέταρτο· ή αν τρεις φορές το πρώτο είναι μεγαλύτερο, ίσο ή μικρότερο από τέσσερις φορές το δεύτερο, τότε, τρεις φορές το τρίτο θα είναι αντίστοιχα μεγαλύτερο, ίσο ή μικρότερο από τέσσερις φορές το τέταρτο, και ούτω καθεξής. Ξανά,

Αν { Red circle Red circle Red circle Red circle >, = ή < Yellow square Yellow square Red circle Red circle Red circle Red circle >, = ή < Yellow square Yellow square Yellow square Red circle Red circle Red circle Red circle >, = ή < Yellow square Yellow square Yellow square Yellow square Red circle Red circle Red circle Red circle >, = ή < Yellow square Yellow square Yellow square Yellow square Yellow square Red circle Red circle Red circle Red circle >, = ή < Yellow square Yellow square Yellow square Yellow square Yellow square Yellow square

τότε θα ισχύει και { Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond >, = ή < Black home Black home Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond >, = ή < Black home Black home Black home Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond >, = ή < Black home Black home Black home Black home Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond >, = ή < Black home Black home Black home Black home Black home Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond >, = ή < Black home Black home Black home Black home Black home Black home

Και ούτω καθεξής με κάθε άλλο πολλαπλάσιο των τεσσάρων μεγεθών.

Ο Ευκλείδης εκφράζει αυτό τον ορισμό ως εξής:—

Τέσσερα μεγέθη λέμε ότι έχουν τον ίδιο λόγο το πρώτο προς το δεύτερο και το τρίτο προς το τέταρτο, όταν ισάκις πολλαπλάσια του πρώτου και του τρίτου σε σχέση με (ίδια ή άλλα) ισάκις πολλαπλάσια του δεύτερου και του τέταρτου με οποιονδήποτε πολλαπλασιασμό, είναι μεγαλύτερα ή ίσα ή μικρότερα όταν αυτά ληφθούν σε αντίστοιχη τάξη.

Στη συνέχεια θα συμβολίζουμε αυτό τον ορισμό ως εξής:

Αν Μ Red circle >, = < μ Yellow square , τότε Μ Blue diamond >, = < μ Black home ,

Τότε θα συμπεραίνουμε ότι το πρώτο Red circle , έχει τον ίδιο λόγο με το Yellow square , το δεύτερο, με αυτόν που έχει το Blue diamond , το τρίτο, με το Black home το τέταρτο, και θα το γράφουμε με τους παρακάτω τρόπους:

Red circle : Yellow square :: Blue diamond : Black home · ή, Red circle : Yellow square = Blue diamond : Black home · ή, Red circle / Yellow square = Blue diamond / Black home : και θα διαβάζουμε,

«ότι είναι το Red circle για το Yellow square , είναι και το Blue diamond για το Black home .»

Και εάν Red circle : Yellow square :: Blue diamond : Black home θα συμπεραίνουμε ότι αν
Μ Red circle >, = < μ Yellow square , τότε και
Μ Blue diamond >, = < μ Black home .

Δηλαδή εάν το πρώτο είναι για το δεύτερο ότι είναι και το τρίτο για το τέταρτο τότε, αν Μ φορές το πρώτο είναι μεγαλύτερο, ίσο ή μικρότερο από μ φορές το δεύτερο, τότε και Μ φορές το τρίτο θα είναι αντίστοιχα μεγαλύτερο, ίσο ή μικρότερο από μ φορές το τέταρτο, όπου τα Μ και μ δεν είναι ειδικά πολλαπλάσια αλλά οποιαδήποτε πολλαπλάσια· και τα σύμβολα Red circle , Black home , Yellow square , κ.ά. δεν θα νοούνται αλλιώς παρά ως γεωμετρικά μεγέθη.

Ο σπουδαστής θα πρέπει να κατανοήσει καλά αυτόν τον ορισμό προτού προχωρήσει παρακάτω.

Προταση IV. θεωρημα.

Εάν πρώτο μέγεθος έχει λόγο προς δεύτερο ίσο με αυτόν που έχει τρίτο προς τέταρτο, τότε οποιαδήποτε ισάκις πολλαπλάσια του πρώτου και του τρίτου θα έχουν τον ίδιο λόγο με οποιαδήποτε άλλα ισάκις πολλαπλάσια του δεύτερου και του τέταρτου. Δηλαδή, το ισάκις πολλαπλάσιο του πρώτου θα έχει τον ίδιο λόγο με αυτό του δεύτερου με αυτόν που θα έχει το ισάκις πολλαπλάσιο του τρίτου προς το τέταρτο.

Έστω Yellow circle : Black square :: Red diamond : Blue home , τότε 3 Yellow circle : 2 Black square :: 3 Red diamond : 2 Blue home , κάθε ισάκις πολλαπλάσιο του Yellow circle και του 3 Red diamond είναι ισάκις πολλαπλάσια των Yellow circle και Red diamond , και κάθε ισάκις πολλαπλάσιο των 2 Black square και 2 Blue home , είναι ισάκις πολλαπλάσια των Black square και Blue home (Β.5.πρ.3.)

Δηλαδή, Μ φορές 3 Yellow circle και Μ φορές 3 Red diamond είναι ισάκις πολλαπλάσια του Yellow circle και Red diamond , και μ φορές 2 Black square και μ φορές 2 Blue home είναι ισάκις πολλαπλάσια των 2 Black square και 2 Blue home · αλλά Yellow circle : Black square :: Red diamond : Blue home (εξ υπόθ. εάν Μ 3 Yellow circle >, = ή < μ 2 Black square , τότε Μ 3 Red diamond >, = ή < μ 2 Blue home (ορ.5.) και επομένως 3 Yellow circle : 2 Black square :: 3 Red diamond : 2 Blue home (ορ.5.)

Το ίδιο σκεπτικό εφαρμόζει για οποιοδήποτε πολλαπλάσιο πάρουμε του πρώτου και τρίτου, σε σχέση με ίσα πολλαπλάσια του δεύτερου και τέταρτου.

Εάν πρώτο μέγεθος έχει λόγο προς δεύτερο, κ.λπ.

Σ.τ.Μ. Aν α : β :: γ : δ τότε mα : n β :: mγ : n δ, για όλα τα m και n.

Προταση V. θεωρημα.

Εάν πρώτο μέγεθος είναι τόσες φορές πολλαπλάσιο δευτέρου, όσες φορές είναι (πολλαπλάσιο) μέγεθος αφαιρεθέν από το πρώτο άλλου μεγέθους αφαιρεθέντος από το δεύτερο, το υπόλοιπο του πρώτου θα είναι ισάκις πολλαπλάσιο του υπολοίπου του δευτέρου.

Έστω Blue drop Blue drop Blue drop Yellow dome = Μ Black triangle Red square
και Yellow dome = Μ Red square ,
Blue drop Blue drop Blue drop Yellow dome μείον Yellow dome = Μ Black triangle Red square μείον Μ Red square ,
Blue drop Blue drop Blue drop = Μ′ ( Black triangle Red square μείον Red square ),
και Blue drop Blue drop Blue drop = Μ Black triangle .

Εάν πρώτο μέγεθος είναι τόσες φορές πολλαπλάσιο δευτέρου κ.λπ.

Σ.τ.Μ. mα − mβ = m(α − β).

Προταση VI. θεωρημα.

Εάν δύο μεγέθη είναι ισάκις πολλαπλάσια δύο άλλων και από αυτά, τα πρώτα, αφαιρεθούν ισάκις πολλαπλάσια των δύο άλλων, τότε τα υπόλοιπα θα είναι είτε ίσα προς τα μεγέθη αυτά, είτε θα είναι ισάκις πολλαπλάσιά τους.

Έστω Yellow drop Yellow drop Yellow drop Yellow drop = Μ Red square · και Black dome Black dome = Μ Blue triangle ·
τότε Yellow drop Yellow drop Yellow drop Yellow drop μείον μ Red square =

Μ′ Red square μείον μ′ Red square = (Μ′ μείον μ′) Red square ,
και Black dome Black dome μείον μ′ Blue triangle = Μ′ Blue triangle μείον μ′ Blue triangle = (Μ′ μείον μ′) Blue triangle .

Επομένως, (Μ′ μείον μ′) Red square και (Μ′ μείον μ′) Blue triangle είναι ισάκις πολλαπλάσια των Red square και Blue triangle , και ίσα με Red square και Blue triangle , όταν Μ′ μείον μ′ = 1.

Εάν δύο μεγέθη είναι ισάκις πολλαπλάσια δύο άλλων κ.λπ.

Σ.τ.Μ. mα − nα = (m − n) α.

Προταση A. θεωρημα.

Εάν το πρώτο από δύο μεγέθη έχει τον ίδιο λόγο ως προς το δεύτερο όσο ένα τρίτο έχει προς ένα τέταρτο, τότε, αν το πρώτο είναι μεγαλύτερο από το δεύτερο και το τρίτο θα είναι μεγαλύτερο από το τέταρτο, και αν είναι ίσο, θα είναι ίσα (το τρίτο με το τέταρτο), και αν είναι μικρότερο τότε θα είναι μικρότερο (το τρίτο από το τέταρτο).

Έστω Red circle : Black square :: Blue home : Yellow diamond · επομένως από τον πέμπτο ορισμό, εάν Red circle Red circle > Black square Black square , τότε και Blue home Blue home > Yellow diamond Yellow diamond ·
αλλά εάν Red circle > Black square , τότε Red circle Red circle > Black square Black square
και Blue home Blue home > Yellow diamond Yellow diamond ,
και Blue home > Yellow diamond .

Ομοίως, εάν Red circle =, ή < Black square , τότε Blue home =, ή < Yellow diamond .

Εάν το πρώτο από δύο μεγέθη κ.λπ.

Ορισμος XIV.

Οι Γεωμέτρες χρησιμοποιούν τον όρο αντιστροφή (αντίστροφος ή ανάπαλιν λόγος—Invertendo) όταν υπάρχουν τέσσερα ανάλογα μεγέθη, και έπεται ότι το δεύτερο είναι για το πρώτο ότι και το τέταρτο για το τρίτο.

Έστω Α : Β :: Γ : Δ, τότε εξ αντιστροφής συνάγεται ότι Β : Α :: Δ : Γ.

Προταση Β. θεωρημα.

Εάν τέσσερα μεγέθη είναι ανάλογα τότε είναι ανάλογα εάν παρθούν και αντίστροφα.

Έστω Blue home : Black dome :: Red square : Yellow diamond ,
τότε εξ αντιστροφής, Black dome : Blue home :: Yellow diamond : Red square .

Εάν M Blue home < μ Black dome , τότε M Red square < μ Yellow diamond
από τον πέμπτο ορισμό.

Έστω M Blue home < μ Black dome , δηλαδή, μ Black dome > M Blue home ,
M Red square < μ Yellow diamond , ή, μ Yellow diamond > M Red square ·
εάν μ Black dome > M Blue home , τότε και μ Yellow diamond > M Red square .

Με τον ίδιο τρόπο μπορεί να αποδειχθεί, ότι,

αν μ Black dome = ή < M Blue home ,
τότε και μ Yellow diamond =, ή < M Red square ·
και επομένως, από τον πέμπτο ορισμό, συμπεραίνουμε ότι
Black dome : Blue home : Yellow diamond : Red square .

Εάν τέσσερα μεγέθη κ.λπ.

Προταση Γ. θεωρημα.

Εάν μέγεθος είναι πολλαπλάσιο δεύτερου μεγέθους, ή το ίδιο μέρος ή τα ίδια μέρη του, όπως ένα τρίτο (είναι) προς ένα τέταρτο, τότε το πρώτο προς το δεύτερο είναι όπως το τρίτο προς το τέταρτο.

Έστω Blue square Blue square Blue square Blue square , είναι το πρώτο, ισάκις πολλαπλάσιο του Black circle , του δεύτερου,
που το Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond , το τρίτο, είναι του Red home , του τέταρτου.

Τότε Blue square Blue square Blue square Blue square : Black circle :: Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond : Red home
ας πάρουμε Μ Blue square Blue square Blue square Blue square , μ Black circle , Μ Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond , μ Red home ·
εφόσον το Blue square Blue square Blue square Blue square είναι πολλαπλάσιο το Black circle
οσάκις (όσες φορές) είναι το Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond του Red home (εξ υπόθ.) ·
και το Μ Blue square Blue square Blue square Blue square είναι ισάκις πολλαπλάσιο του Blue square Blue square Blue square Blue square
που το Μ Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond είναι του Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond ,
(σύμφωνα με την τρίτη πρόταση),
Μ Blue square Blue square Blue square Blue square είναι πολλαπλάσιο του Black circle
οσάκις είναι το Μ Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond του Red home .

Επομένως, αν Μ Blue square Blue square Blue square Blue square είναι μεγαλύτερο πολλαπλάσιο του Black circle απ’ ότι το μ Black circle τότε το Μ Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond είναι μεγαλύτερο πολλαπλάσιο του Red home από το μ Red home · δηλαδή, αν Μ Blue square Blue square Blue square Blue square είναι μεγαλύτερο από το μ Black circle , τότε το Μ Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond θα είναι μεγαλύτερο από το μ Red home · με τον ίδιο τρόπο μπορεί να αποδειχτεί ότι, αν Μ Blue square Blue square Blue square Blue square είναι ίσο με το μ Black circle , τότε και το
Μ Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond θα είναι ίσο με το μ Red home .

Και γενικότερα, αν Μ Blue square Blue square Blue square Blue square >, = ή < μ Black circle
τότε το Μ Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond θα είναι >, = ή < μ Red home ·
από τον πέμπτο ορισμό,
Blue square Blue square Blue square Blue square : Black circle :: Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond : Red home .

Στη συνέχεια, έστω Black circle ίδιο μέρος του Blue square Blue square Blue square Blue square
που το Red home είναι του Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond .

Σε αυτή την περίπτωση επίσης Black circle : Blue square Blue square Blue square Blue square :: Red home : Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond .

Διότι, επειδή
Black circle είναι το ίδιο μέρος του Blue square Blue square Blue square Blue square που το Red home είναι του Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond ,
έπεται ότι το Blue square Blue square Blue square Blue square είναι το ίδιο πολλαπλάσιο του Black circle
που το Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond είναι του Red home .

Άρα, από την προηγούμενη περίπτωση,
Blue square Blue square Blue square Blue square : Black circle :: Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond : Red home ·
και Black circle : Blue square Blue square Blue square Blue square :: Red home : Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond ,
από την πρόταση Β.

Εάν μέγεθος είναι πολλαπλάσιο δεύτερου μεγέθους κ.λπ.

Προταση Δ. θεωρημα.

Εάν τέσσερα μεγέθη είναι το πρώτο προς το δεύτερο όπως είναι και το τρίτο προς το τέταρτο, και το πρώτο είναι πολλαπλάσιο ή το ίδιο μέρος ή τα ίδια μέρη του δεύτερου, τότε και το τρίτο είναι ισάκις πολλαπλάσιο ή το ίδιο μέρος ή τα ίδια μέρη του τέταρτου.

Έστω Yellow circle Yellow circle Yellow circle : Black square :: Red diamond Red diamond Red diamond Red diamond : Blue home ·
και κατ’ αρχάς, έστω το Yellow circle Yellow circle Yellow circle είναι πολλαπλάσιο του Black square ·
το Red diamond Red diamond Red diamond Red diamond θα είναι ισάκις πολλαπλάσιο του Blue home .

Yellow circle Yellow circle Yellow circle Black square Red diamond Red diamond Red diamond Red diamond Blue home

Red dome Red dome Red dome Black drop Black drop Black drop Black drop

Ας πάρουμε Red dome Red dome Red dome = Yellow circle Yellow circle Yellow circle .

Οποιοδήποτε πολλαπλάσιο το Yellow circle Yellow circle Yellow circle είναι του Black square
παίρνουμε Black drop Black drop Black drop Black drop ισάκις πολλαπλάσιο του Blue home ,
έπειτα, επειδή Yellow circle Yellow circle Yellow circle : Black square :: Red diamond Red diamond Red diamond Red diamond : Blue home
και έχουμε πάρει ισάκις πολλαπλάσια από το δεύτερο και το τέταρτο,
Yellow circle Yellow circle Yellow circle και Black drop Black drop Black drop Black drop , έπεται (Β.5.πρ.4),
Yellow circle Yellow circle Yellow circle : Red dome Red dome Red dome :: Red diamond Red diamond Red diamond Red diamond : Black drop Black drop Black drop Black drop , αλλά (εκ κατάσκ.),
Yellow circle Yellow circle Yellow circle = Red dome Red dome Red dome (Β.5.πρ.Α) Red diamond Red diamond Red diamond Red diamond = Black drop Black drop Black drop Black drop
και το Black drop Black drop Black drop Black drop είναι ισάκις πολλαπλάσιο του Blue home
οσάκις το Yellow circle Yellow circle Yellow circle είναι του Black square .

Στη συνέχεια, ας είναι Black square : Yellow circle Yellow circle Yellow circle :: Blue home : Red diamond Red diamond Red diamond Red diamond ,
και επίσης το Black square είναι μέρος του Yellow circle Yellow circle Yellow circle ·
τότε το Blue home θα είναι το ίδιο μέρος του Red diamond Red diamond Red diamond Red diamond .

Αντίστροφα (Β.5.), Yellow circle Yellow circle Yellow circle : Black square :: Red diamond Red diamond Red diamond Red diamond : Blue home ,
αλλά το Black square είναι μέρος του Yellow circle Yellow circle Yellow circle ·
δηλαδή, το, Yellow circle Yellow circle Yellow circle είναι πολλαπλάσιο του Black square ·
από την προηγούμενη περίπτωση, Red diamond Red diamond Red diamond Red diamond είναι το ίδιο πολλαπλάσιο του Blue home
δηλαδή, το Blue home είναι το ίδιο μέρος του Red diamond Red diamond Red diamond Red diamond
που το Black square είναι του Yellow circle Yellow circle Yellow circle .

Εάν τέσσερα μεγέθη είναι κ.λπ.

Προταση VII. θεωρημα.

Ισα μεγέθη έχουν τον ίδιο λόγο ως προς τρίτο μέγεθος, και αυτό το μέγεθος έχει επίσης τον ίδιο λόγο ως προς τα ίσα μεγέθη.

Έστω Red circle = Blue diamond και Yellow square οποιοδήποτε άλλο μέγεθος·
τότε Red circle : Yellow square = Blue diamond : Yellow square και Yellow square : Red circle = Yellow square : Blue diamond .

Επειδή Red circle = Blue diamond ,
Μ Red circle = Μ Blue diamond ·

αν Μ Red circle >, = ή < μ Yellow square , τότε
Μ Blue diamond >, = ή < μ Yellow square ,
τότε Red circle : Yellow square = Blue diamond : Yellow square (Β.5.ορ.5).

Από την προηγούμενη επιχειρηματολογία είναι προφανές ότι,
αν μ Yellow square >, = ή < Μ Red circle , τότε
μ Yellow square >, = ή < Μ Blue diamond
Yellow square : Red circle = Yellow square : Blue diamond (Β.5.ορ.5).

Ίσα μεγέθη έχουν τον ίδιο λόγο ως προς τρίτο μέγεθος κ.λπ.

Σ.τ.Μ. Αν α = β, τότε α : γ :: β : γ και γ : α :: γ : β.

Ορισμος VII.

Oταν από ισάκις πολλαπλάσια τεσσάρων μεγεθών (σύμφωνα με τον πέμπτο ορισμό), το πολλαπλάσιο του πρώτου είναι μεγαλύτερο από το πολλαπλάσιο του δευτέρου, αλλά το πολλαπλάσιο του τρίτου δεν είναι μεγαλύτερο από το πολλαπλάσιο του τετάρτου, τότε το πρώτο θα λέγεται ότι έχει μεγαλύτερο λόγο ως προς το δεύτερο απ’ ότι το τρίτο έχει προς το τέταρτο· και, αντίθετα, το τρίτο λέγεται ότι έχει λόγο ως προς το τέταρτο μικρότερο απ’ ότι το πρώτο έχει προς το δεύτερο.

Αν, μεταξύ των ισάκις πολλαπλασίων τεσσάρων μεγεθών, συγκρινόμενων κατά τον πέμπτο ορισμό, βρούμε Red circle Red circle Red circle Red circle Red circle > Yellow square Yellow square Yellow square Yellow square , αλλά Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond = ή < Black square Black square Black square Black square , ή εάν βρούμε κάποιο ειδικό πολλαπλάσιο Μ′ των πρώτου και τρίτου και κάποιο ειδικό πολλαπλάσιο μ′ των δεύτερου και τέταρτου, τέτοια ώστε Μ′ φορές το πρώτο > μ′ το δεύτερο, και Μ′ φορές το τρίτο δεν είνα > μ′ φορές το τέταρτο, δηλαδή είναι = ή < μ′ φορές το τέταρτο· τότε, το πρώτο λέγεται ότι έχει μεγαλύτερο λόγο ως προς το δεύτερο απ’ ότι έχει το τρίτο προς το τέταρτο· ή το τρίτο έχει ως προς το τέταρτο, κάτω από αυτές τις συνθήκες, μικρότερο λόγο απ’ ότι το πρώτο ως προς το δεύτερο· αν και κάποια άλλα ισάκις πολλαπλάσια μπορεί να τείνουν να δείξουν ότι τα τέσσερα μεγέθη είναι ανάλογα.

Αυτός ο ορισμός στη συνέχεια θα εκφράζεται ως εξής:

Αν Μ′ Red home > μ′ Black dome , αλλά Μ′ Blue square = ή < μ′ Yellow diamond ,
τότε Red home : Black dome > Blue square : Yellow diamond .

Στην παραπάνω γενική έκφραση, τα Μ′ και μ′ θεωρούνται ειδικά πολλαπλάσια, όχι σαν και αυτά του πέμπτου ορισμού, που εκεί θεωρούνται τα οποιαδήποτε πολλαπλάσια. Ας υπενθυμίσουμε επίσης, ότι τα Red home , Black dome , Blue square , και τα παρόμοια σύμβολα αντιπροσωπεύουν γεωμετρικά μεγέθη.

Με έναν μερικό αριθμητικό τρόπο, αυτό μπορεί να εικονογραφηθεί με τον παρακάτω πίνακα:

Ας πάρουμε τέσσερις αριθμούς, τους 8, 7, 10 και 9.

Πρώτος.
8
Δεύτερος.
7
Τρίτος.
10
Τέταρτος.
9
16
24
32
40
48
46
64
72
80
88
96
104
112

κ.ο.κ.
14
21
28
35
42
49
56
63
70
77
84
91
98

κ.ο.κ.
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140

κ.ο.κ.
18
27
36
45
54
63
72
81
90
99
108
117
126

κ.ο.κ.

Μεταξύ των παραπάνω πολλαπλασίων βρίσκουμε 16 > 14 και 20 > 18· δηλαδή το διπλάσιο του πρώτου είναι μεγαλύτερο από το διπλάσιο του δεύτερου και το διπλάσιο του τρίτου είναι μεγαλύτερο από το διπλάσιο του τέταρτου· το διπλάσιο του πρώτου είναι μικρότερο από το τριπλάσιο του δεύτερου και το διπλάσιο του τρίτου είναι μικρότερο από το τριπλάσιο του τέταρτου· και ανάμεσα στα ίδια πολλαπλάσια μπορούμε να βρούμε 72 > 56 και 90 > 72· δηλαδή 9 φορές το πρώτο είναι μεγαλύτερο από 8 φορές το δεύτερο και 9 φορές το τρίτο είναι μεγαλύτερο από 8 φορές το τέταρτο. Μπορούν να επιλεγούν πολλά άλλα πολλαπλάσια, τα οποία τείνουν να επιβεβαιώσουν ότι οι αριθμοί 8, 7, 10, 9, είναι ανάλογοι, αλλά δεν είναι, γιατί μπορούμε να βρούμε ένα πολλαπλάσιο του πρώτου > πολλαπλάσιο του δεύτερου, αλλά το ισάκις πολλαπλάσιο του τρίτου όχι > από το ισάκις πολλαπλάσιο του τέταρτου· για παράδειγμα, 9 φορές το πρώτο είναι > 10 φορές το δεύτερο, αλλά 9 φορές το τρίτο δεν είναι > 10 φορές το τέταρτο, δηλαδή 72 > 70, αλλά 90 όχι > 90, ή 8 φορές το πρώτο > 9 φορές το δεύτερο, αλλά το 8 φορές το τρίτο δεν είναι μεγαλύτερο από 9 φορές το τέταρτο, δηλαδή το 64 > 63, αλλά το 80 δεν είναι > 81. Όταν υπάρχουν τέτοια πολλαπλάσια όπως αυτά, το πρώτο (8) λέγεται ότι έχει ως προς το δεύτερο (7) μεγαλύτερο λόγο από τον λόγο του τρίτου (10) προς το τέταρτο (9), και αντίθετα, το τρίτο (10) λέγεται ότι έχει μικρότερο λόγο ως προς το τέταρτο (9) μικρότερο λόγο από τον λόγο του πρώτου (8) προς το δεύτερο (7).

Προταση VIII. θεωρημα.

Από άνισα μεγέθη το μεγαλύτερο έχει μεγαλύτερο λόγο προς τρίτο μέγεθος απ’ ότι έχει το μικρότερο, και το τρίτο μέγεθος έχει μεγαλύτερο λόγο προς το μικρότερο απ’ ότι έχει με το μεγαλύτερο.

Έστω Black triangle Red square και Yellow square είναι δύο άνισα μεγέθη, και Blue circle ένα οποιοδήποτε τρίτο.

Θα αποδείξουμε πρώτα ότι το Black triangle Red square που είναι το μεγαλύτερο από τα δύο, έχει μεγαλύτερο λόγο ως προς το Blue circle απ’ ότι το Yellow square , το μικρότερο, έχει προς το Blue circle ·

δηλαδή, Black triangle Red square : Blue circle > Yellow square : Blue circle ·
ας πάρουμε τα Μ′ Black triangle Red square , μ′ Blue circle , Μ′ Yellow square , και μ′ Blue circle
τέτοια ώστε Μ′ Black triangle και Μ′ Red square θα είναι το καθένα > Blue circle ·
επίσης ας πάρουμε μ′ Blue circle το ελάχιστο πολλαπλάσιο του Blue circle ,
που θα κάνει μ′ Blue circle > Μ′ Yellow square = Μ′ Red square ·
Μ′ Yellow square δεν είναι > μ′ Blue circle ,
αλλά το Μ′ Black triangle Red square είναι > μ′ Blue circle , διότι,
καθώς το μ′ Blue circle είναι το πρώτο πολλαπλάσιο που γίνεται > Μ′ Red square , από το (μ′ μείον 1) Blue circle ή μ′ Blue circle μείον Blue circle δεν είναι > Μ′ Red square , και το Blue circle δεν είναι > Μ′ Black triangle ,
μ′ Blue circle μείον Blue circle + Blue circle πρέπει να είναι < Μ′ Red square + Μ′ Black triangle ·
δηλαδή, μ′ Blue circle πρέπει να είναι < Μ′ Red square ·
Μ′ Black triangle Red square είναι > μ′ Blue circle · αλλά δείξαμε παραπάνω ότι
Μ′ Yellow square δεν είναι > μ′ Blue circle , επομένως, σύμφωνα με τον έβδομο ορισμό,
το Black triangle Red square έχει ως προς το Blue circle μεγαλύτερο λόγο από ότι ο Yellow square : Blue circle .

Στη συνέχεια θα αποδείξουμε ότι το Blue circle έχει μεγαλύτερο λόγο προς το Yellow square , μικρότερο από αυτόν που έχει με το Black triangle Red square , το μεγαλύτερο·
ή, Blue circle : Yellow square > Blue circle : Black triangle Red square .

Αν πάρουμε μ′ Blue circle , Μ′ Yellow square , μ′ Blue circle , και Μ′ Black triangle Red square ,
ίδια όπως στην πρώτη περίπτωση, τέτοια ώστε
Μ′ Black triangle και Μ′ Red square θα είναι το καθένα > Blue circle , και μ′ Blue circle το ελάχιστο πολλαπλάσιο του Blue circle , που πρώτο γίνεται μεγαλύτερο από Μ′ Red square = Μ′ Yellow square .

μ′ Blue circle μείον Blue circle δεν είναι > Μ′ Red square ,
και Blue circle δεν είναι > Μ′ Black triangle · επομένως
μ′ Blue circle μείον Blue circle + Blue circle είναι < Μ′ Red square + Μ′ Black triangle ·
μ′ Blue circle είναι < Μ′ Black triangle Red square , και από τον έβδομο ορισμό,
το Blue circle έχει ως προς το Yellow square μεγαλύτερο λόγο απ’ ότι έχει το προς Blue circle το Black triangle Red square .

Από άνισα μεγέθη κ.λπ.

Το τέχνασμα που χρησιμοποιήθηκε σε αυτή την πρόταση για να βρεθεί μεταξύ των πολλαπλασίων που ελήφθησαν, βάσει του πέμπτου ορισμού, ένα πολλαπλάσιο του πρώτου μεγαλύτερο από το πολλαπλάσιο του δεύτερου, αλλά το ισάκις πολλαπλάσιο του τρίτου, όχι μεγαλύτερο από το ισάκις πολλαπλάσιο του τετάρτου μπορεί να απεικονισθεί αριθμητικά ως εξής:

Ο αριθμός 9 έχει μεγαλύτερο λόγο ως προς το 7 απ’ ότι το 8 προς το 7· δηλαδή, 9 : 7 > 8 : 7· ή, 8 + 1 : 7 > 8 : 7.

Το πρώτο πολλαπλάσιο του 1, το οποίο γίνεται μεγαλύτερο από 7, είναι 8 φορές, επομένως μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε τον πρώτο και τον τρίτο με 8, 9, 10, ή με οποιοδήποτε άλλο μεγαλύτερο αριθμό· σε αυτή την περίπτωση, ας πολλαπλασιάσουμε τον πρώτο και τον τρίτο με 8 και έχουμε 64 + 8 και 64· πάλι, το πρώτο πολλαπλάσιο του 7 το οποίο γίνεται μεγαλύτερο από 64 είναι 10 φορές· τότε, πολλαπλασιάζοντας το δεύτερο και το τέταρτο με 10, θα έχουμε 70 και 70· τότε, διευθετώντας αυτά τα πολλαπλάσια, έχουμε—

64 + 8

70

64

70

Συνεπώς, το 64 + 8, ή το 72, είναι μεγαλύτερο από το 70, αλλά το 64 δεν είναι μεγαλύτερο από 70, με τον έβδομο ορισμό, το 9 θα έχει μεγαλύτερο λόγο ως προς το 7 απ’ ότι το 8 προς το 7.

Τα παραπάνω είναι απλώς ενδεικτικά της προηγούμενης απόδειξης, διότι αυτή η ιδιότητα θα μπορούσε να αποδειχθεί με αυτούς ή άλλους αριθμούς πολύ εύκολα με τον ακόλουθο τρόπο: επειδή εάν ένας ηγούμενος όρος περιέχει τον επόμενο του περισσότερες φορές από ότι ένας άλλος ηγούμενος όρος περιέχει τον επόμενο του, ή όταν ένα κλάσμα σχηματίζεται από ένα ηγούμενο για τον αριθμητή και τον επόμενο του για παρονομαστή είναι μεγαλύτερο από ένα άλλο κλάσμα το οποίο σχηματίζεται από έναν άλλο ηγούμενο για αριθμητή και τον επόμενο του για παρονομαστή, ο λόγος του πρώτου ηγούμενου προς τον επόμενο του είναι μεγαλύτερος από τον λόγο του τελευταίου ηγούμενου προς τον επόμενο του.

Έτσι, ο αριθμός 9 έχει μεγαλύτερο λόγο ως προς το 7, απ’ ότι το 8 προς το 7, διότι το 9 / 7 είναι μεγαλύτερο από το 8 / 7 .

Και πάλι, το 17 : 19 είναι μεγαλύτερο από το 13 : 15, διότι 17 / 19 = 17 × 15 / 19 × 15 = 255 / 285 , και 13 / 15 = 13 × 19 / 15 × 19 = 247 / 285 , είναι προφανές ότι το 255 / 285 είναι μεγαλύτερο από 247 / 285 , το 17 / 19 είναι μεγαλύτερο από 13 / 15 , και, σύμφωνα με όσα αποδείχθηκαν παραπάνω, το 17 έχει μεγαλύτερο λόγο ως προς το 19 απ’ ότι το 13 προς το 15.

Έτσι, γενικά, όταν υπάρχει ένας μεγαλύτερος, ίσος ή μικρότερος λόγος, ισχύουν τα εξής:

Εάν το Α / Β είναι μεγαλύτερο από το Γ / Δ , λέγεται ότι το Α πρέπει να έχει μεγαλύτερο λόγο ως προς το Β από αυτόν που έχει το Γ προς το Δ· εάν το Α / Β είναι ίσο με Γ / Δ , τότε το Α πρέπει να έχει ως προς το Β τον ίδιο λόγο που το Γ έχει με το Δ· και αν το Α / Β είναι μικρότερο από το Γ / Δ , λέγεται ότι το Α πρέπει να έχει μικρότερο λόγο ως προς το από το Β από αυτόν που έχει το Γ προς το Δ.

Ο μαθητής θα πρέπει να κατανοήσει πλήρως την πρόταση αυτή προτού προχωρήσει παρακάτω προκειμένου να κατανοήσει πλήρως τις επόμενες προτάσεις αυτού του βιβλίου. Συνεπώς, συνιστούμε ένθερμα στον εκπαιδευόμενο να ξεκινήσει ξανά από την αρχή και να διαβάσει αργά και προσεκτικά έως εδώ, και να αιτιολογεί σε κάθε του βήμα, καθώς προχωρά, προστατευόμενος ιδιαίτερα από το αμαρτωλό σύστημα που εξαρτάται εξ ολοκλήρου από τη μνήμη. Ακολουθώντας αυτές τις οδηγίες, θα διαπιστώσει ότι τα τμήματα που συνήθως παρουσιάζουν σημαντικές δυσκολίες δεν θα παρουσιάσουν καθόλου δυσκολίες, στην επιδίωξη της μελέτης αυτού του σημαντικού βιβλίου.

Σ.τ.Μ. Αν α > β, τότε α : γ > β : γ και γ : α < γ : β.

Προταση IX. θεωρημα.

Μεγέθη που έχουν τον ίδιο λόγο προς ένα τρίτο μέγεθος είναι ίσα μεταξύ τους· και εκείνα (τα μεγέθη) προς τα οποία ένα τρίτο μέγεθος έχει τον ίδιο λόγο, είναι πάλι ίσα μεταξύ τους.

Έστω Blue diamond : Yellow square :: Red circle : Yellow square , τότε Blue diamond = Red circle .

Διότι, εάν δεν ίσχυε, έστω Blue diamond > Red circle , τότε
Blue diamond : Yellow square > Red circle : Yellow square (Β.5.πρ.8),
όπερ άτοπο σύμφωνα με την υπόθεση.
Blue diamond δεν είναι > Red circle .

Με τον ίδιο τρόπο μπορεί να αποδειχτεί ότι
Red circle δεν είναι > Blue diamond ,
Blue diamond = Red circle .

Ξανά, έστω Yellow square : Blue diamond :: Yellow square : Red circle , τότε Blue diamond = Red circle .

Διότι Blue diamond : Yellow square :: Red circle : Yellow square ,
επομένως, από την πρώτη περίπτωση, Blue diamond = Red circle .

Μεγέθη που έχουν ίδιο λόγο προς ένα τρίτο μέγεθος κ.λπ

Έστω Α : Β = Α : Γ, τότε Β = Γ, διότι καθώς το κλάσμα Α / Β = Α / Γ , και ο αριθμητής του ενός ισούται με τον αριθμητή του άλλου, συνάγεται ότι και οι παρονομαστές θα είναι ίσοι, δηλαδή Β = Γ.

Επίσης, αν Β : Α = Γ : Α, Β = Γ. Διότι, εφόσον Β / Α = Γ / Α , το Β πρέπει να = Γ.

Σ.τ.Μ. Αν α : γ :: β : γ τότε α = β και αν α : β :: α : γ τότε β = γ.

Προταση X. θεωρημα.

Από τα μεγέθη τα οποία έχουν λόγο προς τρίτο μέγεθος, μεγαλύτερο είναι αυτό που έχει τον μεγαλύτερο λόγο· το δε μέγεθος προς το οποίο το τρίτο έχει τον μεγαλύτερο λόγο, αυτό είναι μικρότερο.

Έστω Blue home : Yellow square > Red circle : Yellow square , τότε Blue home > Red circle .

Διότι εάν δεν ίσχυε, έστω Blue home = ή < Red circle ·
τότε, Blue home : Yellow square = Red circle : Yellow square (Β.5.πρ.7) ή
Blue home : Yellow square : < Red circle : Yellow square (Β.5.πρ.8) και (εξ αντιστροφής.),
όπερ άτοπο, σύμφωνα με την υπόθεση.

Blue home δεν είναι = ή < Red circle , και
Blue home πρέπει να είναι > Red circle .

Ξανά, έστω Yellow square : Red circle > Yellow square : Blue home ,
τότε, Red circle < Blue home .

Διότι εάν δεν ήταν, το, Red circle θα έπρεπε να είναι > ή = Blue home ,
τότε Yellow square : Red circle < Yellow square : Blue home (Β.5.πρ.8) και (εξ αντιστροφής
ή Yellow square : Red circle = Yellow square : Blue home (Β.5.πρ.7), όπερ άτοπο· (εξ υπόθ.
Red circle δεν είναι > ή = με το Blue home ,
και Red circle πρέπει να είναι < Blue home .

Από τα μεγέθη τα οποία έχουν λόγο προς τρίτο μέγεθος κ.λπ.

Σ.τ.Μ. Αν α : γ > β : γ τότε α > β και αν γ : β > γ : α τότε β < α.

Προταση XI. θεωρημα.

Οι λόγοι οι οποίοι είναι ίσοι προς τον ίδιο λόγο, είναι και μεταξύ τους ίσοι.

Έστω Blue diamond : Blue square = Red circle : Yellow home και Red circle : Yellow home = Black triangle : Black circle ,
τότε Blue diamond : Blue square = Black triangle : Black circle .

Διότι, αν Μ Blue diamond >, =, ή < μ Blue square ,
τότε Μ Red circle >, =, ή < μ Yellow home ,
και αν Μ Red circle >, =, ή < μ Yellow home ,
τότε Μ Black triangle >, =, ή < μ Black circle , (Β.5.ορ.5
αν Μ Blue diamond >, =, ή < μ Blue square , Μ Black triangle >, =, ή < μ Black circle ,
και (Β.5.ορ.5) Blue diamond : Blue square = Black triangle : Black circle .

Οι λόγοι οι οποίοι είναι ίσοι προς τον ίδιο λόγο κ.λπ.

Σ.τ.Μ. Aν α : β :: γ : δ και γ : δ :: ε : ζ τότε α : β :: ε : ζ.

Η πρόταση αυτή μας πληροφορεί ότι οι λόγοι δεν είναι αριθμοί, γιατί αν ήταν θα έφτανε η αναφορά στην κοινή έννοια 1.

Προταση XII. θεωρημα.

Εάν υπάρχουν οσαδήποτε μεγέθη σε αναλογία, τότε ο λόγος ενός των ηγουμένων προς ένα των επομένων, θα είναι ίσος με τον λόγο του αθροίσματος των ηγουμένων προς το άθροισμα των επομένων.

Έστω Red square : Red circle = Black dome : Black drop = Yellow diamond : Yellow home = Blue circle : Blue triangle = Black triangle : Black circle ·
τότε Red square : Red circle =
Red square + Black dome + Yellow diamond + Blue circle + Black triangle : Red circle + Black drop + Yellow home + Blue triangle + Black circle .

Διότι εάν Μ Red square > μ Red circle , τότε Μ Black dome > μ Black drop ,
και Μ Yellow diamond > μ Yellow home Μ Blue circle > μ Blue triangle ,
και Μ Black triangle > μ Black circle . (Β.5.ορ.5.)

Επομένως, αν Μ Red square + Μ Black dome + Μ Yellow diamond + Μ Blue circle + Μ Black triangle ,
ή Μ ( Red square + Black dome + Yellow diamond + Blue circle + Black triangle ) θα είναι μεγαλύτερο από
το μ Red circle + μ Black drop + μ Yellow home + μ Blue triangle + μ Black circle ,
ή μ ( Red circle + Black drop + Yellow home + Blue triangle + Black circle ).

Με τον ίδιο τρόπο μπορεί να αποδειχτεί ότι, εάν Μ φορές κάποιον από τους ηγούμενους είναι ίσο ή μικρότερο από μ φορές κάποιον από τους επόμενους, τότε Μ φορές επί όλους τους ηγούμενους θα είναι ίσο ή μικρότερο από μ φορές όλους τους επόμενους. Επομένως, από τον πέμπτο ορισμό, ότι λόγο έχει κάποιος από τους ηγούμενους με τον επόμενό του, τον ίδιο θα έχει και το άθροισμα των ηγουμένων προς το άθροισμα των επομένων.

Εάν υπάρχουν οσαδήποτε μεγέθη σε αναλογία κ.λπ

Σ.τ.Μ. Aν α : α′ :: β : β′ :: γ : γ′ κ.ο.κ τότε α : α′ :: (α + β + γ + ・・・) : (α′ + β′ + γ′ + ・・・).

Προταση XIII. θεωρημα.

Εάν πρώτο μέγεθος προς δεύτερο έχει τον ίδιο λόγο που έχει τρίτο προς τέταρτο, και τρίτο προς τέταρτο έχει μεγαλύτερο λόγο απ’ ότι πέμπτο προς έκτο, τότε και το πρώτο προς το δεύτερο θα έχει μεγαλύτερο λόγο απ’ ότι το πέμπτο προς το έκτο.

Έστω Blue home : Blue dome = Red square : Yellow diamond , αλλά Red square : Yellow diamond > Black drop : Black circle ,
τότε Blue home : Blue dome > Black drop : Black circle .

Διότι, επειδή Red square : Yellow diamond > Black drop : Black circle , υπάρχουν πολλαπλάσια (Μ′ και μ′) του Red square και Black drop , και των Yellow diamond και Black circle , τέτοια ώστε Μ′ Red square > μ′ Yellow diamond ,
αλλά Μ′ Black drop όχι > μ′ Black circle , από τον έβδομο ορισμό.

Ας πάρουμε αυτά τα πολλαπλάσια, και τα ισάκις πολλαπλάσια των Blue home και Blue dome .

(Β.5.ορ.5.) αν Μ′ Blue home >, =, ή < μ′ Blue dome ·
τότε Μ′ Red square >, =, < μ′ Yellow diamond ,
αλλά Μ′ Red square > μ′ Yellow diamond (κατασκευή)·

Μ′ Blue home > μ′ Blue dome ,
αλλά Μ′ Black drop δεν είναι > μ′ Black circle (κατασκευή)·
και επομένως από τον έβδομο ορισμό,
Blue home : Blue dome > Black drop : Black circle .

Εάν πρώτο μέγεθος προς δεύτερο κ.λπ

Σ.τ.Μ. Aν α : β :: γ : δ και γ : δ > ε : ζ τότε α : β > ε : ζ.

Προταση XIV. θεωρημα.

Εάν πρώτο προς δεύτερο έχει τον ίδιο λόγο που έχει τρίτο προς τέταρτο, τότε αν το πρώτο είναι μεγαλύτερο από το τρίτο, και το δεύτερο θα είναι μεγαλύτερο από το τέταρτο· αν είναι ίσα θα είναι ίσα· και αν είναι μικρότερο θα είναι μικρότερο.

Έστω Red home : Black dome :: Yellow square : Blue diamond , και κατ’αρχάς υποθέτουμε ότι
Red home > Yellow square , τότε Black dome > Blue diamond .

Διότι Red home : Black dome > Yellow square : Black dome (Β.5.πρ.8), και σύμφωνα με την
υπόθεση, Red home : Black dome = Yellow square : Blue diamond ·
Yellow square : Blue diamond > Yellow square : Black dome (Β.5.πρ.13),
Blue diamond < Black dome (Β.5.πρ.10.), ή Black dome > Blue diamond .

Δεύτερον, έστω Red home = Yellow square , τότε Black dome = Blue diamond .

διότι Red home : Black dome = Yellow square : Black dome (Β.5.πρ.7),
και Red home : Black dome = Yellow square : Blue diamond (εξ υπόθ.
Yellow square : Black dome = Yellow square : Blue diamond (Β.5.πρ.11),
και Black dome = Blue diamond (Β.5.πρ.9).

Τρίτον, αν Red home < Yellow square , τότε και Black dome < Blue diamond ·
διότι Yellow square > Red home και Yellow square : Blue diamond = Red home : Black dome ·
Blue diamond > Black dome , από την πρώτη περίπτωση,
δηλαδή, Black dome < Blue diamond .

Εάν πρώτο προς δεύτερο έχει τον ίδιο λόγο κ.λπ

Σ.τ.Μ. Aν α : β :: γ : δ τότε α >, = ή < γ αν β >,= ή < δαντίστοιχα.

Προταση XV. θεωρημα.

Τα μέρη έχουν το ίδιο λόγο μεταξύ τους με αυτόν που έχουν τα ισάκις πολλαπλάσιά τους, αν ληφθούν κατάλληλα.

Έστω Red circle και Yellow square δύο μεγέθη·
τότε Red circle : Yellow square :: Μ′ Red circle : Μ′ Yellow square .

Διότι Red circle : Yellow square = Red circle : Yellow square = Red circle : Yellow square = Red circle : Yellow square

Red circle : Yellow square :: 4 Red circle : 4 Yellow square . (Β.5.πρ.12).

Ο ίδιος συλλογισμός μπορεί να γενικευτεί

Red circle : Yellow square :: Μ′ Red circle : Μ′ Yellow square .

Τα μέρη έχουν το ίδιο λόγο μεταξύ τους κ.λπ

Σ.τ.Μ. α : β :: mα : mβ.

Ορισμός XIII.

Οι όροι Permutando ή alternando (εναλλάξ λόγος), χρησιμοποιούνται όταν υπάρχουν τέσσερα ανάλογα μεγέθη, και συνεπάγεται ότι το πρώτο έχει τον ίδιο λόγο με το τρίτο που έχει το δεύτερο προς το τέταρτο· ή ότι το πρώτο είναι προς το τρίτο όπως είναι και το δεύτερο προς το τέταρτο· όπως φαίνεται στην ακόλουθη πρόταση:—

Έστω Yellow circle : Black diamond :: Red home : Blue square ,
θα συμπεραίνουμε ότι “εναλλάξ” θα
ισχύει Yellow circle : Red home :: Black diamond : Blue square .

Είναι ίσως αναγκαίο εδώ να υπογραμμίσουμε ότι τα μεγέθη Yellow circle , Black diamond , Red home , Blue square , πρέπει να είναι ομοιογενή, δηλαδή του ίδιου είδους· θα πρέπει λοιπόν σε τέτοιες περιπτώσεις να συγκρίνουμε γραμμές με γραμμές, επιφάνειες με επιφάνειες, όγκους με όγκους, κ.λπ. Ο σπουδαστής πρέπει να κατανοήσει ότι ετερογενή (ανομοιογενή) μεγέθη δεν μπορούν ποτέ να βρεθούν σε σχέση ηγούμενου προς επόμενο.

Προταση XVI. θεωρημα.

Αν τέσσερα μεγέθη αποτελούν αναλογία, τότε και εναλλάξ (δηλαδή ηγούμενος προς ηγούμενο και επόμενος προς επόμενο) θα αποτελούν αναλογία.

Έστω Red home : Black dome :: Yellow square : Blue diamond , τότε Red home : Yellow square :: Black dome : Blue diamond .

Διότι Μ Red home : Μ Black dome :: Red home : Black dome (Β.5.πρ.15),
και Μ Red home : Μ Black dome :: Yellow square : Blue diamond (εξ υποθ.) και (Β.5.πρ.11
επίσης μ Yellow square : μ Blue diamond :: Yellow square : Blue diamond (Β.5.πρ.15
Μ Red home : Μ Black dome :: μ Yellow square : μ Blue diamond (Β.5.πρ.14),
και αν Μ Red home >, =, ή < μ Yellow square ,
τότε Μ Black dome >, =, ή < μ Blue diamond (Β.5.πρ.14
επομένως από τον πέμπτο ορισμό,
Red home : Yellow square :: Black dome : Blue diamond .

Αν τέσσερα μεγέθη αποτελούν αναλογία κ.λπ.

Σ.τ.Μ. Aν α : β :: γ : δτότε α : γ :: β : δ.

Ορισμός XVI.

Dividendo (διαίρεση λόγου), είναι ο τεχνικός όρος όπου, εάν υπάρχουν τέσσερα μεγέθη σε αναλογία θα συνεπάγεται ότι η διαφορά του πρώτου από τον δεύτερο είναι για τον δεύτερο, όπως είναι η διαφορά του τρίτου από τον τέταρτο, ως προς τον τέταρτο.

Έστω Α : Β :: Γ : Δ·
τότε θα συνεπάγεται
Α μείον Β : Β :: Γ μείον Δ : Δ.

Σύμφωνα με το παραπάνω, το Α πρέπει να είναι μεγαλύτερο από το Β, και το Γ μεγαλύτερο από το Δ· εάν αυτό δεν ισχύει, και το Β είναι μεγαλύτερο από το Α, και το Δ μεγαλύτερο από το Γ, τότε τα Β και Δ μπορούμε να τα θεωρήσουμε ως ηγούμενους, και τα Α και Γ ως επόμενους, με αντιστροφή

Β : Α :: Δ : Γ·
τότε λόγω “dividendo,” συνεπάγεται
Β μείον Α : Α :: Δ μείον Γ : Γ.

Προταση XVII. θεωρημα.

Αν δύο μεγέθη αποτελούν μέρος δύο άλλων μεγεθών και βρίσκονται σε αναλογία με αυτά, τότε, αν χωριστούν από αυτά, θα αποτελούν και πάλι αναλογία.

Έστω Red home + Black dome : Black dome :: Yellow square + Blue diamond : Blue diamond ,
τότε Red home : Black dome :: Yellow square : Blue diamond .

Αν πάρουμε Μ Red home > μ Black dome και προσθέσουμε στον κάθε όρο Μ Black dome ,
τότε θα έχουμε Μ Red home + Μ Black dome > μ Black dome + Μ Black dome ,
ή Μ ( Red home + Black dome ) > (μ + Μ) Black dome :
αλλά επειδή Red home + Black dome : Black dome :: Yellow square + Blue diamond : Blue diamond (εξ υποθ.),
και Μ ( Red home + Black dome ) > (μ + Μ) Black dome ·
Μ ( Yellow square + Blue diamond ) > (μ + Μ) Blue diamond (Β.5.ορ.5
Μ Yellow square + Μ Blue diamond > μ Blue diamond + Μ Blue diamond ·
Μ Yellow square > μ Blue diamond , αν αφαιρέσουμε το Μ Blue diamond και από τις δύο πλευρές:
δηλαδή, όταν Μ Red home > μ Black dome , τότε Μ Yellow square > μ Blue diamond .

Με τον ίδιο τρόπο μπορεί να αποδειχτεί, ότι εάν
Μ Red home = ή < μ Black dome , τότε Μ Yellow square = ή < μ Blue diamond ·
και Red home : Black dome :: Yellow square : Blue diamond (Β.5.ορ.5).

Αν δύο μεγέθη αποτελούν μέρος δύο άλλων μεγεθών κ.λπ.

Σ.τ.Μ. Aν α + β : β :: γ + δ : δ τότε α : β :: γ : δ.

Ορισμός XV.

Ο όρος Componendo (σύνθεση λόγου), χρησιμοποιείται όταν υπάρχουν τέσσερα μεγέθη σε αναλογία και συνεπάγεται ότι το άθροισμα του πρώτου με το δεύτερο είναι για το δεύτερο όπως είναι και το άθροισμα του τρίτου με τον τέταρτο ως προς τον τέταρτο.

Έστω Α : Β :: Γ : Δ·
τότε με τον όρο Componendo εννοούμε ότι
Α + Β : Β :: Γ + Δ : Δ.

Με αντιστροφή τα Β και Δ μπορούν να γίνουν το πρώτο και το τρίτο και τα Α και Γ το δεύτερο και το τέταρτο

Β : Α :: Δ : Γ,
Οπότε, εκ συνθέσεως (Componendo), συνεπάγεται ότι
Β + Α : Α :: Δ + Γ : Γ.

Προταση XVIII. θεωρημα.

Αν μεγέθη διηρημένα αποτελούν αναλογία, τότε και προστιθέμενα θα αποτελούν πάλι αναλογία. Δηλαδή το πρώτο με το δεύτερο μαζί θα είναι ως προς το δεύτερο, ότι και το τρίτο και το τέταρτο μαζί, ως προς το τέταρτο.

Έστω Red home : Black dome :: Yellow square : Blue diamond ,
τότε Red home + Black dome : Black dome :: Yellow square + Blue diamond : Blue diamond ·
διότι εάν όχι, έστω Red home + Black dome : Black dome :: Yellow square + Black circle : Black circle ,
με την υπόθεση ότι Black circle δεν είναι = Blue diamond ·
Red home : Black dome :: Yellow square : Black circle (Β.5.πρ.17
αλλά Red home : Black dome :: Yellow square : Blue diamond (εξ υποθ.
Yellow square : Black circle :: Yellow square : Blue diamond (Β.5.πρ.11
Black circle = Blue diamond (Β.5.πρ.9),
που αντίκειται (δεν συμφωνεί με) στην υπόθεση·
Black circle δεν είναι άνισο με το Blue diamond ·
δηλαδή Black circle = Blue diamond ·
Red home + Black dome : Black dome :: Yellow square + Blue diamond : Blue diamond .

Αν μεγέθη διηρημένα αποτελούν αναλογία, κ.λπ.

Σ.τ.Μ. Aν α : β :: γ : δ τότε α + β : β :: γ + δ : δ.

Προταση XIX. θεωρημα.

Αν δύο μεγέθη είναι ανάλογα προς δύο αφαιρεθέντα μέρη τους, τότε θα είναι ανάλογα και προς τα υπόλοιπά τους.

Έστω Red home + Black dome : Blue square + Yellow diamond :: Red home : Blue square ,
τότε και Black dome : Yellow diamond :: Red home + Black dome : Blue square + Yellow diamond ,

Διότι Red home + Black dome : Red home :: Blue square + Yellow diamond : Blue square (εναλλάξ),

Black dome : Red home :: Yellow diamond : Blue square (divid.),
ξανά Black dome : Yellow diamond :: Red home : Blue square (εναλλάξ.),
αλλά Red home + Black dome : Blue square + Yellow diamond :: Red home : Blue square (εξ υποθ.
επομένως Black dome : Yellow diamond :: Red home + Black dome : Blue square + Yellow diamond
(Β.5.πρ.11).

Αν δύο μεγέθη είναι ανάλογα προς δύο αφαιρεθέντα μέρη κ.λπ.

Σ.τ.Μ. Aν α : β :: γ : δ τότε α : β :: α − γ : β − δ.

Ορισμός XVII.

Ο όρος convertendo (αναστροφή λόγου), χρησιμοποιείται από τους γεωμέτρες όταν υπάρχουν τέσσερα μεγέθη σε αναλογία και συνεπάγεται ότι το πρώτο είναι σε σχέση με την διαφορά του από το δεύτερο, όπως είναι και το τρίτο ως προς την διαφορά του από τον τέταρτο. Δείτε την επόμενη πρόταση:—

Προταση E. Θεωρημα.

Όταν υπάρχουν τέσσερα μεγέθη σε αναλογία, τότε θα είναι σε αναλογία και εξ αναστροφής, δηλαδή το πρώτο είναι σε σχέση με την διαφορά του από το δεύτερο, όπως είναι και το τρίτο ως προς την διαφορά του από τον τέταρτο.

Έστω Blue circle Black drop : Black drop :: Red square Yellow diamond : Yellow diamond ,
τότε Blue circle Black drop : Blue circle :: Red square Yellow diamond : Red square ,

Διότι Blue circle Black drop : Black drop : Red square Yellow diamond : Yellow diamond ·
επομένως Blue circle : Black drop :: Red square : Yellow diamond (divid. - εκ διαιρέσεως),

Black drop : Blue circle :: Yellow diamond : Red square (inver. - εξ αναστροφής),

Blue circle Black drop : Blue circle :: Red square Yellow diamond : Red square (compo. - εκ συνθέσεως).

Όταν υπάρχουν τέσσερα μεγέθη κ.λπ.

Ορισμός XVIII.

“Ex æquali” ή ex æquo (δι’ ίσου λόγος), από την ισότητα της απόστασης: είναι αν υπάρχουν μεγέθη (περισσότερα από δύο) και άλλα τόσα ίσα σε πλήθος με αυτά, τα οποία λαμβανόμενα ανά δύο να βρίσκονται σε αναλογία, και ο λόγος του πρώτου προς το τελευταίο στα πρώτα μεγέθη να είναι ίδιος με το λόγο του πρώτου προς τον τελευταίο στα δεύτερα μεγέθη. Διαφορετικά ειπωμένο, δι’ ίσου λόγος (ex æquo) είναι η λήψη των άκρων όρων με εξαίρεση των μέσων: «αυτού (του λόγου) υπάρχουν δύο είδη, ανάλογα με την σειρά με την οποία θα λαμβάνονται ανά δύο τα μεγέθη»· αυτά τα δύο είδη ορίζονται στους επόμενους ορισμούς.

Ορισμός XIX.

“Ex æquali.” Αυτός ο όρος χρησιμοποιείται όταν το πρώτο μέγεθος είναι ως προς το δεύτερο της ίδιας σειράς, όπως είναι και το πρώτο προς το δεύτερο της άλλης σειράς· και όπως είναι το δεύτερο προς το τρίτο της πρώτης σειράς είναι και το δεύτερο προς το τρίτο της άλλης σειράς, κ.ο.κ. Η αναλογία αυτή, μία από τις δύο περιπτώσεις του προηγούμενου ορισμού, λέγεται τεταγμένη, και αποδεικνύεται στο Βιβλίο 5, pr. 22.

Αν είναι λοιπόν δύο σειρές μεγεθών,

A, B, Γ, Δ, E, Ζ, η πρώτη σειρά,
και Λ, M, N, Ξ, Ο, Π, η δεύτερη,
έτσι ώστε A : B :: Λ : M, B : Γ :: M : N,
Γ : Δ :: N : Ξ, Δ : E :: Ξ : Ο, E : Ζ :: Ο : Π·
Η αναλογία είναι τεταγμένη και
ο δι’ ίσου λόγος (ex æquali) είναι
A : Ζ :: Λ : Π.

Ορισμός XX.

“Ex æquali in proportione perturbatâ ή τεταραγμένη αναλογία. Αυτός ο όρος χρησιμοποιείται όταν το πρώτο μέγεθος είναι προς το δεύτερο της πρώτης σειρά όπως το προτελευταίο είναι ως προς το τελευταίο της δεύτερης σειράς, και το δεύτερο προς το τρίτο της πρώτης σειράς είναι όπως το προ-προτελευταίο προς το προτελευταίο της δεύτερης σειράς κ.ο.κ. Αυτή είναι η δεύτερη περίπτωση του 18ου ορισμού και αποδεικνύεται στο Βιβλίο 5, πρ.23.

Έτσι, αν είναι δύο σειρές μεγεθών,

A, B, Γ, Δ, E, Ζ, η πρώτη σειρά,
και Λ, M, N, Ξ, Ο, Π, η δεύτερη,
έτσι ώστε A : B :: Ο : Π, B : Γ :: Ξ : Ο,
Γ : Δ :: N : Ξ, Δ : E :: M : N, E : Ζ :: Λ : M·
Η αναλογία είναι τεταραγμένη και ο δι’ ίσου λόγος (ex æquali in proportione perturbatâ ſeu inordinatâ) είναι πάλι
A : Ζ :: Λ : Π.

Προταση XX. θεωρημα.

Έστω τρία μεγέθη και άλλα τρία ίσα κατά το πλήθος με αυτά και τα οποία ανά δύο έχουν τον ίδιο λόγο. Αν δημιουργηθεί αναλογία δι’ ίσου λόγου (με εξαίρεση των μέσων όρων), τότε οποιαδήποτε σχέση έχει το πρώτο με το τρίτο μέγεθος, την ίδια σχέση θα έχει το τέταρτο με το έκτο μέγεθος.

Έστω Blue home , Red dome , Yellow square , είναι τα πρώτα τρία μεγέθη,
και Blue diamond , Red drop , Yellow circle , είναι τα άλλα τρία,
τέτοια ώστε Blue home : Red dome :: Blue diamond : Red drop , και Red dome : Yellow square :: Red drop : Yellow circle .

Τότε, εάν Blue home >, =, ή < Yellow square , τότε και Blue diamond >, =, ή < Yellow circle .

Από την υπόθεση, με εναλλαγή-alter., έχουμε
Blue home : Blue diamond :: Red dome : Red drop ,
και Red dome : Red drop :: Yellow square : Yellow circle ·

Blue home : Blue diamond :: Yellow square : Yellow circle (Β.5.πρ.11

αν Blue home >, =, ή < Yellow square , τότε Blue diamond >, =, ή < Yellow circle (Β.5.πρ.14).

Έστω τρία μεγέθη και άλλα τρία κ.λπ.

Σ.τ.Μ. Aν α : β :: δ : ε και β : γ :: ε : ζ τότε α >, = ή < γ αν δ >, = ή < ζ αντίστοιχα.

Προταση XXI. θεωρημα.

Αν υπάρχουν τρία μεγέθη και άλλα ίσα κατά το πλήθος με αυτά, έτσι ώστε λαμβανόμενα ανά δύο να έχουν τον ίδιο λόγο και είναι η αναλογία τους τεταραγμένη, τότε: αν το πρώτο είναι μεγαλύτερο από το τρίτο, θα είναι και το τέταρτο μεγαλύτερο από το έκτο. Αντίστοιχα, αν το πρώτο είναι ίσο με το τρίτο, θα είναι και το τέταρτο ίσο με το έκτο, και εάν το πρώτο είναι μικρότερο από το τρίτο, θα είναι και το τέταρτο μικρότερο από το έκτο.

Έστω Yellow home , Red home , Blue square , είναι τα πρώτα τρία μεγέθη,
και Blue diamond , Red drop , Yellow circle , είναι τα άλλα τρία,
τέτοια ώστε Yellow home : Red home :: Red drop : Yellow circle , και Red home : Blue square :: Blue diamond : Red drop .

Τότε, αν Yellow home >, =, ή < Blue square , τότε
και Blue diamond >, =, ή < Yellow circle .

Κατ’ αρχάς, έστω Yellow home είναι > Blue square :
τότε, επειδή το Red home είναι οποιοδήποτε άλλο μέγεθος,
Yellow home : Red home > Blue square : Red home (Β.5.πρ.8
αλλά Red drop : Yellow circle :: Yellow home : Red home (εξ υποθ.
Red drop : Yellow circle > Blue square : Red home (Β.5.πρ.13
και επειδή Red home : Blue square :: Blue diamond : Red drop (εξ υποθ.
Blue square : Red home :: Red drop : Blue diamond (εξ αναστροφής.),
και αποδείχτηκε ήδη ότι Red drop : Yellow circle > Blue square : Red home ,
Red drop : Yellow circle > Red drop : Blue diamond (Β.5.πρ.13
Yellow circle < Blue diamond ,
δηλαδή Blue diamond > Yellow circle .

Κατά δεύτερον, έστω Yellow home = Blue square · τότε και Blue diamond = Yellow circle
Διότι, επειδή Yellow home = Blue square ,
Yellow home : Red home = Blue square : Red home (Β.5.πρ.7
αλλά Yellow home : Red home = Red drop : Yellow circle (hyp.),
και Blue square : Red home = Red drop : Blue diamond (εξ υποθ. και εξ αναστροφής-inver.),
Red drop : Yellow circle = Red drop : Blue diamond (Β.5.πρ.11),
Blue diamond = Yellow circle (Β.5.πρ.9).

Στη συνέχεια, έστω Yellow home είναι < Blue square , τότε το Blue diamond θα είναι < Yellow circle ·
διότι Blue square > Yellow home ,
και έχει αποδειχτεί ήδη ότι Blue square : Red home = Red drop : Blue diamond ,
και Red home : Yellow home = Yellow circle : Red drop ·
από την πρώτη περίπτωση Yellow circle είναι > Blue diamond ,
δηλαδή, Blue diamond < Yellow circle .

Αν υπάρχουν τρία μεγέθη και άλλα ίσα κ.λπ.

Σ.τ.Μ. Aν α : β :: ε : ζ και β : γ :: δ : ε τότε α >, = ή < γ αν δ >, = ή < ζ αντίστοιχα.

Προταση XXII. θεωρημα.

Αν υπάρχουν δύο ομάδες μεγεθών ίσου πλήθους, έτσι ώστε λαμβανόμενα αυτά με τη σειρά ανά δύο να έχουν τον ίδιο λόγο, τότε το πρώτο θα έχει με το τελευταίο της πρώτης ομάδας τον ίδιο λόγο που έχει το πρώτο με το τελευταίο της δεύτερης ομάδας (οι δι’ ίσου λόγοι είναι ίσοι).

Σημείωση—Αυτό συνήθως αποδίδεται με τον όρο “ex æquali,” or “ex æquo.” (Σ.τ.μ.: τεταγμένη αναλογία.)

Κατ’ αρχάς, έστω κάποια μεγέθη Red home , Blue diamond , Yellow square ,
και άλλα τόσα Red diamond , Blue drop , Yellow circle ,
τέτοια ώστε
Red home : Blue diamond :: Red diamond : Blue drop ,
και Blue diamond : Yellow square :: Blue drop : Yellow circle ·
τότε Red home : Yellow square :: Red diamond : Yellow circle .

Έστω αυτά τα μεγέθη, όπως και οποιαδήποτε ισάκις πολλαπλάσια των ηγουμένων και των επομένων των λόγων, να είναι ως εξής:—

Red home , Blue diamond , Yellow square , Red diamond , Blue drop , Yellow circle ,
και
M Red home , μ Blue diamond , N Yellow square , M Red diamond , μ Blue drop , N Yellow circle ,
επειδή Red home : Blue diamond :: Red diamond : Blue drop ·
M Red home : μ Blue diamond :: M Red diamond : μ Blue drop (Β.5.πρ.4).

Για τον ίδιο λόγο
μ Blue diamond : N Yellow square :: μ Blue drop : N Yellow circle ·
και επειδή υπάρχουν τρία μεγέθη,
M Red home , μ Blue diamond , N Yellow square ,
και άλλα τρία M Red diamond , μ Blue drop , N Yellow circle ,
τα οποία, λαμβανόμενα ανά δύο έχουν τον ίδιο λόγο·

αν M Red home >, =, < N Yellow square
τότε M Red diamond >, =, < N Yellow circle , λόγω (Β.5.πρ.20
και Red home : Yellow square :: Red diamond : Yellow circle (ορ.5).

Στη συνέχεια, έστω τέσσερα μεγέθη, Blue home , Black diamond , Yellow square , Red diamond ,
και άλλα τέσσερα Blue drop , Black circle , Yellow rectangle , Red triangle ,
τα οποία αν τα πάρουμε ανά δύο, έχουν τον ίδιο λόγο,
δηλαδή, Blue home : Black diamond :: Blue drop : Black circle ,
Black diamond : Yellow square :: Black circle : Yellow rectangle ,
και Yellow square : Red diamond :: Yellow rectangle : Red triangle ,
τότε Blue home : Red diamond :: Blue drop : Red triangle ·
διότι, επειδή Blue home , Black diamond , Yellow square , είναι τρία μεγέθη,
και Blue drop , Black circle , Yellow rectangle , άλλα τρία,
τα οποία λαμβανόμενα ανά δύο έχουν τον ίδιο λόγο·
επομένως, από την προηγούμενη περίπτωση, Blue home : Yellow square :: Blue drop : Yellow rectangle ,
αλλά Yellow square : Red diamond :: Yellow rectangle : Red triangle ·
επομένως ξανά, λόγω της πρώτης περίπτωσης, Blue home : Red diamond :: Blue drop : Red triangle ·
κ.ο.κ., για οποιοδήποτε πλήθος μεγεθών.

Αν υπάρχουν δύο ομάδες μεγεθών ίσου πλήθους κ.λπ.

Σ.τ.Μ. Aν α : β :: ε : ζ και β : γ :: ζ : η και γ : δ :: η : θ τότε α : δ :: ε : θ.

Προταση XXIII. θεωρημα.

Αν υπάρχουν δύο ομάδες μεγεθών ίσου πλήθους, έτσι ώστε λαμβανόμενα αυτά διαγωνίως ανά δύο να έχουν τον ίδιο λόγο, τότε το πρώτο θα έχει με το τελευταίο της πρώτης ομάδας τον ίδιο λόγο που έχει το πρώτο με το τελευταίο της δεύτερης ομάδας (οι δι’ ίσου λόγοι είναι ίσοι).

Σημείωση—Αυτό συνήθως αποδίδεται με τον όρο “ex æquali in proportione perturbatâ·” ή “ex æquo perturbato.” (Σ.τ.μ.: τεταραγμένη αναλογία.)

Κατ’ αρχάς, έστω τρία μεγέθη Yellow home , Blue dome , Red square ,
και άλλα τρία Yellow diamond , Blue drop , Red circle ,
τα οποία λαμβανόμενα ανά δύο διαγωνίως, έχουν τον ίδιο λόγο· δηλαδή, Yellow home : Blue dome :: Blue drop : Red circle , και Blue dome : Red square :: Yellow diamond : Red circle , τότε Yellow home : Red square :: Yellow diamond : Red circle .

Έστω ότι αυτά τα μεγέθη και τα αντίστοιχα ισάκις πολλαπλάσιά τους, τα διευθετούμε ως εξής:—

Yellow home , Blue dome , Red square , Yellow diamond , Blue drop , Red circle ,
M Yellow home , M Blue dome , μ Red square , M Yellow diamond , μ Blue drop , μ Red circle ,
τότε Yellow home : Blue dome :: M Yellow home : M Blue dome (Β.5.πρ.15
και για τον ίδιο λόγο
Blue drop : Red circle :: μ Blue drop : μ Red circle ·
αλλά Yellow home : Blue dome :: Blue drop : Red circle (εξ υποθ.),
M Yellow home : M Blue dome :: Blue drop : Red circle (Β.5.πρ.11
και επειδή Blue dome : Red square :: Yellow diamond : Blue drop (εξ υποθ.),
M Blue dome : μ Red square :: M Yellow diamond : μ Blue drop (Β.5.πρ.4
τότε, επειδή υπάρχουν τρία μεγέθη,
M Yellow home , M Blue dome , μ Red square ,
και άλλα τρία, M Yellow diamond , μ Blue drop , μ Red circle ,
τα οποία λαμβανόμενα ανά δύο διαγωνίως, έχουν τον ίδιο λόγο·
επομένως, αν M Yellow home >, =, ή < μ Red square ,
τότε M Yellow diamond >, =, ή < μ Red circle (Β.5.πρ.21),
και Yellow home : Red square :: Yellow diamond : Red circle (Β.5.ορ.5).

Στη συνέχεια, έστω τέσσερα μεγέθη,
Yellow home , Blue dome , Red square , Yellow diamond ,
και άλλα τέσσερα, Blue drop , Red circle , Black rectangle , Black triangle ,
τα οποία λαμβανόμενα ανά δύο διαγωνίως, έχουν τον ίδιο λόγο· δηλαδή, Yellow home : Blue dome :: Black rectangle : Black triangle , Blue dome : Red square :: Red circle : Black rectangle , και Red square : Yellow diamond :: Blue drop : Red circle . τότε Yellow home : Yellow diamond :: Blue drop : Black triangle . Διότι, επειδή Yellow home , Blue dome , Red square είναι τρία μεγέθη,
και Red square , Black rectangle , Black triangle , άλλα τρία,
τα οποία λαμβανόμενα ανά δύο διαγωνίως, έχουν τον ίδιο λόγο,
επομένως, λόγω της πρώτης περίπτωσης, Yellow home : Red square :: Red square : Black triangle ,
αλλά Red square : Yellow diamond :: Blue drop : Red circle ,
επομένως ξανά, λόγω της πρώτης περίπτωσης, Yellow home : Yellow diamond :: Blue drop : Black triangle ·
κ.ό.κ, για οποιοδήποτε αριθμό τέτοιων μεγεθών.

Αν υπάρχουν δύο ομάδες μεγεθών ίσου πλήθους κ.λπ.

Σ.τ.Μ. Aν α : β :: ε : ζ και β : γ :: δ : ε τότε α : γ :: δ : ζ.

Προταση XXIV. θεωρημα.

Αν ένα πρώτο μέγεθος προς ένα δεύτερο έχει τον ίδιο λόγο που έχει ένα τρίτο προς ένα τέταρτο μέγεθος και ένα πέμπτο μέγεθος προς το δεύτερο έχει τον ίδιο λόγο που έχει ένα έκτο μέγεθος προς το τέταρτο, τότε το άθροισμα του πρώτου και του πέμπτου προς το δεύτερο θα έχει τον ίδιο λόγο που έχει το άθροισμα του τρίτου και του έκτου προς το τέταρτο.

Red home
Black dome
Blue square
Yellow diamond
Red drop
Blue circle

Έστω Red home : Black dome :: Blue square : Yellow diamond , και Red drop : Black dome :: Blue circle : Yellow diamond , τότε Red home + Red drop : Black dome :: Blue square + Blue circle : Yellow diamond .

Red drop : Black dome :: Blue circle : Yellow diamond (εξ υποθ.),
και Black dome : Red home :: Yellow diamond : Blue square (εξ υποθ.) και (εξ αναστροφής - invert.),

Red drop : Red home :: Blue circle : Blue square (Β.5.πρ.22
και, επειδή αυτά τα μεγέθη είναι ανάλογα, θα είναι ανάλογα και όταν παρθούν μαζί,

Red home + Red drop : Red drop :: Blue circle + Blue square : Blue circle (Β.5.πρ.18),
αλλά Red drop : Black dome :: Blue circle : Yellow diamond (εξ υποθ.),

Red home + Red drop : Black dome :: Blue circle + Blue square : Yellow diamond (Β.5.πρ.22).

Αν ένα πρώτο μέγεθος προς ένα δεύτερο κ.λπ.

Σ.τ.Μ. Aν α : β :: γ : δ και ε : β :: ζ : δ τότε α + ε : β :: γ + ζ : δ.

Προταση XXV. θεωρημα.

Αν τέσσερα μεγέθη βρίσκονται σε αναλογία, τότε το άθροισμα του μεγαλύτερου και του μικρότερου από αυτά είναι μεγαλύτερο από το άθροισμα των δύο άλλων.

Έστω τέσσερα ομοειδή μεγέθη Red home + Black dome , Blue square + Yellow diamond , Black dome , και Yellow diamond ,
είναι ανάλογα, δηλαδή,

Red home + Black dome : Blue square + Yellow diamond :: Black dome : Yellow diamond ,
και έστω το Red home + Black dome είναι το μεγαλύτερο από τα τέσσερα, τότε
από τις προτάσεις Α και 14 του 5ου Βιβλίου, το Yellow diamond θα είναι το μικρότερο·
τότε Red home + Black dome + Yellow diamond θα είναι > Blue square + Yellow diamond + Black dome ;
διότι Red home + Black dome : Blue square + Yellow diamond :: Black dome : Yellow diamond ,

Red home : Blue square :: Red home + Black dome : Blue square + Yellow diamond (Β.5.πρ.19),
αλλά Red home + Black dome > Blue square + Yellow diamond (εξ υποθ.),

Red home > Blue square (Β.5.πρ.Α
tαν προσθέσουμε στο καθένα Black dome + Yellow diamond ,
Red home + Black dome + Yellow diamond > Blue square + Black dome + Yellow diamond .

Αν τέσσερα μεγέθη βρίσκονται σε αναλογία κ.λπ.

Σ.τ.Μ. Aν α : β :: γ : δ, και ο α είναι ο μεγαλύτερος και δ ο μικρότερος, τότε α + δ > β + γ.

Ορισμος X.

Εάν τρία μεγέθη είναι ανάλογα, το πρώτο λέμε ότι έχει προς το τρίτο το διπλάσιο λόγο από αυτόν που έχει ως προς το δεύτερο. [Σ.τ.μ. Με τον όρο διπλάσιο εννοεί υψωμένο στο τετράγωνο]

Για παράδειγμα εάν τα A, B, Γ, βρίσκονται σε συνεχή αναλογία, δηλαδή A : B :: B : Γ, το A λέγεται ότι έχει προς το Γ τον διπλάσιο λόγο του A : B·

ή A / Γ = το τετράγωνο του A / B .

Αυτή η ιδιότητα μπορεί να φανεί πιο καθαρά με τις εξής ποσότητες

aρ2, aρ, a, for aρ2 : aρ :: aρ : a;

και aρ2 / a = ρ2 = το τετράγωνο του aρ2 / aρ = ρ,

ή τις a, aρ, aρ2;

διότι a / aρ2 = 1 / ρ2 = το τετράγωνο του a / aρ = 1 / ρ .

Ορισμος XI.

Όταν τέσσερα μεγέθη βρίσκονται σε συνεχή αναλογία, το πρώτο λέμε ότι έχει τον τριπλάσιο λόγο ως προς το τέταρτο από αυτόν που έχει ως προς το δεύτερο· κ.ό.κ. για κάθε αριθμό αναλόγων μεγεθών. [Σ.τ.μ. Με τον όρο τριπλάσιο εννοεί υψωμένο στην τρίτη, κ.ό.κ.]

Για παράδειγμα εάν τα Α, B, Γ, Δ, βρίσκονται σε συνεχή αναλογία, δηλαδή Α : B :: B : Γ το Α λέγεται ότι έχει προς το Δ, τον τριπλάσιο λόγο του Α to B;

ή Α / Δ = ο κύβος του Α / B .

Αυτός ο ορισμός θα γίνει καλύτερα κατανοητός εάν εφαρμοστεί σε περισσότερα μεγέθη που βρίσκονται σε συνεχή αναλογία, ως εξής:—

Έστω aρ3, aρ2, aρ, a, είναι τέσσερα μεγέθη σε συνεχή αναλογία,
δηλαδή, aρ3 : aρ2 :: aρ2 : aρ :: aρ : a,
τότε aρ3 / a = ρ3 = ο κύβος του aρ3 / aρ3 = ρ.

Ή, έστω aρ5, aρ4, aρ3, aρ2, aρ, a, είναι έξι μεγέθη σε συνεχή αναλογία, δηλαδή,

aρ5 : aρ4 :: aρ4 : aρ3 :: aρ3 : aρ2 :: aρ2 : aρ :: aρ : a,
τότε ο λόγος aρ5 / a = ρ5 ο λόγος του πρώτου προς τον δεύτερο εις την πέμπτη aρ5 / aρ4 = ρ.

Ή έστω a, aρ, aρ2, aρ3, aρ4, είναι πέντε μεγέθη σε συνεχή αναλογία· τότε a / aρ4 = 1 / ρ4 = ο λόγος του πρώτου προς τον δεύτερο εις την τετάρτη a a / aρ = 1 / ρ .

Ορισμος A.

Η γνώση ενός σύνθετου λόγου:—

Όταν υπάρχει οποιοδήποτε πλήθος από ομοειδή μεγέθη, το πρώτο λέμε ότι έχει προς το τελευταίο σύνθετο λόγο που έχει συντεθεί από τον λόγο του πρώτου ως προς το δεύτερο, και τον λόγο του δεύτερου ως προς το τρίτο, και το λόγο του τρίτου ως προς το τέταρτο κ.ο.κ., έως και το τελευταίο μέγεθος.

Α Β Γ Δ
Ε Ζ Η Θ Κ Λ
Μ Ν

Για παράδειγμα, αν τα Α, Β, Γ, Δ, είναι τέσσερα ομοειδή μεγέθη, το πρώτο Α λέμε ότι έχει ως προς το τελευταίο Δ τον λόγο που συντίθεται από τον λόγο του Α προς το Β, και τον λόγο του Β προς το Γ, και τον λόγο του Γ προς το Δ· ή, ο λόγος του Α προς το Δ λέμε ότι συντίθεται από τους λόγους Α προς Β, Β προς Γ, και Γ προς Δ.

Και εάν το Α έχει ως προς το Β τον ίδιο λόγο που το Ε έχει ως προς Ζ, και το Β ως προς Γ τον ίδιο λόγο που το Η έχει ως προς Θ, και το Γ προς το Δ τον ίδιο λόγο που το Κ έχει προς το Λ· τότε, εξ αυτού του ορισμού, το Α λέμε ότι έχει προς το Δ τον λόγο που συντίθεται από λόγους ίσους με τους λόγους Ε προς Ζ, Η προς Θ, και Κ προς Λ. Και το ίδιο πράγμα εννοούμε όταν λέμε εν συντομία ότι το Α έχει προς το Δ λόγο σύνθετο εκ των λόγων Ε προς Ζ, Η προς Θ, και Κ προς Λ.

Με παρόμοιο τρόπο και τις ίδιες παραδοχές· αν το Μ έχει προς το Ν τον ίδιο λόγο που το Α έχει προς το Δ, τότε χάριν συντομίας λέμε ότι το Μ έχει προς το Ν λόγο σύνθετο εκ των λόγων Ε προς Ζ, Η προς Θ, και Κ προς Λ.

Αυτός ο ορισμός γίνεται ευκολότερα κατανοητός με ένα αριθμητικό ή αλγεβρικό παράδειγμα· διότι, στην πραγματικότητα, ένας λόγος σύνθετος άλλων επί μέρους λόγων δεν είναι κάτι περισσότερο από ένα λόγο που έχει ως ηγούμενο το γινόμενο όλων των ηγούμενων των επί μέρους λόγων, και για επόμενο το γινόμενο όλων των επόμενων των επί μέρους λόγων.

Έτσι, ο σύνθετος λόγος των λόγων
2 : 3, 4 : 7, 6 : 11, 2: 5,
είναι ο λόγος 2 × 4 × 6 × 2 : 3 × 7 × 11 × 5,
ή ο λόγος 96 : 1155, ή 32: 385.

Και των ομοειδών μεγεθών Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, ο λόγος, Α : Ζ είναι ο σύνθετος λόγος των λόγων

Α : Β, Β : Γ, Γ : Δ, Δ : Ε, Ε : Ζ·
διότι Α × Β × Γ × Δ × Ε : Β × Γ × Δ × Ε × Ζ,
ή Α × Β × Γ × Δ × Ε / Β × Γ × Δ × Ε × Ζ = Α / Ζ ή ο λόγος Α : Ζ.

Προταση Ζ. θεωρημα.

Οι λόγοι που συντίθενται από τους ίδιους λόγους είναι ίσοι μεταξύ τους.

Έστω Α : Β :: Ζ : Η, Β : Γ :: Η : Θ, Γ : Δ :: Θ : Κ, και Δ : Ε :: Κ : Λ.
Α Β Γ Δ Ε
Ζ Η Θ Κ Λ

Τότε, ο λόγος που συντίθεται από τους λόγους των Α : Β, Β : Γ, Γ : Δ, Δ : Ε, ή ο λόγος Α : Ε, είναι ο ίδιος με τον λόγο που συντίθεται από τους λόγους των Ζ : Η, Η : Θ, Θ : Κ, Κ : Λ, τον λόγο Ζ : Λ.

Διότι Α / Β = Ζ / Η , Β / Γ = Η / Θ , Γ / Δ = Θ / Κ , Δ / Ε = Κ / Λ ·

Α × Β × Γ × Δ / Β × Γ × Δ × Ε = Ζ × Η × Θ × Κ / Η × Θ × Κ × Λ

και Α / Ε = Ζ / Λ ,
ή ο λόγος Α : Ε είναι ίσος με τον λόγο Ζ : Λ.

Αυτό μπορεί να αποδειχθεί για οποιοδήποτε πλήθος λόγων.

Κατόπιν, έστω Α : Β :: Κ : Λ, Β : Γ :: Θ : Κ, Γ : Δ :: Η : Θ, Δ : Ε :: Ζ : Η.

Τότε ο λόγος που συντίθεται από τους λόγους Α : Β, Β : Γ, Γ : Δ, Δ : Ε, ή ο λόγος Α : Ε, είναι ο ίδιος με τον λόγο που συντίθεται από τους λόγους των Κ : Λ, Θ : Κ, Η : Θ, Ζ : Η, τον λόγο Ζ : Λ.

Διότι Α / Β = Κ / Λ , Β / Γ = Θ / Κ , Γ / Δ = Η / Θ , και Δ / Ε = Ζ / Η ·

Α × Β × Γ × Δ / Β × Γ × Δ × Ε = Κ × Θ × Η × Ζ / Λ × Κ × Θ × Η

και Α / Ε = Ζ / Λ ,
ή ο λόγος Α : Ε είναι ίδιος με τον λόγο Ζ : Λ.

Οι λόγοι που συντίθενται από τους ίδιους λόγους, κ.λπ.

Προταση G. θεωρημα.

Εάν κάποιοι λόγοι είναι ίσοι με κάποιους άλλους λόγους, ένας προς έναν, ο λόγος που συντίθεται από λόγους ίσους με τους πρώτους λόγους, ένας προς έναν, θα είναι ίσος με τον λόγο που συντίθεται από λόγους ίσους με τους δεύτερους λόγους, ένας προς έναν.

Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ

α β γ δ ε ζ η θ

Ξ Π Ρ Σ Τ

Υ Φ Χ Ψ Ω

Εάν Α : Β :: α : β Γ : Δ :: γ : δ Ε : Ζ :: ε : ζ και Η : Θ :: η : θ
και Α : Β :: Ξ : Π Γ : Δ :: Π : Ρ Ε : Ζ :: Ρ : Σ Η : Θ :: Σ : Τ
α : β :: Υ : Φ γ : δ :: Φ : Χ ε : ζ :: Χ : Ψ η : θ :: Ψ : Ω

τότε Ξ : Τ = Υ : Ω.

Διότι Ξ/Π = Α/Β = α/β = Υ/Φ , Π/Ρ = Γ/Δ = γ/δ = Φ/Χ , Ρ/Σ = Ε/Ζ = ε/ζ = Χ/Ψ ,