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Libro III.

Definiciónes.

I.

Los círculos iguales son aquellos cuyos diámetros son iguales.

Definición 2 figura

II.

Se dice que una línea recta toca un círculo cuando se encuentra con el círculo, y siendo prolongada no lo corta.

Definición 3 figura

III.

Se dice que los círculos se tocan entre sí, cuando se encuentra pero no se cortan entre ellos.

Definición 4 figura

IV.

Se dice que las líneas rectas están igualmente distantes del centro de un círculo cuando las perpendiculares que se dibujan hacia ellas desde el centro son iguales.

V.

Y la línea recta sobre la cual cae la perpendicular mayor se dice que está más lejos del centro.

Definición 6 figura

VI.

Un segmento de un círculo es la figura contenida por una línea recta y la parte de la circunferencia que corta.

Definición 7 figura

VII.

Un ángulo en un segmento es el ángulo contenido por dos líneas rectas dibujadas desde cualquiera en la circunferencia del segmento hasta las extremidades de la línea recta que es la base del segmento.

Definición 8 figura

VIII.

Se dice que un ángulo se encuentra en la parte de la circunferencia, o el arco, interceptado entre las líneas rectas que contienen el ángulo.

Definición 9 figura

IX.

Un sector de un círculo es la figura contenida por dos radios y el arco entre ellos.

Definición 10 figure a

X.

Segmentos similares de círculos son aquellos que contienen ángulos iguales.

Definición 10 figure b

Los círculos que tienen el mismo centro se llaman círculos concéntricos.

Proposición I. Problema.

Proposición 1 figura

Para encontrar el centro de un círculo dado Blue circle.

Dibuja dentro del círculo cualquier línea recta Red and dotted red line , haz Red line = Red dotted line, dibuja Black line ⊥ Red and dotted red line ; biseca Black line, y el punto de bisección es el centro.

Sí es posible, deje que cualquier otro punto como el punto de encuentro de Blue line, Blue dotted line, Black dotted line sea el centro.

Porque en Top triangle y Bottom triangle

Blue line = Black dotted line (hip. L. 1, def. 15.) Red line = Red dotted line (const.) y Blue dotted line común, Blue and yellow angles = Black angle (L. 1, pr. 8.), y por lo tanto son ángulos rectos; pero Black and yellow angles = Right angle (const.) Black angle = Black and yellow angles (ax. 11.) lo cual es absurdo; por lo tanto, el punto asumido no es el centro del círculo; de la misma manera se puede demostrar que otro punto que no esté en Black line es el centro, por lo tanto el centro está en Black line, y por consiguiente el punto donde Black line es bisecada es el centro.

Q. E. D.

Proposición II. Teorema.

Proposición 2 figura

La línea recta (Red line) que une dos puntos en la circunferencia de un círculo Red circle, se encuentra completamente dentro del círculo.

Encuentra el centro de Red circle (L. 3. pr. 1.);
desde el centro dibuja Black line a cualquier punto en Red line,
encontrando la circunferencia desde el centro;
dibuja Yellow line y Blue line.

Entonces Blue angle = Black angle (L. 1. pr. 5.)
pero Yellow angle > Blue angle o > Black angle (L. 1. pr. 16.)
∴ Yellow line > Black line (L. 1. pr. 19.)
pero Yellow line = Black and dotted black line ,
∴ Black and dotted black line > Black line;
∴ Black line < Black and dotted black line ;
∴ cada punto en Red line se encuentra dentro del círculo.

Q. E. D.

Proposición III. Teorema.

Proposición 3 figura

Si una línea recta (Black line) dibujada a través del centro de un círculo Blue circle biseca una cuerda ( Red and dotted red line ) que no pasa a través del centro, es perpendicular a ella; o, si es perpendicular a ella, la biseca.

Dibuja Blue line y Yellow line al centro del círculo.

En Left triangle y Right triangle
Yellow line = Blue line, Black line común, y
Red line = Red dotted line ∴ Black angle = Yellow angle (L. 1. pr. 8.)
y ∴ Black line ⊥ Red and dotted red line (L. 1. def. 10.)
Otra vez deje Black line ⊥ Red and dotted red line

Entonces en Left triangle y Right triangle
Blue angle = Red angle (L. 1. pr. 5.)
Black angle = Yellow angle (hip.)
y Yellow line = Blue line
∴ Red line = Red dotted line (L. 1. pr. 26.)
y ∴ Black line biseca Red and dotted red line .

Q. E. D.

Proposición IV. Teorema.

Proposición 4 figura

Si en un círculo dos líneas rectas que no pasan por el centro se cortan entre sí, no se bisecan entre sí.

Si una de las líneas pasa por el centro, es evidente que no puede ser bisecada por la otra, que no pasa por el centro.

Pero si ninguna de las líneas Black line o Red line pasa a tráves del centro, dibuja Black dotted line desde el centro a su intersección.

Si Black line es bisecada, Black dotted line ⊥ a esta (L. 3. pr. 3.)
∴ Blue and yellow angles = Right angle y si Red line es
bisecada, Black dotted line ⊥ Red line (L. 3. pr. 3.)
∴ Blue angle = Right angle
y ∴ Blue angle = Blue and yellow angles ; una parte
igual al todo; lo que es absurdo:
∴ Black line y Red line
no se bisecan la uno a la otra.

Q. E. D.

Proposición V. Teorema.

Proposición 5 figura

Si dos círculos Blue and red circles se intersecan, no tienen el mismo centro.

Suponga que es posible que dos círculos que se cruzan tengan un centro común; desde dicho supuesto centro dibuje Yellow line hasta el punto de intersección y Black and dotted black line encontrando las circunferencias de los círculos.

Entonces Yellow line = Black line (L. 1. def. 15.)
y Yellow line = Black and dotted black line (L. 1. def. 15.)
∴ Black line = Black and dotted black line ; una parte
igual al todo, lo cual es absurdo:
∴ los círculos que se intersecan en cualquier punto no pueden tener el mismo centro.

Q. E. D.

Proposición VI. Teorema.

Proposición 6 figura

Si dos círculos Red and black circles se tocan internamente, no tienen el mismo centro

Porque, si es posible, deje que ambos círculos tengan el mismo centro; desde tal supuesto centro dibuje Blue and dotted blue line cortando ambos círculos, y Yellow line hasta el punto de contacto.

Entonces Yellow line = Blue dotted line (L. 1. def. 15.)
y Yellow line = Blue and dotted blue line (L. 1. def. 15.)
∴ Blue dotted line = Blue and dotted blue line ; una parte
igual al todo, lo cual es absurdo;

por lo tanto, el punto supuesto no es el centro de ambos círculos; y de la misma manera se puede demostrar que no hay otro punto.

Q. E. D.

Proposición VII. Teorema.

Figura I.
Proposición 7 figura 1
Figura II.
Proposición 7 figura 2

Si desde cualquier punto dentro de un círculo Blue circle que no es el centro, se dibujan líneas { Black and dotted black line Red line Blue line a la circunferencia; el mayor de esas líneas es la ( Black and dotted black line ) que pasa por el centro, y la menor es la parte restante (Yellow line) del diámetro.

De las otras, la (Red line) que está más cerca de la línea que pasa por el centro, es mayor que la (Blue line) que es más lejana.

Fig. 2. Las dos líneas ( Blue and dotted blue line y Red line) que forman ángulos iguales con el que pasa por el centro, en lados opuestos, son iguales entre sí; y no se puede dibujar una tercera línea igual a ellas, desde el mismo punto hasta la circunferencia.

Figura I.

Al centro del círculo dibuja Red dotted line y Blue dotted line; entonces Black dotted line = Red dotted line (L. 1. def. 15.) Black and dotted black line = Black line + Red dotted line > Red line (L. 1. pr. 20.) de la misma manera se puede demostrar que Black and dotted black line es mayor que Blue line, o cualquier otra línea trazada desde el mismo punto a la circunferencia. De nuevo, por (L. 1. pr. 20.) Black line + Blue line > Blue dotted line = Yellow line + Black line, toma Black line de ambos; ∴ Blue line > Yellow line (ax.), de la misma manera se puede demostrar que Yellow line es menor que cualquier otra línea dibujada desde el mismo punto a la circunferencia. Otra vez, en Red triangle y Blue triangle , Black line común, Black and yellow angles > Yellow angle , y Red dotted line = Blue dotted line

∴ Red line > Blue line (L. 1. pr. 24.) y de la misma manera, puede probarse que Red line es más grande que cualquier otra línea trazada desde el mismo punto a la circunferencia más lejana desde Black and dotted black line .

Figura II.

Si Red angle = Yellow angle entonces Blue and dotted blue line = Red line, si no toma Blue line = Red line dibuja Yellow and dotted yellow line , entonces en Left triangle y Right triangle , Black line común, Red angle = Yellow angle y Red line = Blue line ∴ Red dotted line = Yellow line (L. 1. pr. 4.) ∴ Red dotted line = Yellow and dotted yellow line = Yellow line una parte igual al todo, lo cual es absurdo:

∴ Red line = Blue and dotted blue line ; y ninguna otra línea es igual a Red line dibujada desde el mismo punto a la circunferencia; porque si estuviera más cerca del que pasa por el centro sería más grande, y si fuera más distante sería menos.

Q. E. D.

Proposición VIII. Teorema.

El texto original de esta proposición se divide aquí en tres partes.

Proposición 8 figura 1

I.

Si desde un punto sin círculo, se dibujan líneas rectas { Black and dotted black line Red line Blue line etc. } a la circunferencia; de aquellas que caen sobre la concavidad de la circunferencia, la mayor ( Black and dotted black line ) es la que pasa por el centro, y la línea (Red line) que está más cerca de la mayor es mayor que la (Blue line) que está más distante.

Dibuja Blue dotted line y Red dotted line al centro.

Entonces, Black and dotted black line que pasa a través del centro, es mayor; porque desde Black dotted line = Red dotted line, si Black line se agrega a ambas, Black and dotted black line = Black line + Red dotted line; pero > Red line (L. 1. pr. 20.) ∴ Black and dotted black line es mayor que cualquier otra línea dibujada desde el mismo punto a la concavidad de la circunferencia.

De nuevo en Blue triangle y Red triangle , Blue dotted line = Red dotted line,
y Black line común, pero Yellow and black angles > Yellow angle ,
∴ Red line > Blue line (L. 1. pr. 24.);
y de la misma manera Red line se puede mostrar > que cualquier otra línea más alejada de Black and dotted black line .

Proposición 8 figura 2

II.

De esas líneas que caen en la circunferencia convexa, la menor (Black dotted line) es la que siendo prolongada pasaría por el centro, y la línea que está más cerca de la menor es menor que la que es más lejana.

Porque desde Red line + Red dotted line > Black and dotted black line (L. 1. pr. 20.)
y Red line = Black line,
∴ Red dotted line > Black dotted line (ax. 5.)
Y otra vez desde Blue line + Blue dotted line >
Red line + Red dotted line (L. 1. pr. 21.),
y Blue line = Red line,
∴ Red dotted line < Blue dotted line. Y así de otras.

Proposición 8 figura 3

III.

Además, las líneas que forman ángulos iguales con los que pasan por el centro son iguales, ya sea que caigan en la circunferencia cóncava o convexa; y no se puede dibujar una tercera línea igual desde el mismo punto a la circunferencia.

Porque si Dotted red and yellow line > Blue dotted line, pero haciendo Yellow angle = Blue angle ;
haz Red dotted line = Blue dotted line, y dibuja Dotted black and red line .
Entonces en Red triangle y Blue triangle tenemos Red dotted line = Blue dotted line,
y Black line común, y también Blue angle = Yellow angle ,
∴ Dotted black and red line = Blue line (L. 1. pr. 4.);
pero Blue line = Black dotted line;
∴ Black dotted line = Dotted black and red line , lo cual es absurdo.
∴ Blue dotted line no es = Red dotted line, ni a cualquier parte
de Dotted red and yellow line , ∴ Dotted red and yellow line no es > Blue dotted line.
Tampoco es Blue dotted line > Dotted red and yellow line , ellas son
∴ = una a la otra.

Y cualquier otra línea trazada desde el mismo punto a la circunferencia debe estar en el mismo lado con una de estas líneas, y debe ser más o menos lejana que desde la línea que pasa por el centro y, por lo tanto, no puede ser igual a ella.

Q. E. D.

Proposición IX. Teorema.

Proposición 9 figura

Si se toma un punto dentro de un círculo Blue circle, desde el cual se pueden dibujar más de dos líneas rectas iguales (Yellow dotted line, Yellow line, Blue line) a la circunferencia, ese punto debe ser el centro del círculo.

Porque si se supone que el punto Yellow and blue point en el que se encuentran más de dos líneas rectas iguales no es el centro, algún otro punto Black and red dotted line debe ser; unir estos dos puntos por Black line, y prolongar en ambos sentidos a la circunferencia.

Entonces, dado que se dibujan más de dos líneas rectas iguales desde un punto que no es el centro, hasta la circunferencia, dos de ellas al menos deben estar en el mismo lado del diámetro Red, black, and red dotted line ; y dado que desde un punto Red, yellow, and blue point , que no es el centro, se dibujan líneas rectas a la circunferencia; la más grande es Black and red dotted line , que pasa por el centro: y Blue line que está más cerca de Black and red dotted line , > Yellow line que está más lejana (L. 3. pr. 8.); pero Blue line = Yellow line (hip.) que es absurdo.

Lo mismo puede demostrarse en cualquier otro punto, diferente de Red, yellow, and blue point , que debe ser el centro del círculo.

Q. E. D.

Proposición X. Teorema.

Proposición 10 figura
Proposición 10 figura

Un círculo Blue circle no puede intersecar a otro Red circle en más de dos puntos.

Si es posible, deje que se cruce en tres puntos;
desde el centro de Blue circle dibuja Black line, Yellow line
y Blue line a los puntos de intersección;
∴ Black line = Yellow line = Blue line
(L. 1. def. 15.),
pero a medida que los círculos se intersecan, no tienen el mismo centro (L. 3. pr. 5.):
∴ el punto supuesto no es el centro de Red circle, y

∴ como Black line, Yellow line y Blue line son dibujadas desde un punto y no desde el centro, no son iguales (L. 3. pr. 7, 8); pero antes se demostró que eran iguales, lo cual es absurdo; por lo tanto, los círculos no se intersecan en tres puntos.

Q. E. D.

Proposición XI. Teorema.

Proposición 11 figura

Si dos círculos Blue circle y Black circle se tocan internamente, la línea recta que une sus centros, al ser prolongada, pasará por un punto de contacto.

Porque si es posible, deja Black line unir sus centros y prolonga en ambos sentidos; desde un punto de contacto dibuja Red line al centro de Blue circle, y desde el mismo punto de contacto dibuja Blue dotted line al centro de Black circle.

Porque en Yellow triangle ; Black line + Red line > Blue dotted line
(L. 1. pr. 20.),
y Blue dotted line = Yellow and black line como el radio de
Black circle,
pero Black line + Red line > Yellow and black line ; quita
Black line que es común,
y Red line > Yellow and dotted yellow line ;
pero Red line = Yellow dotted line,
porque son radios de Blue circle,
y ∴ Yellow dotted line > Yellow and dotted yellow line una parte mayor que el todo, lo cual es absurdo.

Por lo tanto, los centros no están tan ubicados, de modo que una línea que los une puede pasar por cualquier punto que no sea un punto de contacto.

Q. E. D.

Proposición XII. Teorema.

Proposición 12 figura

Si dos círculos Blue circle y Red circle se tocan externamente, la línea recta Red, black, and blue line que une sus centros pasa a través del punto de contacto.

Si es posible, deja Red, black, and blue line unir sus centros, y que no pase por un punto de contacto; luego desde un punto de contacto dibuje Yellow dotted line y Yellow line a los centros.

Porque Yellow dotted line + Yellow line > Red, black, and blue line (L. 1. pr. 20.),
y Red line = Yellow dotted line (L. 1. def. 15.),
y Blue line = Yellow line (L. 1. def. 15.),

∴ Red line + Blue line > Red, black, and blue line , una parte mayor que el todo, lo cual es absurdo.

Por lo tanto, los centros no están tan ubicados, de modo que la línea que los une puede pasar por cualquier punto que no sea el punto de contacto.

Q. E. D.

Proposición XIII. Teorema.

Figura I.
Proposición 13 Figura 1

Un círculo no puede tocar a otro, ya sea externa o internamente en más puntos que uno.

Fig. 1. Porque si es posible, deja Yellow circle y Blue circle tocarse internamente en dos puntos; dibuja Blue line uniendo sus centros, y prolonga hasta que pase por uno de los puntos de contacto (L. 3. pr. 11.);

dibuje Red line y Black line,
Pero Blue dotted line = Black line (L. 1. def. 15.),
∴ si Blue line es agregada a ambas
Blue and dotted blue line = Blue line + Black line;
pero Blue and dotted blue line = Red line (L. 1. def. 15.),
y ∴ Blue line + Black line = Red line; pero
Blue line + Black line > Red line (L. 1. pr. 20.),
lo que es absurdo.

Figura II.
Proposición 13 Figura 2

Fig. 2. Pero si los puntos de contacto son las extremidades de la línea recta que une los centros, esta línea recta debe ser bisecada en dos puntos diferentes para los dos centros; porque es el diámetro de ambos círculos, lo que es absurdo.

Figura III.
Proposición 13 Figura 3

Fig. 3. Siguiente, porque si es posible, deja Yellow circle y Blue circle tocarse externamente en dos puntos; dibuja Red and dotted red line uniendo los centros de los círculos, y pasando por uno de los puntos de contacto, y dibuja Blue line y Black line.

Blue line = Red line (L. 1. def. 15.);
y Red dotted line = Black line (L. 1. def. 15.):
∴ Black line + Blue line = Red and dotted red line ; pero
Black line + Blue line > Red and dotted red line (L. 1. pr. 20.),
lo que es absurdo.

Por lo tanto, no hay ningún caso en el que dos círculos puedan tocarse entre sí en dos puntos.

Q. E. D.

Proposición XIV. Teorema.

Proposición 14 figura

Las líneas rectas iguales ( Yellow and dotted yellow line Red and dotted red line ) inscritas en un círculo están igualmente distantes del centro; y también, las líneas rectas igualmente distantes del centro son iguales.

Desde el centro de Blue circle dibuja
Black dotted line ⊥ a Red and dotted red line y Blue dotted line
⊥ Yellow and dotted yellow line , une Black line y Blue line.

Entonces Yellow line = la mitad de Yellow and dotted yellow line (L. 3. pr. 3.)
y Red line = 1 / 2 Red and dotted red line (L. 3. pr. 3.)
ya que Yellow and dotted yellow line = Red and dotted red line (hip.)
∴ Yellow line = Red line,
y Black line = Blue line (L. 1. def. 15.)
∴ Black line2 = Blue line2;
pero puesto que Yellow angle es un ángulo recto
Black line2 = Black dotted line2 + Red line2 (L. 1. pr. 47.)
y Blue line2 = Blue dotted line2 + Yellow line2 por la misma razon,
∴ Black dotted line2 + Red line2 = Blue dotted line2 + Yellow line2
∴ Black dotted line2 = Blue dotted line2,
∴ Black dotted line = Blue dotted line.

También si las líneas Red and dotted red line y Yellow and dotted yellow line están igualmente distante del centro; es decir, si las perpendiculares Black dotted line y Blue dotted line están dadas igual entonces Red and dotted red line = Yellow and dotted yellow line .

Para, como en el caso anterior,
Blue dotted line2 + Yellow line2 = Red line2 + Black dotted line2;
pero Blue dotted line2 = Black dotted line2:

∴ Yellow line2 = Red line2, los dobles de estos
Yellow and dotted yellow line y Red and dotted red line son también iguales.

Q. E. D.

Proposición XV. Teorema.

Figura I.
Proposición 15 figura 1

El diámetro es la línea recta mayor en un círculo: y, de todas los demás, la que está más cerca del centro es mayor que la más lejana.

Figura I.

El diametro Red and black line es > cualquier línea Blue line.
Dibuja Yellow line y Yellow dotted line.
Luego Yellow dotted line = Black line
y Yellow line = Red line,
∴ Yellow line + Yellow dotted line = Red and black line
pero Yellow line + Yellow dotted line > Blue line (L. 1. pr. 20.)
∴ Red and black line > Blue line.

De nuevo, la línea que está más cerca del centro es mayor que la más lejana.

Primero, deje que las líneas dadas sean Blue line y Red dotted line, que están en el mismo lado del centro y no se cruzan; dibuja { Yellow dotted line, Yellow line, Black dotted line, Blue dotted line. } En Wide triangle y Narrow triangle ,
Yellow line y Yellow dotted line = Black dotted line y Blue dotted line;
Red and yellow angles > Yellow angle ,
∴ Blue line > Red dotted line (L. 1. pr. 24.)

Figura II.
Proposición 15 figura 2

Figura II.

Deja que las líneas dadas sean Red line y Yellow line y que estén en diferentes lados del centro o que se crucen; desde el centro dibuja Dotted yellow and red line y Blue dotted line ⊥ Yellow line y Red line, haz Blue dotted line = Yellow dotted line, y dibuja Blue line ⊥ Dotted yellow and red line .

Ya que Red line y Blue line están igualmente distantes
del centro, Red line = Blue line (L. 3. pr. 14.);
pero Blue line > Yellow line (Parte 1. L. 3. pr. 15.),
∴ Red line > Yellow line.

Q. E. D.

Proposición XVI. Teorema.

Proposición 16 figura

La línea recta Yellow line dibujada desde la extremidad del diámetro Black line de un círculo perpendicular a ella queda fuera del círculo.

Y si alguna línea recta Red dotted line es dibujada desde un punto en esa perpendicular al punto de contacto, esta corta el círculo.

Parte I

Si es posible, deja que Red line, se encuentre nuevamente con el círculo, ser ⊥ Black line, y dibuja Blue line.

Luego, porque Blue line = Black line,
Yellow angle = Black angle (L. 1. pr. 5.),
y ∴ cada uno de estos ángulos es agudo (L. 1. pr. 17.)
pero Yellow angle = Right angle (hip.), lo que es absurdo, por lo tanto
Red line dibujada ⊥ Black line no vuelve a encontrarse
con el círculo.

Parte II.

Deja Yellow line ser ⊥ Black line y deja Red dotted line ser dibujada desde un punto Point entre Yellow line y el círculo, que sí es posible, no corta el círculo.

Porque Blue and red angle = Right angle ,
∴ Blue angle es un ángulo agudo; supone
Dotted blue and black line ⊥ Red dotted line, dibujada desde el centro del círculo, debe caer al lado de Blue angle el ángulo agudo.
∴ Outlined angle que se supone que es un ángulo recto, es > Blue angle ,
∴ Black line > Dotted blue and black line ;
pero Blue dotted line = Black line,

y ∴ Blue dotted line > Dotted blue and black line , una parte mayor que el todo, lo cual es absurdo. Por lo tanto, el punto no cae fuera del círculo y, por lo tanto, la línea recta Red dotted line corta el círculo.

Q. E. D.

Proposición XVII. Teorema.

Proposición 17 figura

Dibujar una tangente a un círculo dado Red circle desde un punto dado, ya sea dentro o fuera de su circunferencia.

Si el punto dado está en la circunferencia, como en Blue and black dotted point , es claro que la línea recta Blue line ⊥ Black dotted line el radio, será la tangente requerida (L. 3. pr. 16.)

Pero si el punto dado Red and blue point está fuera de la circunferencia, dibuja Red dotted and solid line
de ella al centro, cortando Red circle; y
dibuja Blue dotted line ⊥ Red dotted line, traza Yellow circle
concéntrico con Red circle radio = Red dotted and solid line ,
entonces Blue line será la tangente requerida.

En Bottom triangle y Top triangle
Red dotted and solid line = Black dotted and solid line , Blue and red angle común,
y Red dotted line = Black dotted line,
∴ (L. 1. pr. 4.) Bottom yellow angle = Top yellow angle = un ángulo recto,
∴ Blue line es tangente a Red circle.

Q. E. D.

Proposición XVIII. Teorema.

Proposición 18 figura

Si una línea recta Blue dotted line es tangente a un círculo, la línea recta Blue line dibujada desde el centro hasta el punto de contacto es perpendicular a ella.

Por si es posible, deja Red solid and dotted line ser ⊥ Blue dotted line,
entonces porque Yellow angle = Right angle , Red yellow angle es agudo (L. 1. pr. 17.)
∴ Blue line > Red solid and dotted line (L. 1. pr. 19.);
pero Blue line = Red line,
y ∴ Red line > Red solid and dotted line ,
una parte mayor que el todo, lo cual es absurdo.

∴ Red solid and dotted line no es ⊥ Blue dotted line; y de la misma manera se puede demostrar que ninguna otra línea excepto Blue line es perpendicular a Blue dotted line.

Q. E. D.

Proposición XIX. Teorema.

Proposición 19 figura

Si una línea recta Blue line es una tangente a un círculo, la línea recta Yellow line, dibujada perpendicular a ella desde un punto del contacto, pasa a través del centro del círculo.

Por, si es posible, deja el centro sin Yellow line, y dibuja Red dotted line del supuesto centro al punto de contacto.

Porque Red dotted line ⊥ Blue line (L. 3. pr. 18.)

∴ Yellow angle = Right angle , un ángulo recto;
pero Blue and yellow angles = Right angle (hip.), y ∴ Yellow angle = Blue and yellow angles ,
una parte igual al todo, lo cual es absurdo.

Por lo tanto, el punto supuesto no es el centro; y de la misma manera se puede demostrar que ningún otro punto sin Yellow line es el centro.

Q. E. D.

Proposición XX. Teorema.

Figura I.
Proposición 20 figura 1

El ángulo en el centro de un círculo, es el doble del ángulo en la circunferencia, cuando tienen la misma parte de la circunferencia como su base.

Figura I.

Deja el centro del círculo estar en Red solid and dotted line
un lado de Yellow angle .

Porque Black line = Red line,
Yellow angle = Red angle (L. 1. pr. 5.).

Pero Blue angle = Yellow angle + Red angle ,
Blue angle = dos veces Yellow angle (L. 1. pr. 32).

Figura II.
Proposición 20 figura 2

Figura II.

Deja que el centro esté dentro de Top red and yellow angles , el ángulo en la circufenrencia; dibuja Black line desde el punto angular a través del centro del círculo;
entonces Top red angle = Bottom red angle , y Top yellow angle = Bottom yellow angle ,
por la igualdad de los lados (L. 1. pr. 5).

Por lo tanto Bottom red angle + Top red angle + Top yellow angle + Bottom yellow angle = dos veces Top red and yellow angles .
Pero Black angle = Top red angle + Bottom red angle , y
Blue angle = Top yellow angle + Bottom yellow angle ,
∴ Black and blue angles = dos veces Top red and yellow angles .

Figura III.
Proposición 20 figura 3

Figura III.

Deja el centro ser sin Red angle y
dibuja Red line, el diámetro.

Porque Blue and yellow angles = dos veces Black and red angles ; y
Blue angle = dos veces Black angle (caso 1.);
∴ Yellow angle = dos veces Red angle .

Q. E. D.

Proposición XXI. Teorema.

Figura I.
Proposición 21 figura 1

Los ángulos ( Red angle , Blue angle ) en el mismo segmento de un círculo son iguales.

Figura I.

Deja que el segmento sea mayor que un semi círculo, y dibuja Red line y Blue line al centro.

Yellow angle = dos veces Red angle o dos veces = Blue angle (L. 3. pr. 20.);
∴ Red angle = Blue angle .

Figura II.
Proposición 21 figura 2

Figura II.

Deja que el segmento sea un semicírculo, o menos que un semicírculo, dibuja Blue line el diámetro, también dibuja Red line.

Yellow angle = Blue angle y Red angle = Black angle (caso 1.)
∴ Yellow and red angles = Blue and black angles .

Q. E. D.

Proposición XXII. Teorema.

Proposición 22 figura

Los ángulos opuestos Red and blue angles y Yellow and black angles , Black and blue angles y Yellow and red angles de cualquier figura cuadrilátera inscrita en un círculo, son juntos iguales a dos ángulos rectos.

Dibuja Red line y Black line las diagonales; y porque ángulos en el mismo segmento son iguales Left blue angle = Top blue angle ,
y Right red angle = Top red angle ;
agrega Yellow and black angles a ambos.
∴ Red and blue angles + Yellow and black angles = Yellow and black angles + Left blue angle + Right red angle =
dos angulos rectos (L. 1. pr. 32.). De igual manera se puede demostrar que,
Black and blue angles + Yellow and red angles = Two right angles .

Q. E. D.

Proposición XXIII. Teorema.

Proposición 23 figura

Sobre la misma línea recta y sobre el mismo lado de la misma, no se pueden construir dos segmentos similares de círculos que no coincidan.

Por si es posible, deja dos segmentos similares
Blue segment y Red segment ser construidos;
dibuja cualquier línea recta Red line cortando ambos segmentos,
dibuja Blue line y Yellow line.

Porque los segmentos son similares
Yellow angle = Blue angle (L. 3. def. 10.),
pero Yellow angle > Blue angle (L. 1. pr. 16.)
lo cual es absurdo: por lo tanto, ningún punto en ninguno de los segmentos cae sin el otro y, por lo tanto, los segmentos coinciden.

Q. E. D.

Proposición XXIV. Teorema.

Proposición 24 figura

Segmentos similares Red segment y Yellow segment , de círculos sobre líneas rectas iguales (Black line y Blue line) son iguales entre sí.

Porque, si Yellow segment es aplicado a Red segment ,
para que Blue line pueda caer en Black line, los extremos de
Blue line pueden estar en los extremos de Black line y
Red curve en el mismo lado que Blue curve ;

porque Blue line = Black line,
Blue line debe coincidir totalmente con Black line;
y los segmentos similares que están entonces sobre la misma línea recta en el mismo lado de la misma, también deben coincidir (L. 3. pr. 23.), y por lo tanto son iguales.

Q. E. D.

Proposición XXV. Problema.

Proposición 25 figura

Segmento de un círculo dado, para trazar el círculo del que es el segmento.

Desde cualquier punto en el segmento dibuja Blue line y Black line bisécalas, y desde los puntos de bisección

dibuja Yellow line ⊥ Blue line
y Red line ⊥ Black line
donde se encuentran es el centro del círculo.

Porque Blue line terminada en el círculo está bisecada perpendicularmente por Yellow line, esta pasa a través del centro (L. 3. pr. 1.), igualmente Red line pasa a través del centro, por lo tanto, el centro está en la intersección de estas perpendiculares.

Q. E. D.

Proposición XXVI. Teorema.

Proposición 26 figura
Proposición 26 figura

En círculos iguales Blue circle y Red circle, los arcos Arc , Arc sobre los cuales se colocan ángulos iguales, ya sea en el centro o en la circunferencia, son iguales.

Primero, deja Yellow angle = Black angle en el centro,
dibuja Black line y Black dotted line.

Luego ya que Blue circle = Red circle,
Triangle y Triangle dotted tienen
Blue line = Red line = Blue dotted line = Red dotted line,
y Yellow angle = Black angle ,
∴ Black line = Black dotted line (L. 1. pr. 4.).

Pero Red angle = Blue angle (L. 3. pr. 20.);
∴ Blue segment y Red segment son similares (L. 3. def. 10.);
también son iguales (L. 3. pr. 24.)

Por lo tanto, si los segmentos iguales se toman de los círculos iguales, los segmentos restantes serán iguales;

por consiguiente Segment = Segment (ax. 3.);
∴ Arc = Arc .

Pero si los ángulos iguales dados están en la circunferencia, es evidente que los ángulos en el centro, que son el doble de los de la circunferencia, también son iguales y, por lo tanto, los arcos en los que se encuentran son iguales.

Q. E. D.

Proposición XXVII. Teorema.

Proposición 27 figura
Proposición 27 figura

En círculos iguales, Red circle y Blue circle los ángulos Yellow angles y Red angles que se encuentran sobre arcos iguales son iguales, ya sea en los centros o en las circunferencias.

Por si es posible, deja uno de ellos
Red angles ser mayor que el otro Yellow angles
y haz
Yellow and blue angles = Red angles

∴ Black and red dotted arc = Black dotted arc (L. 3. pr. 26.)
pero Black arc = Black dotted arc (hip.)
∴ Black arc = Black and red dotted arc una parte igual
al todo, lo cual es absurdo; ∴ ninguno de los ángulos es mayor que el otro, y ∴ son iguales.

Q. E. D.

Proposición XXVIII. Teorema.

Proposición 28 figura
Proposición 28 figura

En círculos iguales Yellow circle y Black circle, cuerdas iguales Red line, Red dotted line cortan arcos iguales.

Desde los centros de círculos iguales
dibuja Black line, Blue line y Black dotted line, Blue dotted line;
y porque Yellow circle = Black circle
Black line, Blue line = Black dotted line, Blue dotted line
también Red line = Red dotted line (hip.)
∴ Red angle = Yellow angle
∴ Blue arc = Red arc (L. 3. pr. 26.)
∴ Yellow arc = Black arc (ax. 3.)

Q. E. D.

Proposición XXIX. Teorema.

Proposición 29 figura
Proposición 29 figura

En círculos iguales Yellow circle y Black circle las cuerdas iguales Red line y Red dotted line que subtienden arcos iguales son iguales.

Si los arcos iguales son semicírculos, la proposición es evidente. Pero si no,
deja Black line, Blue line, y Black dotted line, Blue dotted line
ser dibujadas a los centros;
porque Blue arc = Red arc (hip.)
y Red angle = Yellow angle (L. 3. pr. 27.);
pero Black line y Blue line = Black dotted line y Blue dotted line
∴ Red line = Red dotted line (L. 1. pr. 4.);
pero estas son las cuerdas subtendiendo los arco iguales.

Q. E. D.

Proposición XXX. Problema.

Proposición 30 figura

Para bisecar un arco dado Red and dotted red arc .

Dibuja Black and dotted black line ;
haz Black line = Black dotted line,
dibuja Yellow line ⊥ Black and dotted black line , y esta biseca el arco.
Dibuja Blue dotted line y Blue line.
Black line = Black dotted line (const.),
Yellow line es común,
y Blue angle = Red angle (const.)
∴ Blue dotted line = Blue line (L. 1. pr. 4.)
Red arc = Red dotted arc (L. 3. pr. 28.),
y por lo tanto el arco dado es bisecado.

Q. E. D.

Proposición XXXI. Teorema.

Figura I.
Proposición 31 figura 1

En un círculo, el ángulo en un semicírculo es un ángulo recto, el ángulo en un segmento mayor que un semicírculo es agudo y el ángulo en un segmento menor que un semicírculo es obtuso.

Figura I.

El ángulo Yellow and black angles es un semicírculo es un ángulo recto.

Dibuja Red line y Blue and black line
Red angle = Yellow angle y Blue angle = Black angle (L. 1. pr. 5.)
Blue angle + Red angle = Yellow and black angles = la mitad de dos
ángulos rectos = un ángulo recto (L. 1. pr. 32.)

Figura II.
Proposición 31 figura 2

Figura II.

El ángulo Blue angle en un segmento mayor que un semicírculo es agudo.

Dibuja Red line el diametro, y Blue line
∴ Blue and red angles = un ángulo recto
∴ Blue angle es agudo.

Figura III.
Proposición 31 figura 3

Figura III.

El ángulo Red angle en un segmento menor que un semicírculo es obtuso.

Toma cualquier punto opuesto en la circunferencia, al cual dibujar Blue line y Red line.

Porque Yellow angle + Red angle = Two right angles (L. 3. pr. 22.)
pero Yellow angle < Right angle (parte 2.),
∴ Red angle es obtuso.

Q. E. D.

Proposición XXXII. Teorema.

Proposición 32 figura

Si una línea recta Blue line es una tangente a un círculo y desde el punto de contacto una línea recta Red line es dibujada cortando el círculo, el ángulo Bottom yellow angle formado por esta línea con la tangente es igual al ángulo Top yellow angle en el segmento alterno del círculo.

Si la cuerda pasa por el centro, es evidente que los ángulos son iguales, ya que cada uno de ellos es un ángulo recto. (L. 3. prs. 16, 31.)

Pero si no, dibuja Black line ⊥ Blue line desde el punto de contacto, esta debe pasar por el centro del círculo, (L. 3. pr. 19.)

∴ Black angle = Right angle (L. 3. pr. 31.)
Top yellow angle + Blue angle = Right angle = Blue and yellow angles (L. 1. pr. 32.)
∴ Top yellow angle = Bottom yellow angle (ax.).
De nuevo, Outlined, blue and yellow angles = Two right angles = Top yellow angle + Red angle (L. 3. pr. 22.)

∴ Outlined and blue angles = Red angle , (ax.), el cual es el ángulo en el segmento alterno.

Q. E. D.

Proposición XXXIII. Problema.

Proposición 33 figura

En una línea recta dada Black line para trazar un segmento de un círculo que contendrá un ángulo igual a un ángulo dado Right angle , Obtuse angle , Black angle .

Si el ángulo dado es un ángulo recto, biseca la línea dada y traza un semicírculo en ella, evidentemente contendrá un ángulo recto. (L. 3. pr. 31.)

Si el ángulo dado es agudo u obtuso, haz con la línea dada, en sus extremos,

Yellow angle = Black angle , dibuja Blue line ⊥ Red line y
haz Top red angle = Bottom red angle , traza Blue circle
con Blue line o Yellow line como radio, porque son iguales.

Red line es tangente a Blue circle (L. 3. pr. 16.)
∴ Black line divide el círculo en dos segmentos
capaces de contener ángulos iguales a
Outlined and red angles y Yellow angle los cuales fueron hechos respectivamente igual
a Obtuse angle y Black angle (L. 3. pr. 32.)

Q. E. D.

Proposición XXXIV. Problema.

Proposición 34 figura

Para cortar de un círculo dado Blue circle un segmento que contendrá un ángulo igual a un ángulo dado Red angle .

Dibuja Red line (L. 3. pr. 17.), una tangente al círculo en cualquier punto; en el punto de contacto hacer

Blue angle = Red angle el ángulo dado;
y Segment contiene un ángulo = al ángulo dado.

Porque Red line es una tangente,
y Black line la corta
el ángulo en Segment = Blue angle (L. 3. pr. 32.),
pero Blue angle = Red angle (const.)

Q. E. D.

Proposición XXXV. Teorema.

Figura I.
Proposición 35 figura 1

Si dos cuerdas { Blue and dotted blue line Black and dotted black line } en un círculo se cruzan entre sí, el rectángulo contenido por los segmentos del uno es igual al rectángulo contenido por los segmentos del otro.

Figura I.

Si las líneas rectas dadas pasan por el centro, se bisecan en el punto de intersección, por lo tanto, los rectángulos debajo de sus segmentos son los cuadrados de sus mitades y por lo tanto son iguales.

Figura II.
Proposición 35 figura 2

Figura II.

Deja Black dotted, red dotted, and black line pasar a través del centro, y
no Blue and dotted blue line ; dibuja Yellow line y Red line.
Entonces Blue line × Blue dotted line = Yellow line2 − Red dotted line2 (L. 2. pr. 6.),
o Blue line × Blue dotted line = Black and red dotted line 2 − Red dotted line2.
∴ Blue line × Blue dotted line = Red dotted and black line × Black dotted line (L. 2. pr. 5.).

Figura III.
Proposición 35 figura 3

Figura III.

Que ninguna de las líneas dadas pase por el centro, dibuje un diámetro a través de su intersección Red dotted and red line ,

y Red dotted line × Red line = Blue line × Blue dotted line (parte 2.),
también Red dotted line × Red line = Black line × Black dotted line (parte 2.);
∴ Blue line × Blue dotted line = Black line × Black dotted line.

Q. E. D.

Proposición XXXVI. Teorema.

Figura I.
Proposición 36 figura 1

Si desde un punto fuera de un círculo se dibujan dos líneas rectas, una de las cuales Blue line es tangente al círculo y la otra Black, dotted red, and red line lo corta; el rectángulo debajo de toda la línea de corte Black, dotted red, and red line y el segmento externo Red line es igual al cuadrado de la tangente Blue line..

Figura I.

Deja Black, dotted red, and red line pasar a través del centro;
dibuja Yellow line del centro al punto de contacto;
Blue line2 = Dotted red, and red line 2 menos Yellow line2 (L. 1. pr. 47),
o Blue line2 = Dotted red, and red line 2 menos Red dotted line2,
∴ Blue line2 = Black, dotted red, and red line × Red line (L. 2. pr. 6).

Figura II.
Proposición 36 figura 2

Figura II.

Si Dotted red, and red line no pasa a través del centro,
dibuja Yellow dotted line y Blue dotted line.

Entonces Dotted red, and red line × Red line = Black line2 menos Blue dotted line2
(L. 2. pr. 6), es decir,
Dotted red, and red line × Red line = Black line2 menos Yellow line2,
∴ Dotted red, and red line × Red line = Blue line2 (L. 3. pr. 18).

Q. E. D.

Proposición XXXVII. Problema.

Proposición 37 figura

Si desde un punto fuera de un círculo dos líneas rectas son dibujadas, una Black and dotted black line cortando el círculo, la otra Red line encontrándose con él, y si el rectángulo contenido por toda la línea de corte Black and dotted black line y su segmento externo Black dotted line es igual al cuadrado de la línea que se encuentra con el círculo, esta última Red line es una tangente al círculo.

Dibuja desde un punto dado
Blue line, una tangente al círculo, y dibuja desde el
centro Yellow line, Red dotted line, y Blue dotted line,
Blue line2 = Black and dotted black line × Black dotted line (L. 3. pr. 36.)
pero Red line2 = Black and dotted black line × Black dotted line (hip.),
∴ Red line2 = Blue line2,
y ∴ Red line = Blue line;

Entonces en Red triangle y Blue triangle
Red dotted line y Red line = Blue dotted line and Blue line,
y Yellow line es común,
∴ Blue angle = Red angle (L. 1. pr. 8.);
pero Red angle = Right angle un ángulo recto (L. 3. pr. 18.),
∴ Blue angle = Right angle un ángulo recto,
y ∴ Red line es una tangente al círculo (L. 3. pr. 16.).

Q. E. D.

Libros.

  1. Libro I. Geometría básica plana
  2. Libro II. Álgebra geométrica
  3. Libro III. Círculos y ángulos
  4. Libro IV. Polígonos regulares
  5. Libro V. Razones y proporcioness
  6. Libro VI. Proporciones geométricas