Πήγαινε σε

Βιβλιο VI.

Οροι.

Όρισμός 1 διάγραμμα

I.

Όμοια ευθύγραμμα σχήματα είναι όσα έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία, και τις πλευρές που περιέχουν τις ίσες γωνίες ανάλογες.

II.

Δύο ευθύγραμμα σχήματα είναι αντιστρόφως ανάλογα, όταν σε καθένα από αυτά υπάρχουν ηγούμενοι και επόμενοι όροι. [δύο πλευρές ενός σχήματος ονομάζονται αντιστρόφως ανάλογες με δύο πλευρές ενός άλλου σχήματος όταν μία από τις πλευρές του πρώτου σχήματος, έστω η α, είναι ως προς αυτή του δεύτερου, την α′, όπως είναι η άλλη πλευρά του δεύτερου σχήματος (η β′) ως προς την αντίστοιχη του πρώτου (την β), δηλαδή ισχύει α/α′ = β′/β.]

III.

Ένα ευθύγραμμο τμήμα έχει χωριστεί σε μέσο και άκρο λόγο, όταν από ένα σημείο του έχει χωριστεί σε δύο τμήματα, έτσι ώστε ο λόγος ολόκληρου του τμήματος προς το μεγαλύτερο από τα δύο τμήματα είναι ίσος με το λόγο του μεγαλύτερου προς το μικρότερο ευθύγραμμο τμήμα.

IV.

Ύψος κάθε σχήματος είναι η κάθετος που άγεται από την κορυφή προς τη βάση.

Όρισμός 4 διάγραμμα

Προταση I. Θεωρημα.

Προταση 1 διάγραμμα

Τα τρίγωνα και τα παραλληλόγραμμα τα οποία έχουν το ίδιο ύψος, έχουν λόγο εμβαδών ίσο προς το λόγο των βάσεων.

Έστω τα τρίγωνα Red triangle και Blue triangle έχουν κοινή κορυφή, και οι βάσεις τους, Blue line και Red line βρίσκονται επάνω στην ίδια ευθεία.

Προεκτείνετε την Blue and red line και από τα δύο άκρα, και πάρετε 4 διαδοχικά τμήματα ίσα με το Red line από την μία πλευρά και 5 τμήματα ίσα με το Blue line από την άλλη πλευρά· και φέρτε τις ευθείες που ενώνουν τις άκρες των τμημάτων αυτών με την κοινή κορυφή.

Τα τρίγωνα Black and red triangles που σχηματίζονται με αυτό τον τρόπο είναι ίσα μεταξύ τους, εφόσον οι βάσεις τους είναι ίσες. (Β.1.πρ.38)

∴ τα Black and red triangles και η βάση τους είναι αντίστοιχα ισάκις
πολλαπλάσια του Red triangle και της βάσης Blue line.

Ομοίως, τα Blue and yellow triangles και η βάση τους είναι αντίστοιχα ισάκις
πολλαπλάσια του Blue triangle και της βάσης Red line.

∴ Εάν μ ή 6 φορές Red triangle > = ή < ν ή 5 φορές Blue triangle τότε μ ή 6 φορές Blue line > = ή < ν ή 5 φορές Red line, όπου τα μ και ν αντιπροσωπεύουν οποιοδήποτε πολλαπλάσιο όπως στον πέμπτο ορισμό του Πέμπτου Βιβλίου. Αν και εδώ αποδείξαμε ότι αυτή η ιδιότητα ισχύει όταν τα μ = 6 και ν = 5, είναι προφανές ότι ισχύει για κάθε πολλαπλάσιο των μ και ν.

∴ Red triangle : Blue triangle :: Blue line : Red line (Β.5.ορ.5)

Τα παραλληλόγραμμα με το ίδιο ύψος είναι διπλάσια σε εμβαδόν από τα τρίγωνα με κοινή με αυτά βάση, και επομένως είναι ανάλογα με αυτά (Μέρος 1), και άρα και αυτά θα είναι όπως είναι και οι βάσεις τους. (Β.5.πρ.15.)

Ο. Ε. Δ.

Προταση II. Θεωρημα.

Πρόταση 2 διάγραμμα

Αν σε τρίγωνο φέρουμε ευθεία Black line παράλληλη προς μία από τις πλευρές του Black dotted line αυτή θα τέμνει τις άλλες δύο πλευρές, ή τις προεκτάσεις τους, σε μέρη ανάλογα.

Αντίστροφα, αν δύο πλευρές τριγώνου, ή οι προεκτάσεις τους, τμηθούν σε μέρη ανάλογα, τότε η ευθεία που περνάει από τα σημεία των τομών Black line θα είναι παράλληλη προς την τρίτη πλευρά του τριγώνου Black dotted line.

Μερος I.

Έστω Black line ∥ Black dotted line, τότε
Yellow line : Red dotted line :: Yellow dotted line : Blue dotted line.

Φέρτε την Red line και την Blue line,
και Black, red, and yellow triangle = Black, dotted yellow, and blue triangle (Β.Ι.πρ.37)·
∴ Black, red, and yellow triangle : Dotted blue, black, dotted red triangle :: Black, dotted yellow, and blue triangle : Dotted blue, black, dotted red triangle (Β.5.πρ.7)· αλλά
Black, red, and yellow triangle : Dotted blue, black, dotted red triangle :: Yellow line : Red dotted line (Β.6.πρ.1),
∴ Yellow line : Red dotted line :: Yellow dotted line : Blue dotted line.
(B.5.πρ.11).

Μερος II.

Έστω Yellow line : Red dotted line :: Yellow dotted line : Blue dotted line,
τότε Black line ∥ Black dotted line.

Στο ίδιο σχήμα,
επειδή Yellow line : Red dotted line :: Black, red, and yellow triangle : Dotted blue, black, dotted red triangle και Yellow dotted line : Blue dotted line :: Black, dotted yellow, and blue triangle : Dotted blue, black, dotted red triangle } (Β.6.πρ.1)
αλλά Yellow line : Red dotted line :: Yellow dotted line : Blue dotted line (εξ υποθ.),
∴ Black, red, and yellow triangle : Dotted blue, black, dotted red triangle :: Black, dotted yellow, and blue triangle : Dotted blue, black, dotted red triangle (Β.5.πρ.11.)
∴ Black, red, and yellow triangle = Black, dotted yellow, and blue triangle (Β.5.πρ.9)·
αλλά είναι στην ίδια βάση Black dotted line, και από την ίδια πλευρά, και
∴ Black line ∥ Black dotted line (Β.1.πρ.39).

Ο. Ε. Δ.

Προταση III. Θεωρημα.

Πρόταση 3 διάγραμμα

Αν διχοτομηθεί μία γωνία τριγώνου και η διχοτόμος (Blue line) τέμνει την απέναντι πλευρά (βάση), τότε τα τμήματα που ορίζονται από το σημείο τομής πάνω στη βάση (Black line, Black dotted line) θα έχουν λόγο ίσο με το λόγο των δύο άλλων πλευρών του τριγώνου (Red line, Yellow line).

Αντίστροφα, αν μία τέμνουσα μιας γωνίας τριγώνου (Blue line) έμνει την απέναντι πλευρά ( Black and dotted black line ) σε δύο τμήματα (Black line, Black dotted line) που έχουν λόγο ίσο προς το λόγο των δύο άλλων πλευρών του τριγώνου (Red line, Yellow line), τότε η τέμνουσα διχοτομεί τη γωνία του τριγώνου.

Μερος I.

Φέρτε την Blue dotted line ∥ Blue line, μέχρι να τμήσει την Red dotted line;
τότε, Yellow angle = Blue angle (Β.1.πρ.29),
∴ Black angle = Blue angle · αλλά Black angle = Red angle , ∴ Red angle = Blue angle ,
∴ Red dotted line = Yellow line (Β.1.πρ.6)·
και επειδή Blue line ∥ Blue dotted line,
Red dotted line : Red line :: Black dotted line : Black line (Β.6.πρ.2)
αλλά Red dotted line = Yellow line·
∴ Yellow line : Red line :: Black dotted line : Black line (Β.5.πρ.7).

Μερος II.

Στο ίδιο σχήμα,
και Red line : Red dotted line :: Black line : Black dotted line (Β.6.πρ.2);
αλλά Black line : Black dotted line :: Red line : Yellow line (εξ υποθ.)
∴ Red line : Red dotted line :: Red line : Yellow line (Β.5.πρ.11).
και ∴ Red dotted line = Yellow line (Β.5.πρ.9),
και ∴ Blue angle = Red angle (Β.5.πρ.5)· αλλά εφόσον
Blue line ∥ Blue dotted line; Black angle = Red angle ,
και Yellow angle = Blue angle (Β.1.πρ.29);
∴ Blue angle = Red angle , και Yellow angle = Black angle ,
και ∴ Blue line διχοτομεί την Yellow and black angle .

Ο. Ε. Δ.

Προταση IV. Θεωρημα.

Πρόταση 4 διάγραμμα

Εις τα ισογώνια τρίγωνα ( Left triangle και Right triangle ) οι πλευρές που περιέχουν τις ίσες γωνίες είναι ανάλογες και οι πλευρές που βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες είναι ομόλογες.

Έστω τα ισογώνια τρίγωνα τοποθετούνται έτσι ώστε οι δύο πλευρές Black line , Black dotted line που βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες Red arc και Black arc να συνορεύουν και να βρίσκονται επί της ίδιας ευθείας· και τα τρίγωνα που βρίσκονται από την ίδια πλευρά της γραμμής αυτής, να έχουν τις ίσες γωνίες μη συνορεύουσες,

Δηλαδή η Red angle απέναντι από την Yellow angle , και η Blue angle από την Black angle .

Φέρτε τις Yellow dotted line και Yellow line. Κατόπιν, επειδή
Blue angle = Black angle , Red line ∥ Yellow and dotted red line (Β.1.πρ.28)·
και για τον ίδιο λόγο, Blue dotted line ∥ Blue and dotted yellow line ,
∴ το Parallelogram είναι παραλληλόγραμμο.
Αλλά Black line : Black dotted line :: Yellow line : Red dotted line (Β.6.πρ.2);
και επειδή Yellow line = Red line (Β.1.πρ.34),
Black line : Black dotted line :: Red line : Red dotted line; και
εναλλάξ, Black line : Red line :: Black dotted line : Red dotted line (Β.5.πρ.16).

Με τον ίδιο τρόπο μπορεί να αποδειχθεί ότι
Blue line : Blue dotted line :: Black line : Black dotted line·
και εναλλάξ, ότι·
Blue line : Black line:: Blue dotted line : Black dotted line·
αλλά ήδη αποδείχτηκε ότι
Black line : Red line :: Black dotted line : Red dotted line,
και επομένως, δι’ ίσου ex æquali,
Blue line : Red line :: Blue dotted line : Red dotted line
(Β.5.πρ.22),
επομένως οι πλευρές που περιέχουν τις ίσες γωνίες είναι ανάλογες, και αυτές που βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες είναι ομόλογες.

Ο. Ε. Δ.

Προταση V. Θεωρημα.

Πρόταση 5 διάγραμμα

Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες (Blue dotted line : Black dotted line :: Blue line : Black line) και (Black dotted line : Red dotted line :: Black line : Red line) θα είναι ισογώνια και θα έχουν ίσες τις γωνίες απέναντι από τις οποίες βρίσκονται οι ομόλογες πλευρές.

Από τα άκρα της Black line, φέρτε τις Yellow line και Yellow dotted line,
κάνοντας Left blue angle = Right blue angle , Left red angle = Right red angle (Β.1.πρ.23);
και συνεπώς Top black angle = Right yellow angle (Β.1.πρ.32),
και επειδή τα τρίγωνα είναι ισογώνια,
Red dotted line : Black dotted line :: Yellow line : Black line (Β.6.πρ.4);
αλλά Red dotted line : Black dotted line :: Red line : Black line (εξ υποθ.);
∴ Red line : Black line :: Yellow line : Black line,
και συνεπώς Red line = Yellow line (Β.5.πρ.9).

Με τον ίδιο τρόπο μπορεί να αποδειχθεί ότι
Blue line = Yellow dotted line.

Επομένως, τα δύο τρίγωνα που έχουν κοινή βάση Black line, και τις πλευρές τους ίσες, έχουν απέναντι από τις ίσες πλευρές ίσες γωνίες, δηλαδή

Left yellow angle = Left blue angle και Red arc = Left red angle (Β.1.πρ.8).

Αλλά Left blue angle = Right blue angle (εκ κατασκ.)
και ∴ Left yellow angle = Right blue angle · για τον ίδιο
λόγο Red arc = Right red angle , και
συνεπώς Bottom black angle = Right yellow angle (Β.1.πρ.32)·

και επομένως τα τρίγωνα είναι ισογώνια, και είναι προφανές ότι οι ομόλογες πλευρές βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες.

Ο. Ε. Δ.

Προταση VI. Θεωρημα.

Πρόταση 6 διάγραμμα

Αν δύο τρίγωνα ( Right triangle και Top triangle ) έχουν μία γωνία ίση ( Right red angle με Red arc ) και τις πλευρές που περιέχουν την ίση γωνία ανάλογες, τότε και τα τρίγωνα θα είναι ισογώνια και θα έχουν ίσες τις γωνίες που βρίσκονται απέναντι από τις ομόλογες πλευρές.

Από τα άκρα της Black line, μίας από τις πλευρές
του Top triangle , που περιέχει την Red arc , φέρτε τις
Yellow line και Yellow dotted line, κάνοντας
Left red angle = Right red angle , και Left blue angle = Right blue angle ; τότε Black angle = Yellow angle
(Β.1.πρ.32), και, καθώς τα τρίγωνα είναι ισογώνια,
Blue dotted line : Black dotted line :: Yellow dotted line : Black line (Β.6.πρ.4)·
αλλά Blue dotted line : Black dotted line :: Blue line : Black line (εξ υποθ.)·
∴ Yellow dotted line : Black line :: Blue line : Black line (Β.5.πρ.11),
και συνεπώς Yellow dotted line = Blue line (Β.5.πρ.9);
∴ Top triangle = Bottom triangle σε όλα.
(Β.1.πρ.4).

Αλλά Left blue angle = Right blue angle (εκ κατάσκ.),
και ∴ Blue arc = Right blue angle · και
επειδή επίσης Red arc = Right red angle ,
Yellow arc = Yellow angle (Β.1.πρ.32)·
και ∴ τα Right triangle και Top triangle είναι ισογώνια, με τις γωνίες απέναντι από τις ομόλογες πλευρές ίσες.

Ο. Ε. Δ.

Προταση VII. Θεωρημα.

Πρόταση 7 διάγραμμα

Αν δύο τρίγωνα ( Left triangle και Right triangle ) έχουν μία γωνία του ενός ίση προς μία γωνία του άλλου ( Yellow arc ση με την Blue angle ), τις πλευρές που περιέχουν μία άλλη γωνία του ενός και μία άλλη γωνία του άλλου ανάλογες (Red line : Yellow line :: Red dotted line : Yellow dotted line), και καθεμία από τις λοιπές γωνίες του ( Bottom red angle και Red arc ) μικρότερη ή μεγαλύτερη της ορθής γωνίας, τότε τα τρίγωνα είναι ισογώνια και έχουν ίσες τις γωνίες που περιέχονται από τις ανάλογες πλευρές.

Ας γίνει κατ’ αρχάς η υπόθεση ότι οι γωνίες Bottom red angle και Red arc είναι και οι δύο μικρότερες από μια ορθή· τότε, αν υποτεθεί
ότι οι Black angle and arc και Blue arc που περιέχονται από τις ανάλογες πλευρές
δεν είναι ίσες, και ότι η Black angle and arc είναι μεγαλύτερη, κάνετε την
Black arc = Blue arc .

Επειδή Blue angle = Yellow arc (εξ υποθ.), και Black arc = Blue arc (εκ κατασκ.)
∴ Yellow angle = Red arc (Β.1.πρ.32)·
∴ Red line : Blue line :: Red dotted line : Yellow dotted line (Β.6.πρ.4),
αλλά Red line : Yellow line :: Red dotted line : Yellow dotted line (εξ υποθ.)
∴ Red line : Blue line :: Red line : Yellow line;
∴ Blue line = Yellow line (Β.5.πρ.9),
και ∴ Bottom red angle = Top red angle (Β.1.πρ.5).

Αλλά η Bottom red angle είναι μικρότερη από μια ορθή (εξ υποθ.)
η ∴ Top red angle είναι μικρότερη από μια ορθή· και ∴ η Yellow angle πρέπει να είναι μεγαλύτερη από μια ορθή (B.1.πρ.13), αλλά έχει αποδειχθεί = Red arc και επομένως μικρότερη από μια ορθή, όπερ άτοπον. ∴ η Black angle and arc και η Blue arc δεν είναι άνισες·
∴ είναι ίσες, και εφόσον Blue angle = Yellow arc (εξ υποθ.)

∴ Bottom red angle = Red arc (Β.1.πρ.32), και επομένως τα τρίγωνα είναι ισογώνια.

Εάν οι Bottom red angle και Red arc υποτεθεί ότι είναι η καθεμία όχι μικρότερη από μια ορθή, μπορεί να αποδειχθεί όπως προηγουμένως ότι τα τρίγωνα είναι ισογώνια και έχουν τις πλευρές που περιέχουν τις ίσες γωνίες ανάλογες. (Β.6.πρ.4).

Ο. Ε. Δ.

Προταση VIII. Θεωρημα.

Πρόταση 8 Διαγραμμα

Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο ( Yellow and red triangle ), φέρουμε από την κορυφή της ορθής γωνίας κάθετη προς τη βάση (Black line) τότε τα δύο τρίγωνα που σχηματίζονται με μία πλευρά την κάθετη αυτή, είναι όμοια μεταξύ τους ( Yellow triangle , Red triangle ) και όμοια προς το αρχικό τρίγωνο.

Επειδή Red and yellow angle = Blue angle (Β.1.αξ.ΙΙ), και
η Black angle είναι κοινή με το Yellow and red triangle και Yellow triangle ·
Blue arc = Red angle (Β.1.πρ.32)·

∴ τα Yellow and red triangle και Yellow triangle είναι ισογώνια και συνεπώς έχουν τις πλευρές τους περί την ορθή γωνία ανάλογες (Β.6.πρ.4), και επομένως είναι όμοια (Β.6.ορ.1).

Με τον ίδιο τρόπο μπορεί να αποδειχθεί ότι το Red triangle είναι όμοιο με το
Yellow and red triangle · αλλά το Yellow triangle έχει αποδειχθεί όμοιο με
το Yellow and red triangle · ∴ τα Yellow triangle και Red triangle είναι
όμοια προς το αρχικό τρίγωνο και μεταξύ τους.

Ο. Ε. Δ.

Σημείωση μεταφραστή: Πόρισμα του θεωρήματος αυτού είναι ότι η κάθετη είναι η μέση ανάλογος των δύο τμημάτων που ορίζονται πάνω στην υποτείνουσα.

Προταση IX. Προβλημα.

Πρόταση 9 Διαγραμμα

Από δοθέν ευθύγραμμο τμήμα ( Yellow and dotted yellow line ) να αφαιρεθεί ένα μέρος του δεδομένο.

Από οποιοδήποτε άκρο του ευθύγραμμου τμήματος φέρτε την Blue and dotted blue line που να σχηματίζει οποιαδήποτε γωνία με την Yellow and dotted yellow line · προεκτείνετε την Blue and dotted blue line μέχρις ότου η συνολική προεκτεταμμένη ευθεία να περιέχει την Blue, dotted blue, and dotted black line contains Blue line όσες φορές η Yellow and dotted yellow line περιέχει το δεδομένο τμήμα.

Φέρτε την Red line, και φέρτε Red dotted line ∥ Red line.
Το Yellow line είναι το ζητούμενο τμήμα του Yellow and dotted yellow line .

Διότι, επειδή Red dotted line ∥ Red line
Yellow line : Yellow dotted line :: Blue line : Blue dotted line
(Β.6.πρ.2), και με σύνθεση λόγου (Β.5.πρ.18)·
Yellow and dotted yellow line : Yellow line :: Blue and dotted blue line : Blue line·
αλλά η Blue and dotted blue line περιέχει την Blue line όσες φορές
η Yellow and dotted yellow line περιέχει το δεδομένο τμήμα (εκ κατασκ.)·
∴ Yellow line είναι το ζητούμενο τμήμα.

Ο. Ε. Π.

Προταση X. Προβλημα.

Πρόταση 10 Διαγραμμα

Ευθύγραμμο τμήμα δοθέν ( Thin blue, red, and yellow line ) να τμηθεί με τον τρόπο που τέμνεται άλλο ευθύγραμμο τμήμα ( Blue, red, and yellow line ).

Από οποιοδήποτε άκρο του ευθύγραμμου τμήματος
Thin blue, red, and yellow line φέρτε την Dotted blue, red, and yellow line με τυχαία γωνία, πάρτε
τις Blue dotted line, Red dotted line και Yellow dotted line
ίσες με τις Blue line, Red line και Yellow line αντίστοιχα (Β.1.πρ.2)·
Φέρτε την Black thin line, και φέρτε τις Black dotted line και Black line ∥ προς αυτή.

Επειδή { Black thin line Black dotted line Black line } είναι ∥
Yellow thin line : Red thin line :: Yellow dotted line : Red dotted line (B. 6. pr. 2),
ή Yellow thin line : Red thin line :: Yellow line : Red line (εκ κατάσκ.),
και Red thin line : Blue thin line :: Red dotted line : Blue dotted line (B. 6. pr. 2),
Red thin line : Blue thin line :: Red line : Blue line (εκ κατάσκ.),
και ∴ το δεδομένο τμήμα Thin blue, red, and yellow line χωρίστηκε όμοια με το Blue, red, and yellow line .

Ο. Ε. Π.

Προταση XI. Προβλημα.

Πρόταση 11 Διαγραμμα

Να βρεθεί η τρίτη ανάλογος δύο δοθέντων ευθύγραμμων τμημάτων (Black line και Blue line).

Από οποιαδήποτε άκρο της δεδομένης ευθείας Black line
φέρτε την Dotted red and red line με τυχαία γωνία·
πάρτε Red dotted line = Blue line, και φέρτε την Yellow line·
κάντε την Blue dotted line = Blue line,
και φέρτε την Yellow dotted line ∥ Yellow line· (Β.1.πρ.31.)
η Red line είναι η τρίτη ανάλογος στις Black line και Blue line.

Διότι εφόσον Yellow line ∥ Yellow dotted line,
∴ Black line : Blue dotted line :: Red dotted line : Red line (Β.6.πρ.2)·
αλλά Blue dotted line = Red dotted line = Blue line (εκ κατασκ.);
∴ Black line : Blue line :: Blue line : Red line.
(Β.5.πρ.7).

Ο. Ε. Π.

Προταση XII. Προβλημα.

Πρόταση 12 διάγραμμα

Να βρεθεί η τέταρτη ανάλογος τριών δοθέντων ευθύγραμμων τμημάτων { Dotted blue, red, and yellow lines } .

Φέρτε την Blue and red line
και την Yellow and black line με τυχαία γωνία·
πάρτε Blue line = Blue dotted line,
και Red line = Red dotted line,
και Yellow line = Yellow dotted line,
φέρτε την Black thin line,
και την Black dotted line ∥ Black thin line· (B. 1. pr. 31)·
η Black line είναι η τέταρτη ανάλογος.

Λόγω των παραλλήλων,
Blue line : Red line :: Yellow line : Black line (Β.6.πρ.2)·
αλλά { Dotted blue, red, and yellow lines } = { Blue, red and yellow lines } (εκ κατασκ.)·

∴ Blue dotted line : Red dotted line :: Yellow dotted line : Black line. (Β.5.πρ.7).

Ο. Ε. Π.

Προταση XIII. Προβλημα.

Πρόταση 13 διάγραμμα

Να βρεθεί η μέση ανάλογος δύο δοθέντων ευθύγραμμων τμημάτων { Dotted blue and red lines }.

Φέρτε οποιοδήποτε ευθύγραμμο τμήμα Blue and red line , κάντε την Blue line = Blue dotted line,
και την Red line = Red dotted line; διχοτομήστε την Blue and red line ;
και από το μέσον ως κέντρο και με ακτίνα το μισό
τμήμα χαράξτε ημικύκλιο Semicircle ,
φέρτε Black line ⊥ Blue line:
η Black line είναι η ζητούμενη μέση ανάλογος.

Φέρτε τις Yellow line και Yellow dotted line.

Εφόσον η Angle είναι ορθή (Β.3.πρ.31),
και η Black line είναι ⊥ σε αυτή από την απέναντι πλευρά,
η ∴ Black line είναι η μέση ανάλογος μεταξύ
Blue line και Red line (Β.6.πρ.8),
και ∴ μεταξύ της Blue dotted line και Red dotted line (εκ κατασκ.).

Ο. Ε. Π.

Προταση XIV. Θεωρημα.

Πρόταση 14 διάγραμμα

I.

Εις τα ισεμβαδικά παραλληλόγραμμα Blue parallelogram και Yellow parallelogram , τα οποία έχουν μία γωνία τους ίση, οι πλευρές που περιέχουν τις ίσες γωνίες είναι αντιστρόφως ανάλογες (Red line : Black line :: Yellow line : Blue line)

II.

Τα παραλληλόγραμμα τα οποία έχουν μία γωνία τους ίση, και τις πλευρές που περιέχουν τις ίσες γωνίες αντιστρόφως ανάλογες, είναι ισεμβαδικά.

Έστω ότι οι Red line και Black line και οι Yellow line και Blue line, είναι έτσι τοποθετημένες ώστε η Red and black line και η Yellow and blue line να είναι συνεχόμενες ευθείες. Είναι προφανές ότι μπορούν να τοποθετηθούν σε τέτοια θέση. (Β.1.πρ.13,14,15.)

Ολοκληρώστε το Red parallelogram .

Εφόσον Yellow parallelogram = Blue parallelogram ·

∴ Yellow parallelogram : Red parallelogram :: Blue parallelogram : Red parallelogram (Β.5.πρ.7.)
∴ Red line : Black line :: Yellow line : Blue line (Β.6.πρ.1.)

Με το ίδιο σχήμα:
Red line : Black line :: { Yellow parallelogram : Red parallelogram (Β.6.πρ.1.) Yellow line : Blue line (εξ υποθ.) Blue parallelogram : Red parallelogram (Β.6.πρ.1.)
∴ Yellow parallelogram : Red parallelogram :: Blue parallelogram : Red parallelogram (Β.5.πρ.11.)
και ∴ Yellow parallelogram = Blue parallelogram (Β.5.πρ.9).

Ο. Ε. Δ.

Προταση XV. Θεωρημα.

Πρόταση 15 διάγραμμα

I.

Αν δύο τρίγωνα είναι ισεμβαδικά και έχουν μία γωνία ίση ( Blue angle = Red angle ), τότε οι πλευρές τους που περιέχουν την ίση γωνία είναι αντιστρόφως ανάλογες (Blue line : Black line :: Red line : Yellow line).

II.

Αν δύο τρίγωνα έχουν μία γωνία ίση και τις πλευρές τους που περιέχουν την ίση γωνία ανάλογες, τότε τα τρίγωνα είναι ισεμβαδικά.

I.

Έστω ότι τα τρίγωνα τοποθετούνται με τέτοιο τρόπο ώστε οι ίσες γωνίες Blue angle και Red angle να βρίσκονται κατά κορυφήν, έτσι ώστε οι Blue line και Black line να είναι στην ίδια ευθεία. Το ίδιο θα συμβαίνει και για τις Red line και Yellow line (Β.1.πρ.14.)

Φέρτε την Black dotted line, τότε

Blue line : Black line :: Red triangle : Blue triangle (Β.6.πρ.1.) :: Yellow triangle : Blue triangle (Β.5.πρ.7.) :: Red line : Yellow line (Β.6.πρ.1.) ∴ Blue line : Black line :: Red line : Yellow line (Β.5.πρ.11.)

II.

Με το ίδιο σχήμα,
Red triangle : Blue triangle :: Blue line : Black line (Β.6.πρ.1.)
και Red line : Yellow line :: Yellow triangle : Blue triangle (Β.6.πρ.1.)

αλλά Blue line : Black line :: Red line : Yellow line, (εξ υποθ.)
∴ Red triangle : Blue triangle :: Yellow triangle : Blue triangle (Β.5.πρ.11)·
∴ Red triangle = Yellow triangle (Β.5.πρ.9.)

Ο. Ε. Δ.

Προταση XVI. Θεωρημα.

Πρόταση 16 διάγραμμα

Μερος I.

Αν τέσσερα ευθύγραμμα τμήματα είναι ανάλογα (Yellow line : Blue line :: Red dotted line : Black dotted line), το ορθογώνιο (Yellow line × Black dotted line) που περιέχεται από τους άκρους όρους της αναλογίας, είναι ισεμβαδικό προς το ορθογώνιο (Blue line × Red dotted line) που περιέχεται από τους μέσους όρους της αναλογίας.

Μερος II.

Αν το ορθογώνιο που περιέχεται από τους άκρους όρους είναι ισεμβαδικό με το ορθογώνιο που περιέχεται από τους μέσους όρους, τα τέσσερα τμήματα είναι ανάλογα.

Μερος I.

Στους άκρους όρους Yellow line και Blue line φέρτε την Black line και την Red line ⊥ σε αυτές και = Black dotted line και Red dotted line αντίστοιχα: ολοκληρώστε τα παραλληλόγραμμα:

Red rectangle και Yellow rectangle .

Και επειδή, Yellow line : Blue line :: Red dotted line : Black dotted line (εξ υποθ.) ∴ Yellow line : Blue line :: Red line : Black line (εκ κατασκ.) ∴ Red rectangle = Yellow rectangle (Β.6.πρ.14),

δηλαδή το ορθογώνιο που περιέχεται από τους άκρους όρους είναι ίσο με αυτό που περιέχεται από τους μέσους όρους.

Μερος II.

Με το ίδιο σχήμα; επειδή
Black dotted line = Black line, Red rectangle = Yellow rectangle
και Red line = Red dotted line,
∴ Yellow line : Blue line :: Red line : Black line (Β.6.πρ.14).

Αλλά Red line = Red dotted line,
και Black line = Black dotted line (εκ κατασκ.)
∴ Yellow line : Blue line :: Red dotted line : Black dotted line (Β.5.πρ.7).

Ο. Ε. Δ.

Πρόταση XVII. Θεωρημα.

Πρόταση 17 διάγραμμα

Μερος I.

Αν τρία ευθύγραμμα τμήματα είναι ανάλογα (Red line : Blue line :: Blue line : Black line) το ορθογώνιο που περιέχεται από τους άκρους όρους της αναλογίας είναι ισεμβαδικό προς το τετράγωνο με πλευρά το μέσο όρο της αναλογίας.

Μερος II.

Αν το ορθογώνιο που περιέχεται από τους άκρους όρους είναι ισεμβαδικό με το τετράγωνο του μέσου, τότε τα τρία τμήματα είναι ανάλογα.

Μερος I.

Υποθέστε ότι Yellow line = Blue line, και εφόσον Red line : Blue line :: Blue line : Black line, τότε Red line : Blue line :: Yellow line : Black line, ∴ Red line × Black line = Blue line × Yellow line
(Β.6.πρ.16).

Αλλά Yellow line = Blue line,
∴ Blue line × Yellow line = Blue line × Blue line, ή = Blue line2;
επομένως, αν τα τρία τμήματα είναι ανάλογα, το ορθογώνιο που περιέχεται από τους άκρους όρους είναι ισεμβαδικό με το τετράγωνο του μέσου όρου.

Μερος II.

Υποθέστε Yellow line = Blue line, τότε
Red line × Black line = Yellow line × Blue line.
∴ Red line : Blue line :: Yellow line : Black line (Β.6.πρ.16), και
∴ Red line : Blue line :: Blue line : Black line.

Ο. Ε. Δ.

Προταση XVIII. Θεωρημα.

Πρόταση 18 διάγραμμα

Να γραφεί ευθύγραμμο σχήμα με μία πλευρά δοθέν ευθύγραμμο τμήμα (Black line) ο οποίο να είναι όμοιο και ομοίως κείμενο (τοποθετημένο) προς δοθέν ευθύγραμμο σχήμα ( Top rectilinear figure ).

Αναλύστε το δοθέν ευθύγραμμο σχήμα σε τρίγωνα φέρνοντας τις Red dotted line και Yellow dotted line.

Στα άκρα της Black line κατασκευάστε
Bottom blue angle = Top blue angle και Bottom red angle = Top red angle :
ξανά, στα άκρα της Red line κατασκευάστε Top black and red angle = Bottom red and black angle
και Bottom black angle = Top black angle : με όμοιο τρόπο κατασκευάστε
Bottom yellow angle = Top yellow angle και Bottom red and yellow angle = Top red and yellow angle .

Τότε το Bottom rectilinear figure θα είναι όμοιο με το Top rectilinear figure .

Είναι προφανές από την κατασκευή και την (Β.1.πρ.32) ότι τα σχήματα είναι ισογώνια· και εφόσον τα τρίγωνα
Top yellow triangle και Bottom yellow triangle είναι ισογώνια, τότε λόγω της (Β.6.πρ.4),

Black line : Blue line :: Black dotted line : Blue thin line και Blue line : Red line :: Blue thin line : Red dotted line.

Ξανά, επειδή τα Top blue triangle και Bottom blue triangle είναι ισογώνια,
Red line : Blue dotted line :: Red dotted line : Yellow line·
∴ δι’ ίσου λόγος (ex æquali) στην τεταγμένη αναλογία
Blue line : Blue dotted line :: Blue thin line : Yellow line (Β.6.πρ.22.)

Με τον ίδιο τρόπο μπορεί να αποδειχθεί ότι οι υπόλοιπες πλευρές των δύο σχημάτων είναι ανάλογες.

∴ από (Β.6.ορ.1.)
το Bottom rectilinear figure είναι όμοιο με το Top rectilinear figure
και παρόμοια τοποθετημένο· και επάνω στην δοσμένη ευθεία Black line.

Ο. Ε. Π.

Προταση XIX. Θεωρημα.

Πρόταση 19 διάγραμμα

Ο λόγος των εμβαδών δύο όμοιων τριγώνων ( Yellow triangle και Red and blue triangle ) σούται με το λόγο των τετραγώνων των ομόλογων πλευρών τους.

Έστω ότι οι γωνίες Black angle και Red angle είναι ίσες, και η Dotted black and black line και η Blue line είναι οι ομόλογες πλευρές των όμοιων τριγώνων Yellow triangle και Red and blue triangle και στο Dotted black and black line το μεγαλύτερο από αυτά τα τμήματα, πάρτε μια τρίτη ανάλογη Black dotted line έτσι ώστε

Dotted black and black line : Blue line :: Blue line : Black dotted line;
φέρτε την Yellow dotted line.

Dotted black and black line : Yellow line :: Blue line : Red line (Β.6.πρ.4);
∴ Dotted black and black line : Blue line :: Yellow line : Red line (Β.5.πρ.16, εναλλάξ.),
αλλά Dotted black and black line : Blue line :: Blue line : Black dotted line (εκ κατασκ.),
∴ Blue line : Black dotted line :: Yellow line : Red line
συνεπώς Yellow triangle = Blue triangle διότι έχουν τις πλευρές
που περιέχουν τις ίσες γωνίες Black angle και Red angle αντιστρόφως ανάλογες (Β.6.πρ.15);
∴ Red and blue triangle : Yellow triangle :: Red and blue triangle : Blue triangle (Β.5.πρ.7),
αλλά Red and blue triangle : Blue triangle :: Dotted black and black line : Black dotted line (Β.6.πρ.1),
∴ Red and blue triangle : Yellow triangle :: Dotted black and black line : Black dotted line,
δηλαδή, τα τρίγωνα είναι μεταξύ τους όπως τα τετράγωνα των ομόλογων πλευρών τους
Blue line και Dotted black and black line (Β.5.ορ.11).

Ο. Ε. Δ.

Προταση XX. Θεωρημα.

Πρόταση 20 διάγραμμα

Τα όμοια πολύγωνα διαιρούνται στον ίδιο αριθμό όμοιων τριγώνων, τα οποία είναι ομόλογα ως προς όλα τα στοιχεία τους και ο λόγος των εμβαδών των δύο πολυγώνων ισούται με το λόγο των τετραγώνων των ομολόγων πλευρών τους.

Φέρτε τις Black line και Black dotted line, και τις Black thin line και Black thin dotted line, που υποδιαιρούν τα πολύγωνα σε τρίγωνα. Επειδή τα πολύγωνα είναι όμοια, Top black angle = Bottom black angle , και Blue line : Blue dotted line :: Red thin line : Red dotted line

∴ τα Top yellow triangle και Bottom yellow triangle είναι όμοια, και Top red angle = Bottom red angle (Β.6.πρ.6)
αλλά Top blue and red angle = Bottom blue and red angle επειδή είναι γωνίες όμοιων πολυγώνων·
επομένως αυτές που απομένουν Top blue angle και Bottom blue angle είναι ίσες·
άρα Black dotted line : Blue dotted line :: Black thin dotted line : Red dotted line,
λόγω των όμοιων τριγώνων,
και Blue dotted line : Yellow line :: Red dotted line : Yellow line,
λόγω των όμοιων πολυγώνων,
∴ Black dotted line : Yellow line :: Black thin dotted line : Yellow line,
από τον δι’ ίσου λόγο της τεταγμένης ακολουθίας ex æquali (Β.5.πρ.22), και επειδή αυτές οι ομόλογες
πλευρές περιέχουν ίσες γωνίες, τα τρίγωνα Top red triangle και Bottom red triangle
είναι όμοια (Β.6.πρ.6).

Με τον ίδιο τρόπο μπορεί να αποδειχτεί ότι τα
τρίγωνα Bottom blue triangle και Top blue triangle είναι όμοια.

Αλλά το Top yellow triangle είναι για το Bottom yellow triangle όπως το τετράγωνο της
Black dotted line προς την Black thin dotted line (Β.6.πρ.19), και
το Top red triangle είναι για το Bottom red triangle για τον ίδιο λόγο
όπως το τετράγωνο του Black dotted line προς την Black thin dotted line;
∴ Top yellow triangle : Bottom yellow triangle :: Top red triangle : Bottom red triangle , (Β.5.πρ.11)·

Ξανά, το Top red triangle είναι για το Bottom red triangle όπως το τετράγωνο του
Black line προς το Black thin line, και το Top blue triangle είναι για το Bottom blue triangle όπως
το τετράγωνο του Black line προς το Black thin line,

∴ Top yellow triangle : Bottom yellow triangle :: Top red triangle : Bottom red triangle :: Top blue triangle : Bottom blue triangle ;

και όπως είναι ένας από τους ηγούμενους όρους προς έναν των επόμενων, έτσι θα είναι το άθροισμα όλων των ηγούμενων προς το άθροισμα όλων των επόμενων, δηλαδή τα όμοια τρίγωνα έχουν μεταξύ τους τον ίδιο λόγο που έχουν τα πολύγωνα (Β.5.πρ.12).

Αλλά το Top yellow triangle είναι για το Bottom yellow triangle όπως το τετράγωνο του λόγου του
Blue line προς το Red thin line;

∴ το Top polygon είναι για το Bottom polygon όπως το τετράγωνο
του λόγου του Blue line προς το Red thin line.

Ο. Ε. Δ.

Προταση XXI. Θεωρημα.

Πρόταση 21 διάγραμμα

Αυτά τα πολύγωνα ( Red triangle και Blue triangle ) που είναι όμοια προς το ίδιο πολύγωνο ( Yellow triangle ) είναι και μεταξύ τους όμοια.

Εφόσον τα Red triangle και Yellow triangle είναι όμοια, είναι και ισογώνια, και έχουν τις πλευρές που περιέχουν τις ίσες γωνίες ανάλογες (Β.6.ορ.1)· και εφόσον τα σχήματα Blue triangle και Yellow triangle είναι όμοια, θα είναι ισογώνια και θα έχουν τις πλευρές που περιέχουν τις ίσες γωνίες ανάλογες· επομένως τα Red triangle και Blue triangle είναι επίσης ισογώνια, και έχουν τις πλευρές που περιέχουν τις ίσες γωνίες ανάλογες (Β.5.πρ.11), και άρα είναι όμοια.

Ο. Ε. Δ.

Προταση XXII. Θεωρημα.

Πρόταση 22 διάγραμμα

Μερος I.

Αν τέσσερα ευθύγραμμα τμήματα είναι ανάλογα (Black line : Blue line :: Red line : Yellow line), τότε και τα όμοια πολύγωνα που έχουν μία πλευρά τους ένα από τα παραπάνω ανάλογα ευθύγραμμα τμήματα, με την ίδια σειρά λαμβανόμενα, είναι ανάλογα.

Μερος II.

Αν τέσσερα όμοια πολύγωνα τοποθετημένα με όμοιο τρόπο επάνω σε τέσσερα ευθύγραμμα τμήματα είναι ανάλογα, τότε τα ευθύγραμμα αυτά τμήματα είναι επίσης ανάλογα.

Μερος I.

Πάρτε την Blue dotted line τρίτη ανάλογο στην Black line
και τις Blue line, και Red dotted line τρίτες ανάλογους
στις Red line και Yellow line (Β.6.πρ.11)· εφόσον Black line : Blue line :: Red line : Yellow line (εξ υποθ.), Blue line : Blue dotted line :: Yellow line : Red dotted line (εκ κατασκ.)

∴ ο δι’ ίσου λόγος - ex æquali,
Black line : Blue dotted line :: Red line : Red dotted line·
αλλά Yellow triangle : Red triangle :: Black line : Blue dotted line (Β.6.πρ.20),
και Blue polygon : Outlined polygon :: Red line : Red dotted line·
∴ Yellow triangle : Red triangle :: Blue polygon : Outlined polygon (Β.5.πρ.11).

Μερος II.

Με το ίδιο σχήμα:

Yellow triangle : Red triangle :: Blue polygon : Outlined polygon (εξ υποθ.),
∴ Black line : Blue dotted line :: Red line : Red dotted line (εκ κατασκ.)
και ∴ Black line : Blue line :: Red line : Yellow line. (Β.5.πρ.11).

Ο. Ε. Δ.

Προταση XXIII. Θεωρημα.

Πρόταση 23 διάγραμμα

Τα ισογώνια παραλληλόγραμμα ( Yellow parallelogram και Blue parallelogram ) έχουν λόγο εμβαδών ίσο προς το λόγο των γινομένων των πλευρών τους.

Έστω ότι δύο από τις πλευρές Blue line και Yellow dotted line που περιέχουν τις ίσες γωνίες τοποθετούνται επάνω σε μία ευθεία.

Εφόσον Red angle + Yellow angle = Two right angles ,
και Black angle = Red angle (εξ υποθ.),
Black angle + Yellow angle = Two right angles ,
και ∴ Red line και Black line βρίσκονται επάνω σε ευθεία (Β.1.πρ.14);
ολοκληρώστε το Red parallelogram .

Εφόσον Yellow parallelogram : Red parallelogram :: Blue line : Yellow dotted line (Β.6.πρ.1),
και Red parallelogram : Blue parallelogram :: Black line : Red line (Β.6.πρ.1),
το Yellow parallelogram έχει με το Blue parallelogram λόγο σύνθετο από τους λόγους του
Blue line ως προς το Yellow dotted line, και του Black line ως προς το Red line.

Ο. Ε. Δ.

Προταση XXIV. Θεωρημα.

Πρόταση 24 διάγραμμα

Εις κάθε παραλληλόγραμμο ( Parallelogram ) α παραλληλόγραμμα που γράφονται γύρω από μια διαγώνιο ( Red parallelogram και Blue parallelogram ) είναι όμοια μεταξύ τους καθώς και με το αρχικό παραλληλόγραμμο.

Καθώς τα Parallelogram και Blue parallelogram έχουν μία
κοινή γωνία θα είναι ισογώνια·
αλλά επειδή Red line ∥ Blue and dotted blue line
τα Blue triangle και Blue, red, and yellow triangle είναι όμοια (Β.6.πρ.4),
∴ Yellow line : Red line :: Yellow and dotted red line : Blue and dotted blue line ·
και οι υπόλοιπες απέναντι γωνίες θα είναι ίσες με αυτές,
∴ Blue parallelogram και Parallelogram έχουν τις πλευρές που περιέχουν τις ίσες
γωνίες ανάλογες, και είναι επομένως όμοια.

Με τον ίδιο τρόπο μπορεί να αποδειχθεί ότι τα
παραλληλόγραμμα Parallelogram και Red parallelogram είναι όμοια.

Επομένως, εφόσον κάθε ένα από τα παραλληλόγραμμα
Blue parallelogram και Red parallelogram είναι όμοιο με το Parallelogram ,
θα είναι και μεταξύ τους όμοια.

Ο. Ε. Δ.

Προταση XXV. Προβλημα.

Πρόταση 25 διάγραμμα

Να κατασκευαστεί ευθύγραμμο σχήμα, το οποίο να είναι όμοιο προς δοθέν σχήμα ( Red triangle ), και ισεμβαδικό προς δοθέν πολύγωνο ( Polygon ).

Επάνω στην Yellow line κατασκευάστε Blue rectangle = Red triangle ,
και επάνω στην Red line κατασκευάστε Outlined rectangle and yellow angle = Polygon ,
και αφο Yellow angle = Red angle (Β.1.πρ.45), οι
Yellow line και Black dotted line θα βρίσκονται επ’ ευθείας (Β.1.πρ. 29, 14),

Των Yellow line και Black dotted line βρείτε μία μέση ανάλογο
Blue line (Β.6.πρ.13), και επάνω στην Blue line
κατασκευάστε το Yellow triangle , όμοιο με το Red triangle , και όμοια κείμενο.

Τότε Yellow triangle = Polygon .

Διότι, εφόσον τα Red triangle και Yellow triangle είναι όμοια, και
Yellow line : Blue line :: Blue line : Black dotted line (εκ κατασκ.),
Red triangle : Yellow triangle :: Yellow line : Black dotted line (Β.6.πρ.20)·
αλλά Blue rectangle : Outlined rectangle and yellow angle :: Yellow line : Black dotted line (B. 6. pr. 1)·
∴ Red triangle : Yellow triangle :: Blue rectangle : Outlined rectangle and yellow angle (Β.5.πρ.11);
αλλά Red triangle = Blue rectangle (εκ κατασκ.),
και ∴ Yellow triangle = Outlined rectangle and yellow angle (Β.5.πρ.14)·
και Outlined rectangle and yellow angle = Polygon (εκ κατασκ.)· συνεπώς,
το Yellow triangle που είναι όμοιο με το Red triangle είναι επίσης = Polygon .

Ο. Ε. Π.

Προταση XXVI. Θεωρημα.

Πρόταση 26 διάγραμμα

Αν όμοια και ομοίως κείμενα παραλληλόγραμμα ( Red paralellogram και Gnomon ) έχουν μία κοινή γωνία θα είναι περί την ίδια διαγώνιο.

Διότι, εφόσον είναι δυνατόν, ας είναι το Arc
η διαγώνιος του Gnomon και
φέρτε την Yellow line ∥ Red line (Β.1.πρ.31).

Εφόσον τα Outlined paralellogram και Gnomon είναι περί την ίδια
διαγώνιο Arc , και έχουν κοινή την Angle ,
θα είναι όμοια (Β.6.πρ.24);

∴ Red line : Blue line :: Red and dotted red line : Blue, dotted blue, and dotted black line ;
αλλά Red line : Blue and dotted blue line :: Red and dotted red line : Blue, dotted blue, and dotted black line (εξ υποθ.),
∴ Red line : Blue line :: Red line : Blue and dotted blue line ,
και ∴ Blue line = Blue and dotted blue line (Β.5.πρ.9),
όπερ άτοπον.

∴ το Arc δεν είναι διαγώνιος του Gnomon
με τον ίδιο τρόπο μπορεί να αποδειχθεί ότι καμία άλλη γραμμή δεν είναι
(διαγώνιος) εκτός της Double line .

Ο. Ε. Δ.

Προταση XXVII. Θεωρημα.

Πρόταση 27 διάγραμμα

Από όλα τα ορθογώνια που περιέχονται από δύο οποιαδήποτε μέρη ενός ευθύγραμμου τμήματος, μέγιστο είναι αυτό που γράφεται με πλευρά το ήμισυ του ευθύγραμμου τμήματος.

Έστω Yellow, red, and blue line είναι το δεδομένο τμήμα, και τα Yellow line και Red, and blue line είναι άνισα τμήματα, και τα Yellow and red line και Blue line είναι ίσα τμήματα·
τότε Red and blue square > Blue and yellow rectangle .

Διότι, έχει αποδειχθεί ήδη (Β.2.πρ.5), ότι το τετράγωνο με πλευρά το ήμισυ του τμήματος είναι ίσο με το ορθογώνιο που περιέχεται από οποιαδήποτε άνισα τμήματα συν το τετράγωνο του τμήματος μεταξύ του μέσου και του σημείου που χωρίζει το αρχικό τμήμα σε δύο άλλα. Επομένως το τετράγωνο που σχηματίζεται με πλευρά το ήμισυ του αρχικού τμήματος θα είναι μεγαλύτερο οποιουδήποτε ορθογωνίου που σχηματίζεται από δύο τμήματά του.

Ο. Ε. Δ.

Προταση XXVIII. Προβλημα.

Πρόταση 28 διάγραμμα

Να τμηθεί δοθέν ευθύγραμμο τμήμα ( Dotted red, blue, and dotted blue line ) έτσι ώστε το ορθογώνιο που περιέχεται από τα μέρη του να ισούται με δεδομένο εμβαδόν, που να μην υπερβαίνει το τετράγωνο του ημίσεός του.

Έστω ότι το δεδομένο εμβαδόν είναι = Yellow dotted line2.

Διχοτομείστε την Dotted red, blue, and dotted blue line ,
ώστε Dotted red and blue line = Blue dotted line·
και εάν Dotted red and blue line 2 = Yellow dotted line2,
το πρόβλημα λύθηκε.

Αλλά εάν Dotted red and blue line 2 ≠ Yellow dotted line2, τότε
πρέπει Dotted red and blue line > Yellow dotted line (εξ υποθ.).

Φέρτε την Red line ⊥ Dotted red and blue line = Yellow dotted line·
κατασκευάστε Red and dotted black line = Dotted red and blue line ή Blue dotted line·
με την Red and dotted black line ακτίνα γράψτε κύκλο που να τέμνει την
δεδομένη γραμμή· φέρτε την Yellow line.

Τότε Red dotted line × Blue and dotted blue line + Blue line2 = Dotted red and blue line 2
(Β.2.πρ.5.) = Yellow line2.

Αλλά Yellow line2 = Red line2 + Blue line2 (Β.1.πρ.47);
∴ Red dotted line × Blue and dotted blue line + Blue line2
= Red line2 + Blue line2,
αφαιρέστε το Blue line2 και από τις δυο,
και Red dotted line × Blue and dotted blue line = Red line2.

Αλλά Red line = Yellow dotted line (εκ κατασκ.),
και ∴ η Dotted red, blue, and dotted blue line είναι έτσι διαιρεμένη
ώστε Red dotted line × Blue and dotted blue line = Yellow dotted line2.

Ο. Ε. Π.

Προταση XXIX. Προβλημα.

Πρόταση 29 διάγραμμα

Να προεκταθεί δοθείσα ευθεία ( Blue and dotted blue line ), έτσι ώστε το ορθογώνιο που θα περιέχεται μεταξύ ολόκληρης της ευθείας και της προέκτασής της να είναι ισεμβαδικό με το τετράγωνο δοθέντος τμήματος Black line.

Διχοτομείστε το τμήμα Blue line = Blue dotted line, και
φέρτε την Red dotted line ⊥ Blue dotted line = Black line· και
φέρτε την Red line ακτίνα, γράψτε κύκλο
που θα τέμνει την προέκταση της Blue and dotted blue line .

Τότε Blue, dotted blue, and yellow line × Yellow line + Blue dotted line2 =
Dotted blue, and yellow line 2 (Β.2.πρ.6.) = Red line2.

Αλλά Red line2 = Red dotted line2 + Blue dotted line2 (Β.1.πρ.47.)

∴ Blue, dotted blue, and yellow line × Yellow line + Blue dotted line2 =
Red dotted line2 + Blue dotted line2,
και από τις δύο αφαιρέστε Blue dotted line2,
και Blue, dotted blue, and yellow line × Yellow line = Red dotted line2·
αλλά Red dotted line = Black line,
∴ Red dotted line2 = το δεδομένο εμβαδόν.

Ο. Ε. Π.

Προταση XXX. Προβλημα.

Πρόταση 30 διάγραμμα

Να τμηθεί δοθέν ευθύγραμμο τμήμα ( Red and dotted red line ) σε άκρο και μέσο λόγο.

Επάνω στην Red and dotted red line γράψτε το τετράγωνο Yellow and blue square (Β.1.πρ.46);
και προεκτείνετε την Blue line, έτσι ώστε
Blue and dotted blue line × Blue dotted line = Red and dotted red line 2 (Β.6.πρ.29)·
πάρτε Red line = Blue dotted line, και φέρτε την Black line ∥ Blue and dotted blue line , που τέμνει Yellow line ∥ Red and dotted red line (Β.1.πρ.31).

Τότε Yellow and outlined rectangles = Blue and dotted blue line × Blue dotted line,
και ∴ = Yellow and blue square · και εάν από τα δύο αυτά ίσα αφαιρεθεί
το κοινό τμήμα Yellow rectangle ,
Outlined square , που είναι το τετράγωνο του Red line,
θα είναι = Blue rectangle , που είναι = Red and dotted red line × Red dotted line·
δηλαδή Red line2 = Red and dotted red line × Red dotted line·
∴ Red and dotted red line : Red line :: Red line : Red dotted line,
και η Red and dotted red line έχει τμηθεί σε μέσο και άκρο λόγο (Β.6.ορ.3).

Ο. Ε. Π.

Προταση XXXI. Θεωρημα.

Πρόταση 31 διάγραμμα

Εις τα ορθογώνια τρίγωνα ( Triangle ), το πολύγωνο που γράφεται με μία πλευρά την υποτείνουσα ( Dotted blue and blue line ) έχει εμβαδόν ίσο προς το άθροισμα των εμβαδών των πολυγώνων τα οποία γράφονται πάνω στις κάθετες πλευρές του τρίγωνου και είναι όμοια και ομοίως κείμενα με το πολύγωνο που γράφεται πάνω στην υποτείνουσα.

Από την κορυφή της ορθής γωνίας φέρτε την Black line κάθετη στην Dotted blue and blue line (το ύψος)·
τότε Dotted blue and blue line : Red line :: Red line : Blue line (Β.6.πρ.8).

∴ Red rectangle : Yellow rectangle :: Dotted blue and blue line : Blue line (Β.6.πρ.20).

αλλά Red rectangle : Blue rectangle :: Dotted blue and blue line : Blue dotted line (Β.6.πρ.20).

Επομένως Blue dotted line + Blue line : Dotted blue and blue line
:: Blue rectangle + Yellow rectangle : Red rectangle ·
αλλά Blue dotted line + Blue line = Dotted blue and blue line ·
και ∴ Blue rectangle + Yellow rectangle = Red rectangle .

Ο. Ε. Δ.

Προταση XXXII. Θεωρημα.

Πρόταση 32 διάγραμμα

Αν δύο τρίγωνα ( Left triangle και Right triangle ), στα οποία οι δύο πλευρές μιας γωνίας του ενός είναι ανάλογες προς τις δύο πλευρές μιας γωνίας του άλλου (Blue line : Red line :: Blue dotted line : Red dotted line), τοποθετηθούν έτσι ώστε να έχουν μία κοινή κορυφή και τις ομόλογες πλευρές τους παράλληλες, τότε οι υπόλοιπες πλευρές των τριγώνων (Yellow line και Yellow dotted line) α βρίσκονται επάνω στην ίδια ευθεία.

Εφόσον Blue line ∥ Blue dotted line,
Top yellow angle = Bottom yellow angle (Β.1.πρ.29)·
και επίσης, εφόσον Red line ∥ Red dotted line,
Bottom yellow angle = Black angle (Β.1.πρ.29);
∴ Top yellow angle = Black angle · και εφόσον
Blue line : Red line :: Blue dotted line : Red dotted line (εξ υποθ.),
τα τρίγωνα είναι ισογώνια (Β.6.πρ.6);

∴ Red angle = Outlined angle :
αλλά Top yellow angle = Bottom yellow angle ·

∴ Blue angle + Bottom yellow angle + Outlined angle = Blue angle + Top yellow angle + Red angle =
Two right angles (Β.1.πρ.32), και ∴ Yellow line και Yellow dotted line
βρίσκονται στην ίδια ευθεία (Β.1.πρ.14).

Ο. Ε. Δ.

Προταση XXXIII. Θεωρημα.

Πρόταση 33 διάγραμμα
Πρόταση 33 διάγραμμα

Εις ίσους κύκλους (Red circle, Blue circle ), οι επίκεντρες ή οι εγγεγραμμένες γωνίες είναι όπως τα αντίστοιχα τόξα στα οποία βαίνουν ( Black angle : Black outlined angle :: Thin black arc : Yellow dotted arc ). Και το αυτό (ισχύει) για τους τομείς.

Πάρτε πάνω στον Red circle οποιοδήποτε αριθμό τόξων Thin red arc , Thin blue arc , κ.ά., το καθένα ίσο με = Thin black arc , και επίσης στον Blue circle πάρτε οποιοδήποτε αριθμό τόξων Red dotted arc , Blue dotted arc , κ.ά., το καθένα = Yellow dotted arc , φέρτε τις ακτίνες στα άκρα τους.

Τότε εφόσον τα τόξα Thin black arc , Thin red arc , Thin blue arc , κ.ά., είναι όλα ίσα, οι γωνίες Black angle , Red angle , Blue angle , κ.ά., θα είναι επίσης ίσες (Β.3.πρ.27)·

∴ Black, red, and blue angle είναι το ίδιο πολλαπλάσιο του Black angle που το τόξο Thin black, red, and blue arc είναι του Thin black arc · και όμοια το Black, red, and blue outlined angle είναι το ίδιο πολλαπλάσιο του Black outlined angle , που το τόξο Yellow, red, and blue dotted arc είναι του Yellow dotted arc .

Τότε είναι προφανές (Β.3.πρ.27),
αν Black, red, and blue angle (ή μ φορές Black angle ) >, =, < Black, red, and blue outlined angle
(ή ν φορές Black outlined angle )
τότε Thin black, red, and blue arc (ή μ φορές Thin black arc ) >, =, <
Yellow, red, and blue dotted arc (ή ν φορές Yellow dotted arc );

∴ Black angle : Black outlined angle :: Thin black arc : Yellow dotted arc , (Β.5.ορ.5), ή οι επίκεντρες γωνίες είναι όπως τα τόξα στα οποία βαίνουν και οι εγγεγραμμένες, επειδή είναι μισές από τις επίκεντρες (Β.3.πρ.20) έχουν τον ίδιο λόγο (Β.5.πρ.15), και επομένως είναι και αυτές όπως τα τόξα στα οποία βαίνουν.

Είναι προφανές ότι σε ίσους κύκλους οι τομείς ίσων τόξων είναι ίσοι (B.1.πρ.4· Β.3.πρ.24,27, και ορ. 9). Επομένως, αν οι τομείς υποκαταστήσουν τις γωνίες στην παραπάνω απόδειξη, το δεύτερο μέρος την πρότασης θα αποδειχθεί, δηλαδή, σε ίσους κύκλους οι τομείς έχουν τον ίδιο λόγο μεταξύ τους όπως και τα τόξα στα οποία βαίνουν.

Ο. Ε. Δ.

Προταση Α. Θεωρημα.

Πρόταση Α διάγραμμα

Αν προεκταθεί η διχοτόμος (Red dotted line) μιας εξωτερικής γωνίας Black and blue angle τριγώνου Triangle μέχρι να τμήσει την προέκταση της απέναντι πλευράς (Blue line) τότε ολόκληρη η προεκτεταμμένη γραμμή ( Blue and dotted blue line ), και το τμήμα της προέκτασης (Blue dotted line) θα είναι ανάλογα με τις πλευρές ( Black and dotted black line και Yellow line), που περιέχουν την γειτονική γωνία αυτής που διχοτομήθηκε.

Διότι, αν φέρουμε την Red line στην ∥ Red dotted line, τότε Blue angle = Outlined blue angle , (Β.1.πρ.29)· = Black angle , (εξ υποθ.), = Yellow angle , (Β.1.πρ.29); και ∴ Black dotted line = Yellow line, (Β.1.πρ.6),
και Black and dotted black line : Yellow line :: Black and dotted black line : Black dotted line,
(Β.5.πρ.7)·
Όμως επίσης,
Blue and dotted blue line : Blue dotted line :: Black and dotted black line : Black dotted line.
(Β.6.πρ.2)·
και επομένως
Blue and dotted blue line : Blue dotted line :: Black and dotted black line : Yellow line,
(Β.5.πρ.11).

Ο. Ε. Δ.

Προταση Β. Θεωρημα.

Πρόταση Β διάγραμμα

Αν διχοτομηθεί η γωνία ενός τριγώνου η διχοτόμος θα τέμνει την απέναντι πλευρά (βάση) · το ορθογώνιο που περιέχεται από τις πλευρές του τριγώνου είναι ισοδύναμο με το ορθογώνιο που περιέχεται από τα δύο τμήματα της βάσης συν το τετράγωνο της διχοτόμου.

Φέρτε την Yellow line ώστε Red angle = Blue angle · τότε
Blue line × Black line = Red dotted line × Red line + Yellow line2.

Στο Blue, black, and red triangle γράψτε το περιγεγραμμένο κύκλο Yellow circle (Β.4.πρ.5),
προεκτείνετε την Yellow line μέχρι να τμήσει τον κύκλο, και φέρτε την Blue dotted line.

Εφόσον Red angle = Blue angle (εξ υποθ.),
και Yellow angle = Black angle (Β.3.πρ.21),
∴ Blue, yellow, and red triangle και Yellow, black, and blue triangle είναι ισογώνια (Β.1.πρ.32)·
∴ Blue line : Yellow line :: Dotted yellow and yellow line : Black line (Β.6.πρ.4)·
∴ Blue line × Black line = Yellow line × Yellow and dotted yellow line (Β.6.πρ.16)
= Yellow dotted line × Yellow line + Yellow line2 (Β.2.πρ.3)·
αλλά Yellow dotted line × Yellow line = Red dotted line × Red line (B.3.πρ.35);
∴ Blue line × Black line = Red dotted line × Red line + Yellow line2.

Ο. Ε. Δ.

Προταση Γ. Θεωρημα.

Πρόταση Γ διάγραμμα

Από οποιαδήποτε γωνία ενός τριγώνου άγεται ύψος προς τη βάση (την απέναντι πλευρά). Το ορθογώνιο που περιέχεται από τις πλευρές του τριγώνου είναι ισοδύναμο με το ορθογώνιο που περιέχεται από το ύψος και την διάμετρο του περιγεγραμμένου περί το τρίγωνο κύκλου.

Από την κορυφή της Red angle του Blue, yellow, red, dotted red triangle
φέρτε την Yellow dotted line ⊥ Dotted red and red line · τότε
θα ισχύει Blue dotted line × Yellow line = Yellow dotted line ×
διάμετρο του περιγεγραμμένου κύκλου.

Περιγράψτε τον Red circle (Β.4.πρ.5), φέρτε την διάμετρό του
Blue line, και φέρτε την Black line· τότε επειδή
Blue angle = Blue outlined and yellow angle (εκ κατασκ. και Β.3.πρ.31)·
και Yellow outlined angle = Red outlined angle (Β.3.πρ.21)·
∴ Dotted blue, dotted yellow, and dotted red triangle είναι ισογώνιο με το Blue, yellow, and black triangle (Β.6.πρ.4)·
∴ Blue dotted line : Yellow dotted line :: Blue line : Yellow line·
και ∴ Blue dotted line × Yellow line = Yellow dotted line × Blue line (Β.6.πρ.16).

Ο. Ε. Δ.

Προταση Δ. Θεωρημα.

Πρόταση Δ διάγραμμα

Το ορθογώνιο που περιέχεται από τις διαγωνίους ενός τετραπλεύρου εγγεγραμμένου σε κύκλο, είναι ισοδύναμο με το άθροισμα των ορθογωνίων που περιέχονται από τις απέναντι πλευρές.

Έστω το Quadrilateral είναι ένα τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο Red circle·
φέρτε την Dotted red and red line και την Blue line· τότε
Dotted red and red line × Blue line =
Black dotted line × Black line + Yellow line × Blue dotted line.

Κατασκευάστε γωνία Blue angle = Red angle (Β.1.πρ.23),
∴ Blue and black angle = Red and black angle · και Yellow angle = Blue outlined angle (Β.3.πρ.21);

∴ Yellow line : Red line :: Blue line : Blue dotted line (Β.6.πρ.4)·
και ∴ Red line × Blue line = Yellow line × Blue dotted line (Β.6.πρ.16)· επίσης,
επειδή Blue angle = Red angle (εκ κατασκ.),
και Yellow outlined angle = Red outlined angle (Β.3.πρ.21)·
∴ Black dotted line : Red dotted line :: Blue line : Black line (Β.6.πρ.4)·
και ∴ Red dotted line × Blue line = Black dotted line × Black line (Β.6.πρ.16)·
αλλά, από τα παραπάνω,
Red line × Blue line = Yellow line × Blue dotted line·
∴ Dotted red and red line × Blue line = Black dotted line × Black line + Yellow line × Blue dotted line (Β.2.πρ.1.)

Ο. Ε. Δ.

Βιβλια.

  1. Βιβλιο I. Βασική γεωμετρία του επιπέδου
  2. Βιβλιο II. Γεωμετρική άλγεβρα
  3. Βιβλιο III. Ο κύκλος και τα στοιχεία του
  4. Βιβλιο IV. Κανονικά πολύγωνα
  5. Βιβλιο V. Λόγοι και αναλογίες
  6. Βιβλιο VI. Ομοιότητα ευθύγραμμων σχημάτων