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Libro V.

Definiciones.

I.

Se dice que una magnitud menor es una parte alícuota o submúltiplo de una magnitud mayor, cuando la menor mide la mayor; es decir, cuando la menor está contenida un cierto número de veces exactamente en la mayor.

II.

Se dice que una magnitud mayor es un múltiplo de una menor, cuando el mayor es medida por la menor; es decir, cuando la mayor contiene a la menor exactamente un cierto número de veces.

III.

Proporción es la relación que una cantidad tiene con otra del mismo tipo, con respecto a una magnitud.

IV.

Se dice que las magnitudes tienen una relación entre sí, cuando son del mismo tipo; y la que no es la mayor puede multiplicarse para exceder a la otra.

Las otras definiciones se darán a lo largo del libro donde su ayuda es primero requerida.

Axiomas.

I.

Múltiplos iguales o submúltiplos iguales de lo mismo, o de magnitudes iguales, son iguales.

Si A = B, entonces Dos veces A = dos veces B, es decir, 2 A = 2 B; 3 A = 3 B; 4 A = 4 B etcétera y 1 / 2 de A = 1 / 2 de B; 1 / 3 de A = 1 / 3 de B; etcétera.

II.

Un múltiplo de una magnitud mayor, es mayor que el mismo múltiplo de una menor.

Sea A > B, entonces 2 A > 2 B; 3 A > 3 B; 4 A > 4 B; etcétera.

III.

Esa magnitud, de la cual un múltiplo es mayor que el mismo múltiplo de otra, es mayor que la otra.

Sea 2 A > 2 B, entonces A > B; o, sea 3 A > 3 B, entonces A > B o, sea m A > m B, entonces A > B. etcétera.

Proposición I. Teorema.

Si cualquier número de magnitudes son múltiplos iguales de tantas otras, cada uno de ellas: independientemente del múltiplo que sea una de las primeras de su parte, el mismo múltiplo de las primeras magnitudes tomadas juntas será de todas los demás tomadas juntas.

Sea Red dome Red dome Red dome Red dome Red dome el mismo múltiplo de Red dome ,
que Yellow home Yellow home Yellow home Yellow home Yellow home es de Yellow home .
que Blue drop Blue drop Blue drop Blue drop Blue drop es de Blue drop .

Entonces es evidente que
Red dome Red dome Red dome Red dome Red dome Yellow home Yellow home Yellow home Yellow home Yellow home Blue drop Blue drop Blue drop Blue drop Blue drop } es el mismo múltiplo de { Red dome Yellow home Blue drop
que Red dome Red dome Red dome Red dome Red dome es de Red dome ;
porque hay tantas magnitudes
en { Red dome Red dome Red dome Red dome Red dome Yellow home Yellow home Yellow home Yellow home Yellow home Blue drop Blue drop Blue drop Blue drop Blue drop } = { Red dome Yellow home Blue drop
como hay en Red dome Red dome Red dome Red dome Red dome = Red dome .

La misma demostración es válida en cualquier cantidad de magnitudes, que aquí se ha aplicado a tres.

Si alguna cantidad de magnitudes, etcétera.

Proposición II. Teorema.

Si la primera magnitud es el mismo múltiplo de la segunda que la tercera es de la cuarta, y la quinta el mismo múltiplo de la segunda que la sexta es de la cuarta, entonces la primera, junto con la quinta, será el mismo múltiplo de la segunda que la tercera, junto con la sexta, es de la cuarta.

Sea Yellow circle Yellow circle Yellow circle , la primera, el mismo múltiplo de Yellow circle , la segunda, que Red drop Red drop Red drop , la tercera, es de Red drop , la cuarta; y sea Blue circle Blue circle Blue circle Blue circle , la quinta, el mismo múltiplo de Yellow circle , la segunda, que Black drop Black drop Black drop Black drop , la quinta, es de Red drop , la cuarta.

Entonces es evidente, que { Yellow circle Yellow circle Yellow circle Blue circle Blue circle Blue circle Blue circle } , la primera y la quinta juntas, son el mismo múltiplo de Yellow circle , la segunda, que { Red drop Red drop Red drop Black drop Black drop Black drop Black drop } , la tercera y la sexta juntas, es del mismo múltiplo de Red drop , la cuarta, porque hay tantas magnitudes en { Yellow circle Yellow circle Yellow circle Blue circle Blue circle Blue circle Blue circle } = Yellow circle como hay en { Red drop Red drop Red drop Black drop Black drop Black drop Black drop } = Red drop .

Si la primera magnitud, etcétera.

Proposición III. Teorema.

Si las primeras cuatro magnitudes son el mismo múltiplo de la segunda que la tercera es de la cuarta, y si se toman múltiplos iguales cualesquiera que sean la primera y la tercera, serán múltiplos iguales; uno de la segunda y el otro de la cuarta.

Sea { Yellow square Yellow square Yellow square Yellow square } el mismo múltiplo de Red square
que { Black diamond Black diamond Black diamond Black diamond } es de Blue diamond ;
toma { Red square Red square Red square Red square Red square Red square Red square Red square Red square Red square Red square Red square Red square Red square Red square Red square } el mismo mútliplo de { Yellow square Yellow square Yellow square Yellow square ,
que { Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond } es de { Black diamond Black diamond Black diamond Black diamond .

Entonces es evidente,
que { Red square Red square Red square Red square Red square Red square Red square Red square Red square Red square Red square Red square Red square Red square Red square Red square } el mismo mútliplo de Red square
que { Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond } es de Blue diamond ;
porque { Red square Red square Red square Red square Red square Red square Red square Red square Red square Red square Red square Red square Red square Red square Red square Red square } contiene { Yellow square Yellow square Yellow square Yellow square } contiene Red square
tantas veces como
Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond } contiene { Black diamond Black diamond Black diamond Black diamond } contiene Blue diamond .

El mismo razonamiento es aplicable en todos los caso.

Si las primeras cuatro, etcétera.

Definición V.

Se dice que cuatro magnitudes Red circle , Yellow square , Blue diamond , Black home , son proporcionales cuando se toma cada múltiplo igual de la primera y la tercera, y cada múltiplo igual de la segunda y la cuarta, como,

de la primera

Trans square Trans square Trans square Trans square Trans square Red circle Red circle Trans square Trans square Trans square Trans square Red circle Red circle Red circle Trans square Trans square Trans square Red circle Red circle Red circle Red circle Trans square Trans square Red circle Red circle Red circle Red circle Red circle Trans square Red circle Red circle Red circle Red circle Red circle Red circle

etcétera.

de la segunda

Trans square Trans square Trans square Trans square Trans square Yellow square Yellow square Trans square Trans square Trans square Trans square Yellow square Yellow square Yellow square Trans square Trans square Trans square Yellow square Yellow square Yellow square Yellow square Trans square Trans square Yellow square Yellow square Yellow square Yellow square Yellow square Trans square Yellow square Yellow square Yellow square Yellow square Yellow square Yellow square

etcétera.

de la tercera

Trans diamond Trans diamond Trans diamond Trans diamond Trans diamond Blue diamond Blue diamond Trans diamond Trans diamond Trans diamond Trans diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Trans diamond Trans diamond Trans diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Trans diamond Trans diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Trans diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond

etcétera.

de la cuarta

Trans square Trans square Trans square Trans square Trans square Black home Black home Trans square Trans square Trans square Trans square Black home Black home Black home Trans square Trans square Trans square Black home Black home Black home Black home Trans square Trans square Black home Black home Black home Black home Black home Trans square Black home Black home Black home Black home Black home Black home

etcétera.

Luego, tomando cada par de múltiplos iguales de la primera y la tercera, y cada par de múltiplos iguales de la segunda y la cuarta,

Si { Red circle Red circle >, = o < Yellow square Yellow square Red circle Red circle >, = o < Yellow square Yellow square Yellow square Red circle Red circle >, = o < Yellow square Yellow square Yellow square Yellow square Red circle Red circle >, = o < Yellow square Yellow square Yellow square Yellow square Yellow square Red circle Red circle >, = o < Yellow square Yellow square Yellow square Yellow square Yellow square Yellow square

entonces será { Blue diamond Blue diamond >, = o < Black home Black home Blue diamond Blue diamond >, = o < Black home Black home Black home Blue diamond Blue diamond >, = o < Black home Black home Black home Black home Blue diamond Blue diamond >, = o < Black home Black home Black home Black home Black home Blue diamond Blue diamond >, = o < Black home Black home Black home Black home Black home Black home

Es decir, si dos veces la primera es mayor, igual o menor que el doble de la segunda, dos veces la tercera será mayor, igual o menor que el doble de la cuarta; o, si dos veces la primera es mayor, igual o menor que tres veces la segunda, dos veces la tercera será mayor, igual o menor que tres veces la cuarta, y así sucesivamente, como se expresó anteriormente.

Si { Red circle Red circle Red circle >, = o < Trans square Trans square Trans square Trans square Trans square Yellow square Yellow square Red circle Red circle Red circle >, = o < Trans square Trans square Trans square Trans square Yellow square Yellow square Yellow square Red circle Red circle Red circle >, = o < Trans square Trans square Trans square Yellow square Yellow square Yellow square Yellow square Red circle Red circle Red circle >, = o < Trans square Trans square Yellow square Yellow square Yellow square Yellow square Yellow square Red circle Red circle Red circle >, = o < Trans square Yellow square Yellow square Yellow square Yellow square Yellow square Yellow square

entonces será { Blue diamond Blue diamond Blue diamond >, = o < Trans square Trans square Trans square Trans square Trans square Black home Black home Blue diamond Blue diamond Blue diamond >, = o < Trans square Trans square Trans square Trans square Black home Black home Black home Blue diamond Blue diamond Blue diamond >, = o < Trans square Trans square Trans square Black home Black home Black home Black home Blue diamond Blue diamond Blue diamond >, = o < Trans square Trans square Black home Black home Black home Black home Black home Blue diamond Blue diamond Blue diamond >, = o < Trans square Black home Black home Black home Black home Black home Black home

En otros términos, si tres veces la primera es mayor, igual o menor que el doble de la segunda, tres veces la tercera será mayor, igual o menor que el doble de la cuarta; o, si tres veces la primera es mayor, igual o menor que tres veces la segunda, entonces tres veces la tercera será mayor, igual o menor que tres veces la cuarta; o si tres veces la primera es mayor, igual o menor que cuatro veces la segunda, entonces tres veces la tercera será mayor, igual o menor que cuatro veces la cuarto, y así sucesivamente. De nuevo,

Si { Red circle Red circle Red circle Red circle >, = o < Yellow square Yellow square Red circle Red circle Red circle Red circle >, = o < Yellow square Yellow square Yellow square Red circle Red circle Red circle Red circle >, = o < Yellow square Yellow square Yellow square Yellow square Red circle Red circle Red circle Red circle >, = o < Yellow square Yellow square Yellow square Yellow square Yellow square Red circle Red circle Red circle Red circle >, = o < Yellow square Yellow square Yellow square Yellow square Yellow square Yellow square

entonces será { Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond >, = o < Black home Black home Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond >, = o < Black home Black home Black home Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond >, = o < Black home Black home Black home Black home Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond >, = o < Black home Black home Black home Black home Black home Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond >, = o < Black home Black home Black home Black home Black home Black home

Y así sucesivamente, con cualquier otro múltiplo igual de las cuatro magnitudes, tomado de la misma manera.

Euclides expresa esta definición de la siguiente manera:—

Se dice que la primera de las cuatro magnitudes tiene la misma proporción con la segunda, que la tercera tiene con la cuarta, cuando se toma cualquier múltiplo igual de la primera y la tercera, y cualquier múltiplo igual de la segunda y la cuarta; si el múltiplo de la primera es menor que el de la segunda, el múltiplo de la tercera también es menor que el de la cuarta; o, si el múltiplo de la primera es igual al de la segunda, el múltiplo de la tercera también es igual al de la cuarta; o, si el múltiplo de la primera es mayor que el de la segunda, el múltiplo de la tercera también es mayor que el de la cuarta.

En el futuro, expresaremos esta definición en general, así:

Si M Red circle >, = o < m Yellow square , cuando M Blue diamond >, = o < m Black home ,

Luego deducimos que Red circle , la primera, tiene la misma proporción con Yellow square , la segunda, que Blue diamond , la tercera, con Black home la cuarta: expresado en las demostraciones posteriores así:

Red circle : Yellow square :: Blue diamond : Black home ; o así, Red circle : Yellow square = Blue diamond : Black home ; o así, Red circle / Yellow square = Blue diamond / Black home : y se lee,

Red circle es a Yellow square , commo Blue diamond es a Black home .

Y si Red circle : Yellow square :: Blue diamond : Black home inferiremos si
M Red circle >, = o < m Yellow square , entonces
M Blue diamond >, = o < m Black home .

Es decir, si la primera es para la segunda, como la tercera es para la cuarta; entonces, si M veces la primera es mayor, igual o menor que m veces la segunda, entonces M veces la tercera será mayor, igual o menor que m veces la cuarta, en el cual M y m no deben ser considerados múltiplos particulares, pero cada par de múltiplos de lo que sea; ni son tales marcas como Red circle , Black home , Yellow square , etcétera consideradas más que representativas de magnitudes geométricas.

El estudiante debe comprender completamente esta definición antes de continuar.

Proposición IV. Teorema.

Si la primera de las cuatro magnitudes tiene la misma proporción con la segunda, que la tercera tiene con la cuarta, entonces cualquier múltiplo igual de la primera y la tercera tendrá la misma proporción con cualquier múltiplo igual de la segunda y la cuarta; a saber, el múltiplo igual de la primera tendrá la misma proporción con el de la segunda, que el múltiplo igual de la tercera tiene con el de la cuarta.

Sea Yellow circle : Black square :: Red diamond : Blue home , entonces 3 Yellow circle : 2 Black square :: 3 Red diamond : 2 Blue home , cada múltiplo igual de 3 Yellow circle y 3 Red diamond son múltiplos iguales de Yellow circle y Red diamond , y cada múltiplo igual de 2 Black square y 2 Blue home , son múltiplos iguales de Black square y Blue home (L. 5. pr. 3.)

Es decir, M veces 3 Yellow circle y M veces 3 Red diamond son múltiplos iguales de Yellow circle y Red diamond , y m veces 2 Black square y m 2 Blue home son múltiplos iguales de 2 Black square y 2 Blue home ; pero Yellow circle : Black square :: Red diamond : Blue home (hip); si M 3 Yellow circle >, = o < m 2 Black square , entonces M 3 Red diamond >, = o < m 2 Blue home (def. 5.) y por lo tanto 3 Yellow circle : 2 Black square :: 3 Red diamond : 2 Blue home (def. 5.)

El mismo razonamiento es válido si se toma cualquier otro múltiplo igual de la primera y la tercera, y cualquier otro múltiplo igual de la segunda y la cuarta.

Si la primera de las cuatro, etcétera.

Proposición V. Teorema.

Si una magnitud es el mismo múltiplo de otra, que una magnitud tomada de la primera es de una magnitud tomada de la otra, el resto será el mismo múltiplo del resto, que el todo es del todo.

Sea Blue drop Blue drop Blue drop Yellow dome = M Black triangle Red square
y Yellow dome = M Red square ,
Blue drop Blue drop Blue drop Yellow dome menos Yellow dome = M Black triangle Red square menos M Red square ,
Blue drop Blue drop Blue drop = M′ ( Black triangle Red square menos Red square ),
y Blue drop Blue drop Blue drop = M Black triangle .

Si una magnitud, etcétera.

Proposición VI. Teorema.

Si dos magnitudes son múltiplos iguales de otras dos, y si se toman múltiplos iguales de las dos primeras, los restos son iguales a estas otras, o múltiplos iguales de ellas.

Sea Yellow drop Yellow drop Yellow drop Yellow drop = M Red square ; y Black dome Black dome = M Blue triangle ;
entonces Yellow drop Yellow drop Yellow drop Yellow drop menos m Red square =

M′ Red square menos m′ Red square = (M′ menos m′) Red square ,
y Black dome Black dome menos m′ Blue triangle = M′ Blue triangle menos m′ Blue triangle = (M′ menos m′) Blue triangle .

Por lo tanto, (M′ menos m′) Red square y (M′ menos m′) Blue triangle son múltiplos iguales de Red square y Blue triangle , e iguales a Red square y Blue triangle , cuando M′ menos m′ = 1.

Si dos magnitudes son múltiplos iguales, etcétera.

Proposición A. Teorema.

Si la primera de las cuatro magnitudes tiene la misma relación con la segunda que la tercera con la cuarta, entonces si la primera es mayor que la segunda, la tercera también es mayor que la cuarta; y si es igual, igual; si es menor, menor.

Sea Red circle : Black square :: Blue home : Yellow diamond ; por lo tanto la quinta definición, si Red circle Red circle > Black square Black square , entonces Blue home Blue home > Yellow diamond Yellow diamond ;
pero si Red circle > Black square , entonces Red circle Red circle > Black square Black square
y Blue home Blue home > Yellow diamond Yellow diamond ,
y Blue home > Yellow diamond .

Del mismo modo, si Red circle =, o < Black square , entonces Blue home =, o < Yellow diamond .

Si la primera de las cuatro, etcétera.

Definición XIV.

Los geómetras hacen uso del término técnico “invertir,” por inversión, cuando hay cuatro proporcionales, y se infiere, que la segunda es a la primera coma la cuarta a la tercera.

Sea A : B :: C : D, entonces, por “inversión” es es inferido B : A :: D : C.

Proposición B. Teorema.

Si cuatro magnitudes son proporcionales, también son proporcionales cuando se toman inversamente.

Sea Blue home : Black dome :: Red square : Yellow diamond ,
entonces inversamente, Black dome : Blue home :: Yellow diamond : Red square .

Si M Blue home < m Black dome , entonces M Red square < m Yellow diamond
por la quinta definición.

Sea M Blue home < m Black dome , es decir, m Black dome > M Blue home ,
M Red square < m Yellow diamond , o, m Yellow diamond > M Red square ;
si m Black dome > M Blue home , entonces m Yellow diamond > M Red square .

De la misma manera se puede mostrar,

que si m Black dome = o < M Blue home ,
entonces m Yellow diamond =, o < M Red square ;
y por lo tanto, por la quinta definición, inferimos
que Black dome : Blue home : Yellow diamond : Red square .

Si cuatro magnitudes, etcétera.

Proposición C. Teorema.

Si la primera es el mismo múltiplo de la segunda, o la misma parte de ella, que la tercera es de la cuarta; la primera es para la segunda, como la tercera es para la cuarta.

Sea Blue square Blue square Blue square Blue square , la primera, el mismo múltiplo de Black circle , la segunda,
que Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond , la tercera, es de Red home , la cuarta.

Entonces Blue square Blue square Blue square Blue square : Black circle :: Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond : Red home
toma M Blue square Blue square Blue square Blue square , m Black circle , M Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond , m Red home ;
porque Blue square Blue square Blue square Blue square es el mismo múltiplo de Black circle
que Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond es de Red home (de acuerdo con la hipótesis);
y M Blue square Blue square Blue square Blue square se toma el mismo múltiplo de Blue square Blue square Blue square Blue square
que M Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond es de Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond ,
(de acuerdo a la tercera preposición),
M Blue square Blue square Blue square Blue square es el mismo múltiplo de Black circle
que M Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond es de Red home .

Por consiguiente, si M Blue square Blue square Blue square Blue square es de Black circle un múltiplo mayor que m Black circle es, entonces M Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond es un múltiplo mayor de Red home que m Red home es; es decir, si M Blue square Blue square Blue square Blue square es mayor que m Black circle , entonces M Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond será mayor que m Red home ; de la misma manera se puede mostrar, si M Blue square Blue square Blue square Blue square es igual a m Black circle , entonces
M Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond será igual a m Red home .

Y, generalmente, si M Blue square Blue square Blue square Blue square >, = o < m Black circle
entonces M Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond será >, = o < m Red home ;
por la quinta definición,
Blue square Blue square Blue square Blue square : Black circle :: Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond : Red home .

Siguiente, sea Black circle la misma parte de Blue square Blue square Blue square Blue square
que Red home es de Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond .

En este caso también Black circle : Blue square Blue square Blue square Blue square :: Red home : Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond .

Porque
Black circle es misma parte de Blue square Blue square Blue square Blue square que Red home es de Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond ,
por lo tanto Blue square Blue square Blue square Blue square es el mismo múltiplo de Black circle
que Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond es de Red home .

Por lo tanto, por el caso anterior,
Blue square Blue square Blue square Blue square : Black circle :: Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond : Red home ;
y Black circle : Blue square Blue square Blue square Blue square :: Red home : Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond Yellow diamond ,
por la proposición B.

Si la primera es el mismo múltiplo, etcétera.

Proposición D. Teorema.

Si la primera es para la segunda como la tercero para la cuarta, y si la primera es un múltiplo o una parte de la segunda; la tercera es el mismo múltiplo, o la misma parte de la cuarta.

Sea Yellow circle Yellow circle Yellow circle : Black square :: Red diamond Red diamond Red diamond Red diamond : Blue home ;
y primero, sea Yellow circle Yellow circle Yellow circle múltiplo de Black square ;
Red diamond Red diamond Red diamond Red diamond será el mismo múltiplo de Blue home .

Yellow circle Yellow circle Yellow circle Black square Red diamond Red diamond Red diamond Red diamond Blue home

Red dome Red dome Red dome Black drop Black drop Black drop Black drop

Asume Red dome Red dome Red dome = Yellow circle Yellow circle Yellow circle .

Cualquier múltiplo que Yellow circle Yellow circle Yellow circle sea de Black square
asume Black drop Black drop Black drop Black drop el mismo múltiplo de Blue home ,
entonces, porque Yellow circle Yellow circle Yellow circle : Black square :: Red diamond Red diamond Red diamond Red diamond : Blue home
y del segundo y cuarto, hemos tomado múltiplos iguales,
Yellow circle Yellow circle Yellow circle y Black drop Black drop Black drop Black drop , por lo tanto (L. 5. pr. 4),
Yellow circle Yellow circle Yellow circle : Red dome Red dome Red dome :: Red diamond Red diamond Red diamond Red diamond : Black drop Black drop Black drop Black drop , pero (const.),
Yellow circle Yellow circle Yellow circle = Red dome Red dome Red dome (L. 5. pr. A.) Red diamond Red diamond Red diamond Red diamond = Black drop Black drop Black drop Black drop
y Black drop Black drop Black drop Black drop es el mismo múltiplo de Blue home
que Yellow circle Yellow circle Yellow circle es de Black square .

Siguiente, sea Black square : Yellow circle Yellow circle Yellow circle :: Blue home : Red diamond Red diamond Red diamond Red diamond ,
y también Black square una parte de Yellow circle Yellow circle Yellow circle ;
entonces Blue home será la misma parte de Red diamond Red diamond Red diamond Red diamond .

Inversamente (L. 5.), Yellow circle Yellow circle Yellow circle : Black square :: Red diamond Red diamond Red diamond Red diamond : Blue home ,
pero Black square es una parte de Yellow circle Yellow circle Yellow circle ;
es decir, Yellow circle Yellow circle Yellow circle es un múltiplo de Black square ;
por el caso anterior, Red diamond Red diamond Red diamond Red diamond es el mismo múltiplo de Blue home
es decir, Blue home es la misma parte de Red diamond Red diamond Red diamond Red diamond
que Black square es de Yellow circle Yellow circle Yellow circle .

Si la primera es para la segunda, etcétera.

Proposición VII. Teorema.

Las magnitudes iguales tienen la misma proporción con la misma magnitud, y la misma tiene la misma proporción con las mismas magnitudes.

Sea Red circle = Blue diamond y Yellow square otra magnitud;
entonces Red circle : Yellow square = Blue diamond : Yellow square y Yellow square : Red circle = Yellow square : Blue diamond .

Porque Red circle = Blue diamond ,
M Red circle = M Blue diamond ;

si M Red circle >, = or < m Yellow square , entonces
M Blue diamond >, = o < m Yellow square ,
y Red circle : Yellow square = Blue diamond : Yellow square (L. 5. def. 5).

Del razonamiento anterior es evidente que,
si m Yellow square >, = o < M Red circle , entonces
m Yellow square >, = o < M Blue diamond
Yellow square : Red circle = Yellow square : Blue diamond (L. 5. def. 5).

Las magnitudes iguales, etcétera.

Definición VII.

Cuando de los múltiplos iguales de cuatro magnitudes (tomadas como en la quinta definición), el múltiplo de la primera es mayor que el de la segunda, pero el múltiplo de la tercera no es mayor que el múltiplo de la cuarta; entonces se dice que la primera tiene una proporción mayor con la segunda que la tercera magnitud tiene con la cuarta: y, por el contrario, se dice que la tercera tiene proporción menor con la cuarta que la primera tiene con la segunda.

Si, entre los múltiplos iguales de cuatro magnitudes, comparados como en la quinta definición, deberíamos encontrar Red circle Red circle Red circle Red circle Red circle > Yellow square Yellow square Yellow square Yellow square , pero Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond Blue diamond = o < Black square Black square Black square Black square , o si encontramos cualquier múltiplo M′ particular de la primera y la tercera, y un múltiplo m′ particular de la segundo y la cuarta, tal que M′ veces la primera es > m′ veces la segunda, la M′ veces la tercera no es > m′ veces la cuarta, es decir = o < m′ veces el cuarto; entonces se dice que la primera tiene a la segunda un proporción mayor que la tercera a la cuarta; o la tercera tiene a la cuarta, en tales circunstancias, una proporción menor que la primera tiene con la segunda: aunque varios otros múltiplos iguales pueden tender a mostrar que las cuatro magnitudes son proporcionales.

Esta definición en el futuro se expresará así:—

Si M′ Red home > m′ Black dome , pero M′ Blue square = o < m′ Yellow diamond ,
entonces Red home : Black dome > Blue square : Yellow diamond .

En la expresión general anterior, M′ y m′ deben considerarse múltiplos particulares, no como los múltiplos M y m introducidos en la quinta definición, que en esa definición se consideran cada par de múltiplos que se pueden tomar. También debe observarse aquí que Red home , Black dome , Blue square , y los símbolos similares deben considerarse simplemente los representantes de magnitudes geométricas.

De manera aritmética parcial, esto se puede establecer de la siguiente manera:

Tomemos cuatro números, 8, 7, 10, y 9.

Primera.
8
Segunda.
7
Tercera.
10
Cuarta.
9
16
24
32
40
48
46
64
72
80
88
96
104
112

etcétera
14
21
28
35
42
49
56
63
70
77
84
91
98

etcétera
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140

etcétera
18
27
36
45
54
63
72
81
90
99
108
117
126

etcétera

Entre los múltiplos anteriores encontramos 16 > 14 y 20 > 18; es decir, dos veces el primero es mayor que dos veces el segundo, y dos veces el tercero es mayor que dos veces el cuarto; y 16 < 21 y 20 < 27; es decir, dos veces el primero es menor que tres veces el segundo, y dos veces el tercero es menor que de tres veces el cuarto; y entre los mismos múltiplos podemos encontrar 72 > 56 y 90 > 72: es decir, 9 veces el primero es mayor que 8 veces el segundo, y 9 veces el tercero es mayor que 8 veces el cuarto. Se podrían seleccionar muchos otros múltiplos iguales, lo que tendería a mostrar que los números 8, 7, 10, 9, eran proporcionales, pero no lo son, porque podemos encontrar un múltiplo del primero > que un múltiplo del segundo, pero el mismo múltiplo del tercero que se ha tomado del primero no es > que el mismo múltiplo del cuarto que se ha tomado del segundo; por ejemplo, 9 veces el primero es > que 10 veces el segundo, pero 9 veces el tercero no es > que 10 veces el cuarto, es decir, 72 > 70, pero 90 no es > 90, y encontramos que 8 veces el primero > que 9 veces el segundo, pero 8 veces el tercero no es mayor que 9 veces el cuarto, es decir 64 > 63, pero 80 no es > 81. Cuando se pueden encontrar múltiplos como estos, se dice que el primero (8) tiene el segundo (7) una proporción mayor que el tercero (10) con el cuarto (9), y por el contrario el tercero (10) se dice que tiene el cuarto (9) una proporción menor que el primero (8) tiene al segundo (7).

Proposición VIII. Teorema.

De magnitudes desiguales, la mayor tiene una proporción mayor con la misma que la menor; y la misma magnitud tiene una proporción mayor con la menor que con la mayor.

Sean Black triangle Red square y Yellow square dos magnitudes desiguales, y Blue circle cualquier otra.

Primero demostraremos que Black triangle Red square que es la mayor de las dos magnitudes desiguales, tiene mayor proporción a Blue circle que Yellow square , la menor tiene a Blue circle ;

es decir, Black triangle Red square : Blue circle > Yellow square : Blue circle ;
toma M′ Black triangle Red square , m′ Blue circle , M′ Yellow square , y m′ Blue circle ;
tal que M′ Black triangle y M′ Red square sean cada una > Blue circle ;
también toma m′ Blue circle el múltiplo menor de Blue circle ,
que hará m′ Blue circle > M′ Yellow square = M′ Red square ;
M′ Yellow square no es > m′ Blue circle ,
pero M′ Black triangle Red square is > m′ Blue circle , porque,
como m′ Blue circle es el primer múltiplo que primero se convierte > M′ Red square , que (m′ menos 1) Blue circle o m′ Blue circle menos Blue circle no es > M′ Red square , y Blue circle no es > M′ Black triangle ,
m′ Blue circle menos Blue circle + Blue circle debe ser < M′ Red square + M′ Black triangle ;
es decir, m′ Blue circle debe ser < M′ Red square ;
M′ Black triangle Red square es > m′ Blue circle ; pero se ha demostrado arriba que
M′ Yellow square no es > m′ Blue circle , por lo tanto, por la séptima definición,
Black triangle Red square tiene a Blue circle mayor proporción que Yellow square : Blue circle .

A continuación demostraremos que Blue circle tiene mayor proporción a Yellow square , la menor que esta tiene a Black triangle Red square , la mayor;
o, Blue circle : Yellow square > Blue circle : Black triangle Red square .

Toma m′ Blue circle , M′ Yellow square , m′ Blue circle , y M′ Black triangle Red square ,
lo mismo como en el primer caso, de modo que
M′ Black triangle y M′ Red square serán cada uno > Blue circle , y m′ Blue circle el múltiplo menor de Blue circle , que primero se convierte en mayor que M′ Red square = M′ Yellow square .

m′ Blue circle menos Blue circle no es > M′ Red square ,
y Blue circle no es > M′ Black triangle ; por consiguiente
m′ Blue circle menos Blue circle + Blue circle es < M′ Red square + M′ Black triangle ;
m′ Blue circle is < M′ Black triangle Red square , y por la séptima definición,
Blue circle tiene a Yellow square mayor proporción que Blue circle tiene a Black triangle Red square .

De magnitudes desiguales, etcétera.

La inventiva empleada en esta proposición para encontrar entre los múltiplos tomados, como en la quinta definición, un múltiplo del primero mayor que el múltiplo del segundo, pero el mismo múltiplo del tercero que se ha tomado del primero, no mayor que el El mismo múltiplo del cuarto que se ha tomado del segundo, puede ilustrarse numéricamente de la siguiente manera:—

El número 9 tiene mayor proporción a 7 que 8 tiene a 7: es decir, 9 : 7 > 8 : 7; o, 8 + 1 : 7 > 8 : 7.

El múltiplo de 1, que primero se convierte en mayor que 7, es 8 veces, por lo tanto, podemos multiplicar el primero y el tercero por 8, 9, 10 o cualquier otro número mayor; en este caso, multipliquemos el primero y el tercero por 8, y tenemos 64 + 8 y 64: nuevamente, el primer múltiplo de 7 que llega a ser mayor que 64 es 10 veces; luego, al multiplicar el segundo y el cuarto por 10, tendremos 70 y 70; entonces, arreglando los múltiplos, tenemos—

64 + 8

70

64

70

Consecuentemente, 64 + 8, o 72, es mayor que 70, pero 64 no es mayor que 70, por la séptima definición, 9 tiene mayor proporción a 7 que 8 tiene a 7.

Lo anterior es meramente ilustrativo de la demostración anterior, ya que esta propiedad podría mostrarse de estos u otros números muy fácilmente de la siguiente manera; porque si un antecedente contiene este consecuente un mayor número de veces que otro antecedente contiene su consecuente, o cuando se forma una fracción de un antecedente para el numerador, y su consecuente para el denominador será mayor que otra fracción que se forma de otro antecedente para el numerador y su consecuente para el denominador, la razón del primer antecedente a su consecuente es mayor que la razón del último antecedente a su consecuente.

Por lo tanto, el número 9 tiene una relación mayor a 7, que 8 tiene a 7, ya que 9 / 7 es mayor que 8 / 7 .

Nuevamente, 17 : 19 es una razón mayor que 13 : 15, porque 17 / 19 = 17 × 15 / 19 × 15 = 255 / 285 , y 13 / 15 = 13 × 19 / 15 × 19 = 247 / 285 , por lo tanto, es evidente que 255 / 285 es mayor que 247 / 285 , 17 / 19 es mayor que 13 / 15 , y de acuerdo con lo que se muestra arriba, 17 tiene a 19 una razón mayor que 13 tiene a 15.

De modo que los términos generales sobre los cuales existe una razón mayor, igual o menor son los siguientes:—

Si A / B es mayor que C / D , se dice que A tiene a B una razón mayor que C tiene a D; si A / B es igual a C / D , entonces A tiene la misma razón que C tiene a D; y si A / B es menor que C / D , se dice que A tiene a B una razón menor que C tiene a D.

El alumno debe comprender perfectamente todo hasta esta proposición antes de continuar, para comprender completamente las siguientes proposiciones de este libro. Por lo tanto, recomendamos encarecidamente que el alumno comience de nuevo, y lea esto lentamente, y razone cuidadosamente en cada paso, a medida que avanza, especialmente evitando el sistema perjudicial de depender totalmente de la memoria. Siguiendo estas instrucciones, encontrará que las partes que generalmente presentan dificultades considerables no presentarán dificultades en el procesamiento del estudio de este importante libro.

Proposición IX. Teorema.

Las magnitudes que tienen la misma razón con la misma magnitud son iguales entre sí; y aquellas para las que la misma magnitud tiene la misma razón son iguales entre sí.

Sea Blue diamond : Yellow square :: Red circle : Yellow square , entonces Blue diamond = Red circle .

Porque, si no es Blue diamond > Red circle , entonces
Blue diamond : Yellow square > Red circle : Yellow square (L. 5. pr. 8),
lo cual es absurdo según la hipótesis.
Blue diamond no es > Red circle .

De la misma manera se puede demostrar que
Red circle no es > Blue diamond ,
Blue diamond = Red circle .

Nuevamente, sea Yellow square : Blue diamond :: Yellow square : Red circle , entonces Blue diamond = Red circle .

Ya que (invert.) Blue diamond : Yellow square :: Red circle : Yellow square ,
por lo tanto, por el primer caso, Blue diamond = Red circle .

Las magnitudes que tienen la misma razón, etcétera.

Sea A : B = A : C, entonces B = C, ya que como la fracción A / B = la fracción A / C , y el numerador de una es igual al numerador de la otra, por lo tanto, el denominador de estas fracciones es igual, es decir B = C.

Nuevamente, si B : A = C : A, B = C. Ya que, como B / A = C / A , B debe ser = C.

Proposición X. Teorema.

Esa magnitud que tiene una razón mayor que otra tiene a la misma magnitud, es la mayor de las dos; y esa magnitud a la que la misma tiene una razón mayor, que esta tiene a otra magnitud, es la menor de las dos.

Sea Blue home : Yellow square > Red circle : Yellow square , entonces Blue home > Red circle .

Ya que si no es Blue home = o < Red circle ;
entonces, Blue home : Yellow square = Red circle : Yellow square (L. 5. pr. 7) or
Blue home : Yellow square : < Red circle : Yellow square (L. 5. pr. 8) y (invert.),
lo cual es absurdo según la hipótesis.

Blue home no es = o < Red circle , y
Blue home debe ser > Red circle .

Nuevamente, sea Yellow square : Red circle > Yellow square : Blue home ,
entonces, Red circle < Blue home .

Porque si no, Red circle debe ser > o = Blue home ,
entonce Yellow square : Red circle < Yellow square : Blue home (L. 5. pr. 8) t (invert.);
o Yellow square : Red circle = Yellow square : Blue home (L. 5. pr. 7), lo que es absurdo (hip.);
Red circle no es > o = Blue home ,
y Red circle debe ser < Blue home .

Esa magnitud que tiene, etcétera.

Proposición XI. Teorema.

Razones que son lo mismo a la misma razón, son iguales entre sí.

Sea Blue diamond : Blue square = Red circle : Yellow home y Red circle : Yellow home = Black triangle : Black circle ,
entonces Blue diamond : Blue square = Black triangle : Black circle .

Ya que M Blue diamond >, =, o < m Blue square ,
entonces M Red circle >, =, o < m Yellow home ,
y si M Red circle >, =, or < m Yellow home ,
entonces M Black triangle >, =, o < m Black circle , (L. 5. def. 5);
si M Blue diamond >, =, o < m Blue square , M Black triangle >, =, o < m Black circle ,
y (L. 5. def. 5) Blue diamond : Blue square = Black triangle : Black circle .

Razones que son lo mismo, etcétera.

Proposición XII. Teorema.

Si cualquier número de magnitudes es proporcional como uno de los antecedentes es a su consecuente, entonces todos los antecedentes tomados juntos serán a todos los consecuentes.

Sea Red square : Red circle = Black dome : Black drop = Yellow diamond : Yellow home = Blue circle : Blue triangle = Black triangle : Black circle ;
entonces Red square : Red circle =
Red square + Black dome + Yellow diamond + Blue circle + Black triangle : Red circle + Black drop + Yellow home + Blue triangle + Black circle .

Por si M Red square > m Red circle , entonces M Black dome > m Black drop ,
y M Yellow diamond > m Yellow home M Blue circle > m Blue triangle ,
también M Black triangle > m Black circle . (L. 5. def. 5.)

Por lo tanto M Red square + M Black dome + M Yellow diamond + M Blue circle + M Black triangle ,
o M ( Red square + Black dome + Yellow diamond + Blue circle + Black triangle ) es mayor
que m Red circle + m Black drop + m Yellow home + m Blue triangle + m Black circle ,
o m ( Red circle + Black drop + Yellow home + Blue triangle + Black circle ).

De la misma manera se puede mostrar, si M veces uno de los antecedentes es igual o menor que m veces uno de los consecuentes, M veces todos los antecedentes tomados en conjunto, será igual o menor que m veces todos los consecuentes tomados juntos. Por lo tanto, según la quinta definición, como uno de los antecedentes es su consecuente, también lo son todos los antecedentes tomados en conjunto con todos los consecuentes tomados juntos.

Si cualquier número de magnitudes, etcétera.

Proposición XIII. Teorema.

Si la primera tiene a la segunda la misma razón que la tercera a la cuarta, pero la tercera a la cuarta tiene una razón mayor que la quinta a la sexta; la primera también tendrá a la segunda una razón mayor que la quinta a la sexta.

Sea Blue home : Blue dome = Red square : Yellow diamond , pero Red square : Yellow diamond > Black drop : Black circle ,
entonces Blue home : Blue dome > Black drop : Black circle .

Porque Red square : Yellow diamond > Black drop : Black circle , hay algunos múltiplos (M′ y m′) de Red square y Black drop , y de Yellow diamond y Black circle , tal que M′ Red square > m′ Yellow diamond ,
pero M′ Black drop no es > m′ Black circle , según la séptima definición.

Deja que se tomen estos múltiplos y toma los mismos múltiplos Blue home y Blue dome .

(L. 5. def. 5.) si M′ Blue home >, =, o < m′ Blue dome ;
entonces M′ Red square >, =, < m′ Yellow diamond ,
pero M′ Red square > m′ Yellow diamond (construcción);

M′ Blue home > m′ Blue dome ,
pero M′ Black drop no es > m′ Black circle (conſtruction);
y por lo tanto según la séptima definición,
Blue home : Blue dome > Black drop : Black circle .

Si la primera tiene a la segunda, etcétera.

Proposición XIV. Teorema.

Si la primera tiene la misma razón con la segunda que la tercera con la cuarta; entonces, si la primera es mayor que la tercera, la segundo será mayor que la cuarta; y si es igual, igual; y si es menor, menor.

Sea Red home : Black dome :: Yellow square : Blue diamond , primero supongamos
Red home > Yellow square , entonces Black dome > Blue diamond .

Ya que Red home : Black dome > Yellow square : Black dome (L. 5. pr. 8), por la
hipótesis, Red home : Black dome = Yellow square : Blue diamond ;
Yellow square : Blue diamond > Yellow square : Black dome (L. 5. pr. 13),
Blue diamond < Black dome (L. 5. pr. 10.), or Black dome > Blue diamond .

En segundo lugar, sea Red home = Yellow square , entonces Black dome = Blue diamond .

Ya que Red home : Black dome = Yellow square : Black dome (L. 5. pr. 7),
y Red home : Black dome = Yellow square : Blue diamond (hip.);
Yellow square : Black dome = Yellow square : Blue diamond (L. 5. pr. 11),
y Black dome = Blue diamond (L. 5, pr. 9).

En tercer lugar Red home < Yellow square , entonces Black dome < Blue diamond ;
porque Yellow square > Red home y Yellow square : Blue diamond = Red home : Black dome ;
Blue diamond > Black dome , por el primer caso,
es decir, Black dome < Blue diamond .

Si la primera tiene la misma razón, etcétera.

Proposición XV. Teorema.

Las magnitudes tienen la misma relación entre sí que sus múltiplos iguales tienen.

Sean Red circle y Yellow square dos magnitudes;
entonces Red circle : Yellow square :: M′ Red circle : M′ Yellow square .

Ya que Red circle : Yellow square = Red circle : Yellow square = Red circle : Yellow square = Red circle : Yellow square

Red circle : Yellow square :: 4 Red circle : 4 Yellow square . (L. 5. pr. 12).

Un mismo razonamiento es generalmente aplicable, tenemos

Red circle : Yellow square :: M′ Red circle : M′ Yellow square .

Las magnitudes tienen la misma relación, etcétera.

Definición XIII.

El término técnico permutando o alternando, por permutación o alternancia, se usa cuando hay cuatro proporcionales, y se infiere que la primera tiene la misma razón con la tercera que la segunda con la cuarta; o que la primera es para la tercera como la segunda para la cuarta: como se muestra en la siguiente proposición:—

Sea Yellow circle : Black diamond :: Red home : Blue square ,
por “permutando” or “alternando” es
inferido Yellow circle : Red home :: Black diamond : Blue square .

Puede ser necesario aquí señalar que las magnitudes Yellow circle , Black diamond , Red home , Blue square , deben ser homogéneas, es decir, de la misma naturaleza o similitud de tipo; Por lo tanto, en tales casos, debemos comparar líneas con líneas, superficies con superficies, sólidos con sólidos, etc. Así, el alumno percibirá fácilmente que una línea y una superficie, una superficie y un sólido, u otras magnitudes heterogéneas, nunca pueden ubicarse en la relación de antecedente y consecuente.

Proposición XVI. Teorema.

Si cuatro magnitudes del mismo tipo son proporcionales, también son proporcionales cuando se toman alternativamente.

Sea Red home : Black dome :: Yellow square : Blue diamond , entonces Red home : Yellow square :: Black dome : Blue diamond .

Ya que M Red home : M Black dome :: Red home : Black dome (L. 5. pr. 15),
y M Red home : M Black dome :: Yellow square : Blue diamond (hip.) y (L. 5. pr. 11);
también m Yellow square : m Blue diamond :: Yellow square : Blue diamond (L. 5. pr. 15);
M Red home : M Black dome :: m Yellow square : m Blue diamond (L. 5. pr. 14),
y si M Red home >, =, or < m Yellow square ,
entonces M Black dome >, =, o < m Blue diamond (L. 5. pr. 14);
por lo tanto por la quinta definición,
Red home : Yellow square :: Black dome : Blue diamond .

Si cuatro magnitudes del mismo tipo, etcétera.

Definición XVI.

Dividendo, por división, cuando hay cuatro proporcionales, y se infiere, que el excedente de la primera sobre la segunda es para la segunda, como el excedente de la tercera sobre la cuarta, es para la cuarta.

Sea A : B :: C : D;
por “dividendo” es inferido
A menos B : B :: C menos D : D.

De acuerdo con lo anterior, se supone que, A es mayor que B, y C mayor que D; si este no es el caso, pero para tener B mayor que A, y D mayor que C, B y D pueden hacerse pasar por antecedentes, y A y C como consecuentes, por “inversión”

B : A :: D : C;
entonces, por “dividendo,” inferimos
B menos A : A :: D menos C : C.

Proposición XVII. Teorema.

Si las magnitudes, tomadas en conjunto, son proporcionales, también serán proporcionales cuando se toman por separado: es decir, si dos magnitudes juntas tienen para una de ellas la misma razón que las otras dos tienen para una de ellas, la restante de las primeras dos tendrá a la otra la misma razón que la restante de las dos últimas tiene a la otra de estas.

Sea Red home + Black dome : Black dome :: Yellow square + Blue diamond : Blue diamond ,
entonces Red home : Black dome :: Yellow square : Blue diamond .

Toma M Red home > m Black dome a cada una agrega M Black dome ,
entonces tenemos M Red home + M Black dome > m Black dome + M Black dome ,
o M ( Red home + Black dome ) > (m + M) Black dome :
pero porque Red home + Black dome : Black dome :: Yellow square + Blue diamond : Blue diamond (hip.),
y M ( Red home + Black dome ) > (m + M) Black dome ;
M ( Yellow square + Blue diamond ) > (m + M) Blue diamond (L. 5. def. 5);
M Yellow square + M Blue diamond > m Blue diamond + M Blue diamond ;
M Yellow square > m Blue diamond , tomando M Blue diamond de ambos lados:
es decir, cuando M Red home > m Black dome , entonces M Yellow square > m Blue diamond .

De la misma manera se puede demostrar que si
M Red home = or < m Black dome , entonces M Yellow square = or < m Blue diamond ;
y Red home : Black dome :: Yellow square : Blue diamond (L. 5. def. 5).

Si las magnitudes, tomadas en conjunto, etcétera.

Definición XV.

El término componendo, por composición, se usa cuando hay cuatro proporcionales; y se infiere que la primera junto con la segunda es a la segunda como la tercera junto con la cuarta es a la cuarta.

Sea A : B :: C : D;
entonces, por el término “componendo,” es inferido que
A + B : B :: C + D : D.

Por “inversiónB y D pueden convertirse en la primera y la tercera, A y C la segunda y la cuarta como

B : A :: D : C,
entonces, por “componendo,” inferimos que
B + A : A :: D + C : C.

Proposición XVIII. Teorema.

Si las magnitudes, tomadas por separado, son proporcionales, también deben ser proporcionales cuando se toman conjuntamente: es decir, si la primera es a la segunda como la tercera es a la cuarta, la primera y la segundo juntas serán a la segunda como la tercera y la cuarta juntas son a la cuarta.

Sea Red home : Black dome :: Yellow square : Blue diamond ,
entonces Red home + Black dome : Black dome :: Yellow square + Blue diamond : Blue diamond ;
porque si no, sea Red home + Black dome : Black dome :: Yellow square + Black circle : Black circle ,
suponiendo Black circle no es = Blue diamond ;
Red home : Black dome :: Yellow square : Black circle (L. 5. pr. 17);
pero Red home : Black dome :: Yellow square : Blue diamond (hip.);
Yellow square : Black circle :: Yellow square : Blue diamond (L. 5. pr. 11);
Black circle = Blue diamond (L. 5. pr. 9),
lo cual es contrario a la suposición;
Black circle no es desigual Blue diamond ;
es decir Black circle = Blue diamond ;
Red home + Black dome : Black dome :: Yellow square + Blue diamond : Blue diamond .

Si las magnitudes, tomadas por separado, etcétera.

Proposición XIX. Teorema.

Si una magnitud completa es para un todo, como una magnitud tomada de la primera, es a una magnitud tomada de la otra; el resto será para el resto, como el todo para el todo.

Sea Red home + Black dome : Blue square + Yellow diamond :: Red home : Blue square ,
entonces Black dome : Yellow diamond :: Red home + Black dome : Blue square + Yellow diamond ,

Ya que Red home + Black dome : Red home :: Blue square + Yellow diamond : Blue square (alter.),

Black dome : Red home :: Yellow diamond : Blue square (divid.),
de nuevo Black dome : Yellow diamond :: Red home : Blue square (alter.),
pero Red home + Black dome : Blue square + Yellow diamond :: Red home : Blue square (hip.);
por lo tanto Black dome : Yellow diamond :: Red home + Black dome : Blue square + Yellow diamond
(L. 5. pr. 11).

Si una magnitud completa es para un todo, etcétera.

Definición XVII.

El término “convertendo,” por conversión, es utilizado por los geómetras, cuando hay cuatro proporcionales, y se infiere que la primera es a su excedente sobre la segunda, como la tercera es a su excedente sobre sobre la cuarta. Ver la siguiente proposición:—

Proposición E. Teorema.

Si cuatro magnitudes son proporcionales, también son proporcionales por conversión: es decir, la primera es a su excedente sobre la segunda, como la tercera es a su excedente sobre sobre la cuarta.

Sea Blue circle Black drop : Black drop :: Red square Yellow diamond : Yellow diamond ,
entonces Blue circle Black drop : Blue circle :: Red square Yellow diamond : Red square ,

Porque Blue circle Black drop : Black drop : Red square Yellow diamond : Yellow diamond ;
por lo tanto Blue circle : Black drop :: Red square : Yellow diamond (divid.),

Black drop : Blue circle :: Yellow diamond : Red square (inver.),

Blue circle Black drop : Blue circle :: Red square Yellow diamond : Red square (compo.).

Si cuatro magnitudes, etcétera.

Definición XVIII.

“Ex æquali” (sc. distancia), or ex æquo de igualdad de distancia: cuando hay cualquier cantidad de magnitudes más de dos, y tantas otras, de manera que sean proporcionales cuando se toman dos y dos de cada rango, y se infiere que la primera es a la última del primer rango de magnitudes, como la primera es a la última de las otras: “de esto hay los dos tipos siguientes, que surgen del diferente orden en que se toman las magnitudes, dos y dos.”

Definición XIX.

“Ex æquali,” de la igualdad. Este término se usa simplemente por sí mismo, cuando la primera magnitud es a la segunda del primer rango, como la primera a la segunda del otro rango; y como la segunda es a la tercera del primer rango, así la segunda a la tercera del otro; y así sucesivamente en orden: y la inferencia es como se menciona en la definición anterior; donde esto se llama proposición ordenada. Se demuestra en el Libro 5, pr. 22.

Por lo tanto, si hay dos rangos de magnitudes,

A, B, C, D, E, F, el primer rango,
y L, M, N, O, P, Q, el segundo,
tal que A : B :: L : M, B : C :: M : N,
C : D :: N : O, D : E :: O : P, E : F :: P : Q;
inferimos por el término “ex æquali” que
A : F :: L : Q.

Definición XX.

“Ex æquali in proporione perturbatâ ſeu inordinatâ,” de la igualdad en perturbación, o proporción desordenada. Este término se usa cuando la primera magnitud es a la segunda del primer rango como la penúltima es a la última del segundo rango; y como la segunda es a la tercera del primer rango, así la antepenúltima es a la penúltima del segundo rango; y como la tercer es a la cuarta del primer rango, así la ante antepenúltima es a la antepenúltima del segundo rango; y así sucesivamente en orden cruzado: y la inferencia está en la décimo octava definición. Se demuestra en L. 5. pr. 23.

Por lo tanto, si hay dos rangos de magnitudes,

A, B, C, D, E, F, el primer rango,
y L, M, N, O, P, Q, el segundo,
tal que A : B :: P : Q, B : C :: O : P,
C : D :: N : O, D : E :: M : N, E : F :: L : M;
el término “ex æquali in proporione perturbatâ ſeu inordinatâ” infiere que
A : F :: L : Q.

Proposición XX. Teorema.

Si hay tres magnitudes, y otras tres, que, tomadas dos y dos, tienen la misma razón; entonces, si la primera es mayor que la tercera, la cuarto será mayor que la sexta; y si es igual, igual; y si es menor, menor.

Sean Blue home , Red dome , Yellow square , las tres primeras magnitudes,
y Blue diamond , Red drop , Yellow circle , las otras tres,
tal que Blue home : Red dome :: Blue diamond : Red drop , y Red dome : Yellow square :: Red drop : Yellow circle .

En ese caso, si Blue home >, =, o < Yellow square , entonces Blue diamond >, =, o < Yellow circle .

De la hipótesis, por alternando, tenemos
Blue home : Blue diamond :: Red dome : Red drop ,
y Red dome : Red drop :: Yellow square : Yellow circle ;

Blue home : Blue diamond :: Yellow square : Yellow circle (L. 5. pr. 11);

si Blue home >, =, o < Yellow square , entonces Blue diamond >, =, o < Yellow circle (L. 5. pr. 14).

Si hay tres magnitudes, etcétera.

Proposición XXI. Teorema.

Si hay tres magnitudes, y las otras tres que tienen la misma razón, tomadas dos y dos, pero en un orden cruzado; entonces si la primera magnitud es mayor que la tercera, la cuarta será mayor que la sexta; y si es igual, igual; y si es menor, menor.

Sean Yellow home , Red home , Blue square , las tres primeras magnitudes,
y Blue diamond , Red drop , Yellow circle , las otras tres,
tal que Yellow home : Red home :: Red drop : Yellow circle , y Red home : Blue square :: Blue diamond : Red drop .

En ese caso, si Yellow home >, =, o < Blue square , entonces
Blue diamond >, =, o < Yellow circle .

En primer lugar, sea Yellow home > Blue square :
entonces, porque Red home es cualquier otra magnitud,
Yellow home : Red home > Blue square : Red home (L. 5. pr. 8);
pero Red drop : Yellow circle :: Yellow home : Red home (hip.);
Red drop : Yellow circle > Blue square : Red home (L. 5. pr. 13);
y porque Red home : Blue square :: Blue diamond : Red drop (hip.);
Blue square : Red home :: Red drop : Blue diamond (inv.),
y se mostró que Red drop : Yellow circle > Blue square : Red home ,
Red drop : Yellow circle > Red drop : Blue diamond (L. 5. pr. 13);
Yellow circle < Blue diamond ,
es decir Blue diamond > Yellow circle .

En segundo lugar, sea Yellow home = Blue square ; entonces Blue diamond = Yellow circle
Porque Yellow home = Blue square ,
Yellow home : Red home = Blue square : Red home (L. 5. pr. 7);
pero Yellow home : Red home = Red drop : Yellow circle (hip.),
y Blue square : Red home = Red drop : Blue diamond (hip. y inv.),
Red drop : Yellow circle = Red drop : Blue diamond (L. 5. pr. 11),
Blue diamond = Yellow circle (L. 5. pr. 9).

Después, sea Yellow home < Blue square , entonces Blue diamond será < Yellow circle ;
porque Blue square > Yellow home ,
y se mostró que Blue square : Red home = Red drop : Blue diamond ,
y Red home : Yellow home = Yellow circle : Red drop ;
por el primer caso Yellow circle es > Blue diamond ,
es decir, Blue diamond < Yellow circle .

Si hay tres magnitudes, etcétera.

Proposición XXII. Teorema.

Si hay cualquier cantidad de magnitudes, y tantas otras, que, tomadas de dos y dos en orden, tienen la misma razón; la primera tendrá para la última de las primeras magnitudes la misma proporción que la primera de las otras tiene para la última de esas mismas.

N.B.Esto suele citarse con las palabras “ex æquali,” o “ex æquo.”

En primer lugar, sean las magnitudes Red home , Blue diamond , Yellow square ,
y como muchas otras Red diamond , Blue drop , Yellow circle ,
tal que
Red home : Blue diamond :: Red diamond : Blue drop ,
y Blue diamond : Yellow square :: Blue drop : Yellow circle ;
entonces deberá Red home : Yellow square :: Red diamond : Yellow circle .

Deje que estas magnitudes, así como cualquier múltiplo igual, cualesquiera que sean los antecedentes y los consecuentes de las razones, mantenerse como sigue:—

Red home , Blue diamond , Yellow square , Red diamond , Blue drop , Yellow circle ,
y
M Red home , m Blue diamond , N Yellow square , M Red diamond , m Blue drop , N Yellow circle ,
porque Red home : Blue diamond :: Red diamond : Blue drop ;
M Red home : m Blue diamond :: M Red diamond : m Blue drop (L. 5. p. 4).

Por la misma razón
m Blue diamond : N Yellow square :: m Blue drop : N Yellow circle ;
y porque hay tres magnitudes,
M Red home , m Blue diamond , N Yellow square ,
y otras tres M Red diamond , m Blue drop , N Yellow circle ,
que, tomadas dos y dos, tienen la misma razón;

if M Red home >, =, < N Yellow square
entonces M Red diamond >, =, < N Yellow circle , por (L. 5. pr. 20);
y Red home : Yellow square :: Red diamond : Yellow circle (def. 5).

Después, sean cuatro magnitudes, Blue home , Black diamond , Yellow square , Red diamond ,
y otras cuatro Blue drop , Black circle , Yellow rectangle , Red triangle ,
que, tomadas dos y dos, tienen la misma razón,
es decir, Blue home : Black diamond :: Blue drop : Black circle ,
Black diamond : Yellow square :: Black circle : Yellow rectangle ,
y Yellow square : Red diamond :: Yellow rectangle : Red triangle ,
entonces deberá Blue home : Red diamond :: Blue drop : Red triangle ;
porque Blue home , Black diamond , Yellow square , son tres magnitudes,
and Blue drop , Black circle , Yellow rectangle , otras tres,
que, tomadas dos y dos, tienen la misma razón;
por lo tanto, por el caso anterior, Blue home : Yellow square :: Blue drop : Yellow rectangle ,
pero Yellow square : Red diamond :: Yellow rectangle : Red triangle ;
por lo tanto, de nuevo, por el primer caso, Blue home : Red diamond :: Blue drop : Red triangle ;
y así sucesivamente, sea cual sea el número de magnitudes.

Si hay cualquier cantidad de magnitudes, etcétera.

Proposición XXIII. Teorema.

Si hay cualquier cantidad de magnitudes, y tantas otras, que, tomadas dos y dos en orden cruzado, tienen la misma razón; la primera tendrá a la última de las primeras magnitudes la misma proporción que la primera de las otras tendrá a la última de esas mismas.

N.B.Esto suele citarse con las palabras “ex æquali in proporione perturbatâ;” or “ex æquo perturbato.”

Primero, sean tres magnitudes Yellow home , Blue dome , Red square ,
y otras tres, Yellow diamond , Blue drop , Red circle ,
que, tomadas de dos en dos en orden cruzado, tienen las misma razón; es decir, Yellow home : Blue dome :: Blue drop : Red circle , y Blue dome : Red square :: Yellow diamond : Red circle , entonces deberá Yellow home : Red square :: Yellow diamond : Red circle .

Sean estas magnitudes y sus respectivos múltiplos iguales, ordenadas como sigue:—

Yellow home , Blue dome , Red square , Yellow diamond , Blue drop , Red circle ,
M Yellow home , M Blue dome , m Red square , M Yellow diamond , m Blue drop , m Red circle ,
entonces Yellow home : Blue dome :: M Yellow home : M Blue dome (L. 5. pr. 15);
y por la misma razón
Blue drop : Red circle :: m Blue drop : m Red circle ;
pero Yellow home : Blue dome :: Blue drop : Red circle (hip.),
M Yellow home : M Blue dome :: Blue drop : Red circle (L. 5. pr. 11);
y porque Blue dome : Red square :: Yellow diamond : Blue drop (hip.),
M Blue dome : m Red square :: M Yellow diamond : m Blue drop (L. 5. pr. 4);
entonces porque hay tres magnitudes,
M Yellow home , M Blue dome , m Red square ,
y otras tres, M Yellow diamond , m Blue drop , m Red circle ,
que tomadas de dos en dos en orden cruzado, tienen la misma razón;
por consiguiente, si M Yellow home >, =, o < m Red square ,
entonces M Yellow diamond >, =, o < m Red circle (L. 5. pr. 21),
y Yellow home : Red square :: Yellow diamond : Red circle (L. 5. def. 5).

Después, sean cuatro magnitudes,
Yellow home , Blue dome , Red square , Yellow diamond ,
y otras cuatro, Blue drop , Red circle , Black rectangle , Black triangle ,
que tomadas de dos en dos en orden cruzado, tienen la misma razón; a saber, Yellow home : Blue dome :: Black rectangle : Black triangle , Blue dome : Red square :: Red circle : Black rectangle , y Red square : Yellow diamond :: Blue drop : Red circle . entonces deberá Yellow home : Yellow diamond :: Blue drop : Black triangle . Porque Yellow home , Blue dome , Red square son tres magnitudes,
y Red square , Black rectangle , Black triangle , otras tres,
que tomadas de dos en dos en orden cruzado, tienen la misma razón,
entonces, por el primer caso, Yellow home : Red square :: Red square : Black triangle ,
pero Red square : Yellow diamond :: Blue drop : Red circle ,
por lo tanto, de nuevo, por el primer caso, Yellow home : Yellow diamond :: Blue drop : Black triangle ;
y así sucesivamente, sea cual sea el número de magnitudes.

Si hay cualquier cantidad de magnitudes, etcétera.

Proposición XXIV. Teorema.

Si la primero tiene a la segunda la misma razón que la tercera a la cuarta, y la quinta a la segunda la misma que la sexta a la cuarta, la primera y la quinta juntas tendrán a la segunda la misma proporción que la tercera y la sexta juntas a la cuarta.

Red home
Black dome
Blue square
Yellow diamond
Red drop
Blue circle

Sea Red home : Black dome :: Blue square : Yellow diamond , y Red drop : Black dome :: Blue circle : Yellow diamond , entonces Red home + Red drop : Black dome :: Blue square + Blue circle : Yellow diamond .

Red drop : Black dome :: Blue circle : Yellow diamond (hip.),
and Black dome : Red home :: Yellow diamond : Blue square (hip.) y (invert.),

Red drop : Red home :: Blue circle : Blue square (L. 5. pr. 22);
y, debido a que estas magnitudes son proporcionales, son proporcionales cuando se toman conjuntamente,

Red home + Red drop : Red drop :: Blue circle + Blue square : Blue circle (L. 5. pr. 18),
pero Red drop : Black dome :: Blue circle : Yellow diamond (hip.),

Red home + Red drop : Black dome :: Blue circle + Blue square : Yellow diamond (L. 5. pr. 22).

Si la primera, etcétera.

Proposición XXV. Teorema.

Si cuatro magnitudes del mismo tipo son proporcionales, la mayor y menor de ellas juntas son mayores que las otras dos juntas.

Sean cuatro magnitudes Red home + Black dome , Blue square + Yellow diamond , Black dome , y Yellow diamond ,
del mismo tipo, son proporcionales, es decir,

Red home + Black dome : Blue square + Yellow diamond :: Black dome : Yellow diamond ,
y sea Red home + Black dome la mayor de las cuatro, y
consecuentemente por pr. A and 14 del Libro 5, Yellow diamond es la menor;
entonces Red home + Black dome + Yellow diamond será > Blue square + Yellow diamond + Black dome ;
porque Red home + Black dome : Blue square + Yellow diamond :: Black dome : Yellow diamond ,

Red home : Blue square :: Red home + Black dome : Blue square + Yellow diamond (L. 5. pr. 19),
pero Red home + Black dome > Blue square + Yellow diamond (hip.),

Red home > Blue square (L. 5. pr. A);
a cada uno de estos agregar Black dome + Yellow diamond ,
Red home + Black dome + Yellow diamond > Blue square + Black dome + Yellow diamond .

Si cuatro magnitudes, etcétera.

Definición X.

Cuando tres magnitudes son proporcionales, se dice que la primera tiene a la tercera la razón duplicada de la que tiene a la segunda.

Por ejemplo, si A, B, C, son proporciones continuas, es decir A : B :: B : C, se dice que A tiene a C la razón duplicada de A : B;

o A / C = el cuadrado de A / B .

Esta propiedad se verá más fácilmente de las cantidades

ar2, ar, a, para ar2 : ar :: ar : a;

y ar2 / a = r2 = el cuadrado de ar2 / ar = r,

o de a, ar, ar2;

para a / ar2 = 1 / r2 = el cuadrado de a / ar = 1 / r .

Definición XI.

Cuando cuatro magnitudes son proporciones continuas, se dice que la primera tiene a la cuarto una razón triplicada de la que tiene a la segunda; y así sucesivamente, cuadruplicada, etcétera. aumentando la denominación aún por unidad, en cualquier número de proporciones.

Por ejemplo, sean A, B, C, D, cuatro proporciones continuas, es decir, A : B :: B : C :: C : D; A se dice que tiene a D, la razón triplicada de A a B;

o A / D = el cubo de A / B .

Esta definición se entenderá mejor y se aplicará a un mayor número de magnitudes que cuatro que son proporciones continuas, de la siguiente manera:—

Sean ar3, ar2, ar, a, cuatro magnitudes en proporción continua,
es decir ar3 : ar2 :: ar2 : ar :: ar : a,
entonces ar3 / a = r3 = el cubo de ar3 / ar3 = r.

O sean ar5, ar4, ar3, ar2, ar, a, seis magnitudes en proporción, es decir

ar5 : ar4 :: ar4 : ar3 :: ar3 : ar2 :: ar2 : ar :: ar : a,
entonces la razón ar5 / a = r5 a quinta potencia de ar5 / ar4 = r.

O sean a, ar, ar2, ar3, ar4, cinco magnitudes en proporción continua; entonces a / ar4 = 1 / r4 = la cuarta potencia de a / ar = 1 / r .

Definición A.

Para conocer una razón compuesta:—

Cuando hay cualquier cantidad de magnitudes del mismo tipo, se dice que la primera tiene a la última de ellas la razón compuesta de la razón que tiene la primera con la segunda, y la razón que tiene la segunda con la tercera, y la razón que tiene la tercera con la cuarta; y así sucesivamente, hasta la última magnitud.

A B C D
E F G H K L
M N

Por ejemplo, si A, B, C, D, son cuatro magnitudes del mismo tipo, se dice que la primera A tiene a la última D la razón compuesta de la razón de A a B, y de la razón de B a C, y de la razón de C a D; o, se dice que la relación de A a D se compone de las razones de A a B, B a C, y C a D.

Y si A tiene a B la misma razón que E tiene a F, y B a C la misma razón que G tiene a H, y C a D la misma que K tiene a L; entonces, según esta definición, se dice que A tiene a D la razón compuesta de razones que son las mismas que las razones de E a F, G a H, y K a L. Y lo mismo debe entenderse cuando es expresado brevemente diciendo, A tiene a D la razón compuesta de las razones de E a F, G a H, y K a L.

Del mismo modo, se suponen las mismas cosas; si M tiene a N la misma razón que A tiene a D, entonces, por razones de brevedad, se dice que M tiene a N la razón compuesta de las razones de E a F, G a H, y K a L.

Esta definición puede entenderse mejor a partir de una ilustración aritmética o algebraica; porque, de hecho, una razón compuesta de otras razones, no es más que una razón que tiene como su antecedente, el producto continuo de todos los antecedentes de las razones compuestas, y como su consecuente el producto continuo de todos los consecuentes de las razones compuestas.

Por lo tanto, la relación compuesta de las razones de
2 : 3, 4 : 7, 6 : 11, 2: 5,
es la razón de 2 × 4 × 6 × 2 : 3 × 7 × 11 × 5,
o la razón de 96 : 1155, o 32: 385.

Y de las magnitudes A, B, C, D, E, F, del mismo tipo, A : F es la razón compuesta de las razones de

A : B, B : C, C : D, D : E, E : F;
para A × B × C × D × E : B × C × D × E × F,
o A × B × C × D × E / B × C × D × E × F = A / F o la razón de A : F.

Proposición F. Teorema.