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Libro VI.

Definiciones.

Definición 1 figura

I.

Se dice que las figuras rectilíneas son similares, cuando tienen varios ángulos iguales, cada uno para cada uno, y los lados alrededor de los ángulos iguales son proporcionales.

II.

Se dice que dos lados de una figura son recíprocamente proporcionales a los dos lados de otra figura cuando uno de los lados del primero es al segundo, como el lado restante del segundo es al lado restante del primero.

III.

Se dice que una línea recta se corta en un extremo y razón media, cuando el todo es al segmento mayor, como el segmento mayor es al menor.

IV.

La altura de cualquier figura es la línea recta dibujada desde su vértice perpendicular a su base, o la base prolongada.

Definición 4 figura

Proposición I. Teorema.

Proposición 1 figura

Los triángulos y los paralelogramos que tienen la misma altura son el uno para el otro como sus bases.

Deja a los triángulos Red triangle y Blue triangle tener un vértice común, y sus bases, Blue line y Red line en la misma línea recta.

Prolonga Blue and red line en ambos sentidos, prolonga sucesivamente en Red line líneas iguales a ella; y en Blue line prolonga sucesivamente líneas iguales a ella; y dibuja líneas desde el vértice común hasta sus extremos.

Los triángulos Black and red triangles así formados son todos iguales entre sí, ya que sus bases son iguales (L. 1. pr. 38.)

Black and red triangles y su base son respectivamente
múltiplos iguales de Red triangle y la base Blue line.

De la misma manera Blue and yellow triangles y su base son respectivamente
múltiplos iguales de Blue triangle y la base Red line.

Si m o 6 veces Red triangle > = o < n o 5 veces Blue triangle entonces m o 6 veces Blue line > = < n o 5 veces Red line, m y n representan cada múltiplo tomado como en la quinta definición del Quinto Libro. Aunque solo hemos demostrado que esta propiedad existe cuando m es igual a 6 y n es igual a 5, es evidente que la propiedad es válida para cada valor múltiple que se le puede dar a m, y a n.

Red triangle : Blue triangle :: Blue line : Red line (L. 5. def 5.)

Los paralelogramos que tienen la misma altura son los dobles de triángulos, en sus bases, y son proporcionales a ellos (Parte 1), y por lo tanto sus dobles, los paralelogramos, son como sus bases. (L. 5. pr. 15.)

Q. E. D.

Proposición II. Teorema.

Proposición 2 figura

Si se dibuja una línea recta Black line paralela a cualquier lado Black dotted line de un triángulo, cortará los otros lados, o esos lados prolongados, en segmentos proporcionales.

Y si alguna línea recta Black line divide los lados de un triángulo o esos lados prolongados, en segmentos proporcionales, es paralela al lado restante Black dotted line.

Parte I.

Sea Black line Black dotted line, entonces
Yellow line : Red dotted line :: Yellow dotted line : Blue dotted line.

Dibuja Red line y Blue line,
y Black, red, and yellow triangle = Black, dotted yellow, and blue triangle (L. 1. pr. 37);
Black, red, and yellow triangle : Dotted blue, black, dotted red triangle :: Black, dotted yellow, and blue triangle : Dotted blue, black, dotted red triangle (L .5. pr. 7); pero
Black, red, and yellow triangle : Dotted blue, black, dotted red triangle :: Yellow line : Red dotted line (L. 6. pr. 1),
Yellow line : Red dotted line :: Yellow dotted line : Blue dotted line.
(L. 5. pr. 11).

Parte II.

Sea Yellow line : Red dotted line :: Yellow dotted line : Blue dotted line,
entonces Black line Black dotted line.

Deja que la misma construcción permanezca,
porque Yellow line : Red dotted line :: Black, red, and yellow triangle : Dotted blue, black, dotted red triangle y Yellow dotted line : Blue dotted line :: Black, dotted yellow, and blue triangle : Dotted blue, black, dotted red triangle } (L. 6. pr. 1)
pero Yellow line : Red dotted line :: Yellow dotted line : Blue dotted line (hip.),
Black, red, and yellow triangle : Dotted blue, black, dotted red triangle :: Black, dotted yellow, and blue triangle : Dotted blue, black, dotted red triangle (L. 5. pr. 11.)
Black, red, and yellow triangle = Black, dotted yellow, and blue triangle (L. 5. pr. 9);
pero están en la misma base Black dotted line, en el mismo lado de esta, y
Black line Black dotted line (L. 1. pr. 39).

Q. E. D.

Proposición III. Teorema.

Proposición 3 figura

Una línea recta (Blue line) que biseca el ángulo de un triángulo, divide el lado opuesto en segmentos (Black line, Black dotted line) proporcionales a los lados contiguos (Red line, Yellow line).

Y si una línea recta (Blue line) dibujada desde cualquier ángulo de un triángulo divide el lado opuesto ( Black and dotted black line ) en segmentos proporcionales (Black line, Black dotted line) a los lados contiguos (Red line, Yellow line), esta biseca el ángulo.

Parte I.

Dibuja Blue dotted line Blue line, para encontrarse Red dotted line;
entonces, Yellow angle = Blue angle (L. 1. pr. 29),
Black angle = Blue angle ; pero Black angle = Red angle , Red angle = Blue angle ,
Red dotted line = Yellow line (L. 1. pr. 6);
y porque Blue line Blue dotted line,
Red dotted line : Red line :: Black dotted line : Black line (L. 6. pr. 2)
pero Red dotted line = Yellow line;
Yellow line : Red line :: Black dotted line : Black line (L. 5. pr. 7).

Parte II.

Deja que la misma construcción permanezca,
y Red line : Red dotted line :: Black line : Black dotted line (L. 6. pr. 2);
pero Black line : Black dotted line :: Red line : Yellow line (hip.)
Red line : Red dotted line :: Red line : Yellow line (L. 5. pr. 11).
y Red dotted line = Yellow line (L. 5. pr. 9),
y Blue angle = Red angle (L. 5. pr. 5); pero ya que
Blue line Blue dotted line; Black angle = Red angle ,
y Yellow angle = Blue angle (L. 1. pr. 29);
Blue angle = Red angle , y Yellow angle = Black angle ,
y Blue line biseca Yellow and black angle .

Q. E. D.

Proposición IV. Teorema.

Proposición 4 figura

En los triángulos equiangulares ( Left triangle y Right triangle ) los lados alrededor de los ángulos iguales son proporcionales, y los lados opuestos a los ángulos iguales son homólogos.

Deje que los triángulos equiangulares se coloquen de manera que dos lados Black line , Black dotted line opuestos a ángulos iguales Red arc y Black arc puedan ser contiguos y estar en la misma línea recta; y que los triángulos que se encuentran en el mismo lado de esa línea recta, puedan tener ángulos iguales no contiguos,

por ejemplo Red angle opuesto a Yellow angle , y Blue angle a Black angle .

Dibuja Yellow dotted line y Yellow line. Entonces, porque
Blue angle = Black angle , Red line Yellow and dotted red line (L. 1. pr. 28);
y por una razón similar, Blue dotted line Blue and dotted yellow line ,
Parallelogram es un paralelogramo.
Pero Black line : Black dotted line :: Yellow line : Red dotted line (L. 6. pr. 2);
y ya que Yellow line = Red line (L. 1. pr. 34),
Black line : Black dotted line :: Red line : Red dotted line; y por
alternación, Black line : Red line :: Black dotted line : Red dotted line (L. 5. pr. 16).

De la misma manera, se puede mostrar que
Blue line : Blue dotted line :: Black line : Black dotted line;
y por alternación, que
Blue line : Black line:: Blue dotted line : Black dotted line;
pero ya se ha demostrado que
Black line : Red line :: Black dotted line : Red dotted line,
y por lo tanto, ex æquali,
Blue line : Red line :: Blue dotted line : Red dotted line
(L. 5. pr. 22),
por lo tanto, los lados alrededor de los ángulos iguales son proporcionales, y los que son opuestos a los ángulos iguales son homólogos.

Q. E. D.

Proposición V. Teorema.

Proposición 5 figura

Si dos triángulos tienen sus lados proporcionales (Blue dotted line : Black dotted line :: Blue line : Black line) y (Black dotted line : Red dotted line :: Black line : Red line) son equiangulares, y los ángulos iguales están subtendidos por los lados homólogos.

Desde los extremos de Black line, dibuja Yellow line y Yellow dotted line,
haciendo Left blue angle = Right blue angle , Left red angle = Right red angle (L. 1. pr. 23);
y consecuentemente Top black angle = Right yellow angle (L. 1. pr. 32),
y ya que los triángulos son equiangulares,
Red dotted line : Black dotted line :: Yellow line : Black line (L. 6. pr. 4);
pero Red dotted line : Black dotted line :: Red line : Black line (hip.);
Red line : Black line :: Yellow line : Black line,
y consecuentemente Red line = Yellow line (L. 5. pr. 9).

De la misma manera se puede demostrar que
Blue line = Yellow dotted line.

Por lo tanto, los dos triángulos teniendo una base común Black line, y sus lados iguales también tienen ángulos iguales opuestos a lados iguales, es decir

Left yellow angle = Left blue angle y Right yellow angle = Left red angle (L. 1. pr. 8).

Pero Left blue angle = Right blue angle (const.)
y Left yellow angle = Right blue angle ; por la misma
razón Right yellow angle = Right red angle , y
consecuentemente Top black angle = Right yellow angle (L. 1. 32);

y por lo tanto los triángulos son equiangulares, y es evidente que los lados homólogos subtienden los ángulos iguales.

Q. E. D.

Proposición VI. Theorem.

Proposición 6 figura

Si dos triángulos ( Right triangle y Top triangle ) tienen un ángulo ( Right red angle ) del uno, igual a un ángulo ( Red arc ) del otro, y los lados alrededor de los ángulos iguales son proporcionales, los triángulos serán equiangulares y tendrán los ángulos iguales que los lados homólogos subtienden.

Desde los extremos de Black line, uno de los lados
de Top triangle , sobre Red arc , dibuja
Yellow line y Yellow dotted line, haciendo
Left red angle = Right red angle , y Left blue angle = Right blue angle ; entonces Black angle = Yellow angle
(L. 1. pr. 32), y dos triángulos son equiangulares,
Blue dotted line : Black dotted line :: Yellow dotted line : Black line (L. 6. pr. 4);
Pero Blue dotted line : Black dotted line :: Blue line : Black line (hip.);
Yellow dotted line : Black line :: Blue line : Black line (L. 5. pr. 11),
y consecuentemente Yellow dotted line = Blue line (L. 5. pr. 9);
Top triangle = Bottom triangle en todos los aspectos.
(L. 1. pr. 4).

Pero Left blue angle = Right blue angle (const.),
y Blue arc = Right blue angle ; y
ya que también Red arc = Right red angle ,
Yellow arc = Yellow angle (L. 1. pr. 32);
y Right triangle y Top triangle son equiangulares con sus ángulos iguales opuestos a los lados homólogos.

Q. E. D.

Proposición VII. Teorema.

Proposición 7 figura

Si dos triángulos ( Left triangle y Right triangle ) tienen un ángulo en cada uno igual ( Yellow arc igual a Blue angle ), los lados alrededor de otros dos ángulos proporcionales (Red line : Yellow line :: Red dotted line : Yellow dotted line), y cada uno de los ángulos restantes ( Bottom red angle y Red arc ) sea menor o no menor que un ángulo recto, los triángulos son equiangulares y los ángulos son iguales sobre los cuales los lados son proporcionales.

Primero supongamos que los ángulos Bottom red angle y Red arc cada uno son menores que un ángulo recto: luego, si se supone
que Black angle and arc y Blue arc contenidos por los lados proporcionales
no son iguales, sea Black angle and arc y haz
Black arc = Blue arc .

Porque Blue angle = Yellow arc (hip.), y Black arc = Blue arc (const.)
Yellow angle = Red arc (L. 1. pr. 32);
Red line : Blue line :: Red dotted line : Yellow line (L. 6. pr. 4),
pero Red line : Yellow line :: Red dotted line : Yellow dotted line (hip.)
Red line : Blue line :: Red line : Yellow line;
Blue line = Yellow line (L. 5. pr. 9),
y Bottom red angle = Top red angle (L. 1. pr. 5).

Pero Bottom red angle es menor que un ángulo recto (hip.)
Top red angle es menor que un ángulo recto; y Yellow angle debe ser mayor que un ángulo recto (L. 1. pr. 13), pero ha sido demostrado = Red arc y por lo tanto es menor que un ángulo recto, lo que es absurdo. Black angle and arc y Blue arc no son desiguales;
son iguales, y ya que Blue angle = Yellow arc (hip.)

Bottom red angle = Red arc (L. 1. pr. 32), y por lo tanto los triángulos son equiangulares.

y por lo tanto los triángulos son equiangulares Bottom red angle y Red arc son cada uno no menor que un ángulo recto, se puede demostrar como antes que los triángulos son equiangulares y que los lados tienen ángulos iguales proporcionales. (L. 6. pr. 4).

Q. E. D.

Proposición VIII. Teorema.

Proposición 8 figura

En un triángulo rectángulo ( Yellow and red triangle ), si una perpendicular (Black line) es dibujada desde el ángulo recto hasta el lado opuesto, los triángulos ( Yellow triangle y Red triangle ) en cada lado del mismo son similares a todo el triángulo y entre sí.

Porque Red and yellow angle = Blue angle (L. 1. ax. II), y
Black angle común a Yellow and red triangle y Yellow triangle ;
Blue arc = Red angle (L. 1. pr. 32);

Yellow and red triangle y Yellow triangle son equiangulares y consecuentemente tienen sus lados alrededor de los ángulos iguales proporcionales (L. 6. pr. 4), y por lo tanto son similares (L. 6. def. 1).

De la misma manera, se puede demostrar que Red triangle es similar a
Yellow and red triangle ; pero Yellow triangle ha sido demostrado ser similar
a Yellow and red triangle ; Yellow triangle y Red triangle son
similares a todo el triángulo y entre sí.

Q. E. D.

Proposición IX. Problema.

Proposición 9 figura

Desde una línea recta dada ( Yellow and dotted yellow line ) para cortar cualquier parte requerida.

Desde cualquier extremo de la línea dada, dibuja Blue and dotted blue line formando cualquier ángulo con Yellow and dotted yellow line ; y prolonga Blue and dotted blue line hasta que toda la línea prolongada Blue, dotted blue, and dotted black line contenga Blue line tantas veces como Yellow and dotted yellow line contenga la parte requerida.

Dibuja Red line, y dibuja Red dotted line Red line.
Yellow line es la parte requerida de Yellow and dotted yellow line .

Ya que Red dotted line Red line
Yellow line : Yellow dotted line :: Blue line : Blue dotted line
(L. 6. pr. 2), y por composición (L. 5. pr. 18);
Yellow and dotted yellow line : Yellow line :: Blue and dotted blue line : Blue line;
pero Blue and dotted blue line contiene Blue line tantas veces
como Yellow and dotted yellow line contiene la parte requerida (const.);
es la parte requerida.

Q. E. D.

Proposición X. Problema.

Proposición 10 figura

Para dividir una línea recta ( Blue, red, and yellow line ) de manera similar a una línea dividida dada ( Thin blue, red, and yellow line ).

De cualquier extremo de la línea dada
Blue, red, and yellow line dibuja Dotted blue, red, and yellow line formando cualquier ángulo;
toma Blue dotted line, Red dotted line y Yellow dotted line
iguales a Blue line, Red line y Yellow line respectivamente (L. 1. pr. 2);
dibuja Black thin line, y dibuja Black dotted line and Black line a esta.

Ya que { Black thin line Black dotted line Black line } son
Yellow line : Red line :: Yellow dotted line : Red dotted line (L. 6. pr. 2),
o Yellow thin line : Red thin line :: Yellow line : Red line (const.),
y Red line : Blue line :: Red dotted line : Blue dotted line (L. 6. pr. 2),
Red thin line : Blue thin line :: Red line : Blue line (const.),
y la línea dada Blue, red, and yellow line se divide de manera similar a Thin blue, red, and yellow line .

Q. E. D.

Proposición XI. Problema.

Proposición 11 figura

Para encontrar una tercera proporcional a dos líneas rectas dadas (Black line y Blue line).

En cualquier extremo de la línea dada Black line
dibuja Dotted red and red line formando un ángulo;
toma Red dotted line = Blue line, y dibuja Yellow line;
haz Blue dotted line = Blue line,
y dibuja Yellow dotted line Yellow line; (L. 1. pr. 31.)
Red line es la tercera proporcional a Black line y Blue line.

Ya que Yellow line Yellow dotted line,
Black line : Blue dotted line :: Red dotted line : Red line (L. 6. pr. 2);
pero Blue dotted line = Red dotted line = Blue line (const.);
Black line : Blue line :: Blue line : Red line.

Q. E. D.

Proposición XII. Problema.

Proposición 12 figura

Para encontrar una cuarta proporcional a tres líneas rectas dadas { Dotted blue, red, and yellow lines } .

Dibuja Blue and red line
y Yellow and black line formando cualquier ángulo;
toma Blue line = Blue dotted line,
y Red line = Red dotted line,
también Yellow line = Yellow dotted line,
dibuja Black thin line,
y Black dotted line Black thin line; (L. 1. pr. 31);
Black line es la cuarta proporcional.

A causa de las paralelas,
Blue line : Red line :: Yellow line : Black line (L. 6. pr. 2);
pero { Dotted blue, red, and yellow lines } = { Blue, red and yellow lines } (const.);

Blue dotted line : Red dotted line :: Yellow dotted line : Black line. (L. 5. pr. 7).

Q. E. D.

Proposición XIII. Problema.

Proposición 13 figura

Para encontrar una media proporcional entre dos líneas rectas dadas { Dotted blue and red lines }.

Dibuja cualquier línea recta Blue and red line , haz Blue line = Blue dotted line,
y Red line = Red dotted line; biseca Blue and red line ;
y desde el punto de bisección como centro, y la mitad
de la línea como radio, traza un semicírculo Semicircle ,
dibuja Black line Blue line:
Black line es la media proporcional requerida.

Dibuja Yellow line y Yellow dotted line.

Ya que Angle es un ángulo recto (L. 3. pr. 31),
y Black line es desde el lado opuesto,
Black line es la media proporcional entre
Blue line y Red line (L. 6. pr. 8),
y entre Blue dotted line y Red dotted line (const.).

Q. E. D.

Proposición XIV. Teorema.

Proposición 14 figura

I.

Paralelogramos iguales Blue parallelogram y Yellow parallelogram , que tienen un ángulo en todo igual, tienen los lados alrededor de los ángulos iguales recíprocamente proporcionales (Red line : Black line :: Yellow line : Blue line)

II.

Y los paralelogramos que tienen un ángulo en todo igual, y los lados alrededor de ellos recíprocamente proporcionales, son iguales.

Deja que Red line y Black line; y Yellow line y Blue line, se coloquen de manera que Red and black line y Yellow and blue line puedan ser líneas rectas continuas. Es evidente que pueden asumir esta posición. (L. 1. prs. 13, 14, 15.)

Completa Red parallelogram .

Ya que Yellow parallelogram = Blue parallelogram ;

Yellow parallelogram : Red parallelogram :: Blue parallelogram : Red parallelogram (L. 5. pr. 7.)
Red line : Black line :: Yellow line : Blue line (L. 6. pr. 1.)

La misma construcción restante:
Red line : Black line :: { Yellow parallelogram : Red parallelogram (L. 6. pr. 1.) Yellow line : Blue line (hip.) Blue parallelogram : Red parallelogram (L. 6. pr. 1.)
Yellow parallelogram : Red parallelogram :: Blue parallelogram : Red parallelogram (L. 5. pr. 11.)
y Yellow parallelogram = Blue parallelogram (L. 5. pr. 9).

Q. E. D.

Proposición XV. Teorema.

Proposición 15 figura

I.

Triángulos iguales, que tienen un ángulo en todo igual ( Blue angle = Red angle ), tienen los lados alrededor de los ángulos iguales recíprocamente proporcionales (Blue line : Black line :: Red line : Yellow line).

II.

Y dos triángulos que tienen un ángulo de uno igual a un ángulo del otro, y los lados alrededor de los ángulos iguales recíprocamente proporcionales, son iguales.

I.

Deja que los triángulos se coloquen de manera que los ángulos iguales Blue angle y Red angle puedan ser verticalmente opuestos, es decir, que Blue line y Black line puedan estar en la misma línea recta. De donde también Red line y Yellow line deban estar en la misma línea recta (L. 1. pr. 14.)

Dibuja Black dotted line, entonces

Blue line : Black line :: Red triangle : Blue triangle (L. 6. pr. 1.) :: Yellow triangle : Blue triangle (L. 5. pr. 7.) :: Red line : Yellow line (L. 6. pr. 1.) Blue line : Black line :: Red line : Yellow line (L. 5. pr. 11.)

II.

Que permanezca la misma construcción, y
Red triangle : Blue triangle :: Blue line : Black line (L. 6. pr. 1.)
y Red line : Yellow line :: Yellow triangle : Blue triangle (L. 6. pr. 1.)

Pero Blue line : Black line :: Red line : Yellow line, (hip.)
Red triangle : Blue triangle :: Yellow triangle : Blue triangle (L. 5. pr. 11);
Red triangle = Yellow triangle (L. 5. pr. 9.)

Q. E. D.

Proposición XVI. Teorema.

Proposición 16 figura

Parte I.

Si cuatro líneas rectas son proporcionales (Yellow line : Blue line :: Red dotted line : Black dotted line), el rectángulo (Yellow line × Black dotted line) contenido por los extremos, es igual al rectángulo (Blue line × Red dotted line) contenido por los medios.

Parte II.

Y si el rectángulo contenido por los extremos es igual al rectángulo contenido por los medios, las cuatro líneas rectas son proporcionales.

Parte I.

Desde los extremos Yellow line y Blue line dibuja Black line y Red line a ellos e = Black dotted line y Red dotted line respectivamente, completa los paralelogramos:

Red rectangle y Yellow rectangle .

Y ya que, Yellow line : Blue line :: Red dotted line : Black dotted line (hip.) Yellow line : Blue line :: Red line : Black line (const.) Red rectangle = Yellow rectangle (L. 6. pr. 14),

es decir, el rectángulo contenido por los extremos es igual al rectángulo contenido por los medios.

Parte II.

Deja que la misma construcción permanezca; porque
Black dotted line = Black line, Red rectangle = Yellow rectangle
y Red line = Red dotted line,
Yellow line : Blue line :: Red line : Black line (L. 6. pr. 14).

Pero Red line = Red dotted line,
y Black line = Black dotted line (const.)
Yellow line : Blue line :: Red dotted line : Black dotted line (L. 5. pr. 7).

Q. E. D.

Proposición XVII. Teorema.

Proposición 17 figura

Parte I.

Si tres líneas rectas son proporcionales (Red line : Blue line :: Blue line : Black line) el cuadrado bajo los extremos es igual al cuadrado del medio.

Parte II.

Y si el rectángulo bajo de los extremos es igual al cuadrado del medio, las tres líneas rectas son proporcionales.

Parte I.

Supón que Yellow line = Blue line, y ya que Red line : Blue line :: Blue line : Black line, entonces Red line : Blue line :: Yellow line : Black line, Red line × Black line = Blue line × Yellow line
(L. 6. pr. 16).

Pero Yellow line = Blue line,
Blue line × Yellow line = Blue line × Blue line, or = Blue line2;
por lo tanto, si las tres líneas rectas son proporcionales, el rectángulo contenido por los extremos es igual al cuadrado del medio.

Parte II.

Supón que Yellow line = Blue line, entonces
Red line × Black line = Yellow line × Blue line.
Red line : Blue line :: Yellow line : Black line (L. 6. pr. 16), y
Red line : Blue line :: Blue line : Black line.

Q. E. D.

Proposición XVIII. Teorema.

Proposición 18 figura

En una línea recta dada (Black line) para construir una figura rectilínea similar a una dada ( Top rectilinear figure ) y colocada de manera similar.

Resuelve la figura dada en triángulos dibujando las líneas Red dotted line y Yellow dotted line.

En los extremos de Black line haz
Bottom blue angle = Top blue angle y Bottom red angle = Top red angle :
de nuevo en los extremos de Red line haz Top black and red angle = Bottom red and black angle
y Bottom black angle = Top black angle : de la misma manera haz
Bottom yellow angle = Top yellow angle y Bottom red and yellow angle = Top red and yellow angle .

Entonces Top rectilinear figure es similar a Top rectilinear figure .

Es evidente por la construcción y (L. 1. pr. 32) que las figuras son equiangulares; y ya que los triángulos
Top yellow triangle y Bottom yellow triangle son equiangulares, entonces por (L. 6. pr. 4),

Black line : Blue line :: Black dotted line : Blue thin line y Blue line : Red line :: Blue thin line : Red dotted line.

De nuevo, porque Top blue triangle y Bottom blue triangle son equiangulares,
Red line : Blue dotted line :: Red dotted line : Yellow line;
ex æquali,
Blue line : Blue dotted line :: Blue thin line : Yellow line (L. 6. pr. 22.)

De manera similar, se puede demostrar que los lados restantes de las dos figuras son proporcionales.

por (L. 6. def. 1.)
Top rectilinear figure es similar Top rectilinear figure
y situadas de manera similar, en la línea dada Black line.

Q. E. D.

Proposición XIX. Teorema.

Proposición 19 figura

Triángulos similares ( Yellow triangle y Red and blue triangle ) están el uno con el otro en la proporción duplicada de sus lados homólogos.

Sean Black angle y Red angle ángulos iguales, y Dotted black and black line y Blue line lados homólogos de los triángulos similares Yellow triangle y Red and blue triangle y en Dotted black and black line la mayor de estas líneas toma Black dotted line proporcional tal que

Dotted black and black line : Blue line :: Blue line : Black dotted line;
dibuja Yellow dotted line.

Dotted black and black line : Yellow line :: Blue line : Red line (L. 6. pr. 4);
Dotted black and black line : Blue line :: Yellow line : Red line (L. 5. pr. 16, alt.),
pero Dotted black and black line : Blue line :: Blue line : Black dotted line (const.),
Blue line : Black dotted line :: Yellow line : Red line
consecuentemente Yellow triangle = Blue triangle porque tienen los lados sobre
los ángulos iguales Black angle y Red angle recíprocamente proporcionales (L. 6. pr. 15);
Red and blue triangle : Yellow triangle :: Red and blue triangle : Blue triangle
pero Red and blue triangle : Blue triangle :: Dotted black and black line : Black dotted line (L. 6. pr. 1),
Red and blue triangle : Yellow triangle :: Dotted black and black line : Black dotted line,
es decir, los triángulos están entre sí en la proporción duplicada de sus lados homólogos
Blue line y Dotted black and black line (L. 5. def. 11).

Q. E. D.

Proposición XX. Teorema.

Proposición 20 figura

Los polígonos similares pueden dividirse en el mismo número de triángulos similares, cada par similar de los cuales es proporcional a los polígonos; y los polígonos están entre sí en la proporción duplicada de sus lados homólogos.

Dibuja Black line y Black dotted line, y Black thin line y Black thin dotted line, resolviendo los polígonos en triángulos. Entonces porque los polígonos son similares, Top black angle = Top black angle , y Blue line : Blue dotted line :: Red thin line : Red dotted line

Top yellow triangle y Bottom yellow triangle son similares, y Top red angle = Bottom red angle (L. 6. pr. 6);
pero Top blue and red angle = Bottom blue and red angle porque son ángulos de polígonos similares;
por lo tanto los restantes Top blue angle y Bottom blue angle son iguales;
por consiguiente Black dotted line : Blue dotted line :: Black thin dotted line : Red dotted line,
causa de los triángulos similares,
y Blue dotted line : Yellow line :: Red dotted line : Yellow line,
causa de los polígonos similares,
Black dotted line : Yellow line :: Black thin dotted line : Yellow line,
ex æquali (L. 5. pr. 22), y como estos lados proporcionales
contienen ángulos iguales, los triángulos Top red triangle y Bottom red triangle
son similares (L. 6. pr. 6).

De igual manera se puede demostrar que los
triángulos Bottom blue triangle y Top blue triangle son similares.

Pero Top yellow triangle es a Bottom yellow triangle en la proporción duplicada de
Black dotted line a Black thin dotted line (L. 6. pr. 19), y
Top red triangle es a Bottom red triangle en la misma manera, en la proporción duplicada
de Black dotted line a Black thin dotted line;
Top yellow triangle : Bottom yellow triangle :: Top red triangle : Bottom red triangle , (L. 5. pr. 11);

De nuevo Top red triangle es a Bottom red triangle en la proporción duplicada de
Black line a Black thin line, y Top blue triangle es a Bottom blue triangle en
la proporción duplicada de Black line a Black thin line,

Top yellow triangle : Bottom yellow triangle :: Top red triangle : Bottom red triangle :: Top blue triangle : Bottom blue triangle ;

y como uno de los antecedentes es a uno de los consecuentes, también lo es la suma de todos los antecedentes a la suma de todos los consecuentes; es decir, los triángulos similares tienen entre sí la misma relación como (L. 5. pr. 12).

Pero Top red triangle es a Bottom yellow triangle en la proporción duplicada de
Blue line a Red thin line;

Top polygon es a Bottom polygon en la proporción
duplicada de Blue line a Red thin line.

Q. E. D.

Proposición XXI. Teorema.

Proposición 21 figura

Figuras rectilíneas ( Red triangle y Blue triangle ) que son similares a la misma figura ( Yellow triangle ) son similares entre sí.

Ya que Red triangle y Yellow triangle son similares, son equiangulares, y tienen los lados sobre los ángulos iguales proporcionales (L. 6. def. 1); y ya que las figuras Blue triangle y Yellow triangle son también similares, son equiangulares, y tienen los lados sobre los ángulos iguales proporcionales; por lo tanto Red triangle y Blue triangle también son equiangulares y tienen los lados sobre los ángulos iguales proporcionales (L. 5. pr. 11), y por lo tanto similares.

Q. E. D.

Proposición XXII. Teorema.

Proposición 22 figura

Parte I.

Si cuatro líneas rectas son proporcionales (Black line : Blue line :: Red line : Yellow line), las figuras rectilíneas similares trazadas de manera similar en ellas también son proporcionales.

Parte II.

Y si cuatro figuras rectilíneas similares, trazadas de manera similar en cuatro líneas rectas, son proporcionales, las líneas rectas también son proporcionales.

Parte I.

Toma Blue dotted line una tercera proporcional a Black line
y Blue line, y Red dotted line una tercera proporcional
a Red line y Yellow line (L. 6. pr. 11); ya que Black line : Blue line :: Red line : Yellow line (hip.), Blue line : Blue dotted line :: Yellow line : Red dotted line (const.)

ex æquali,
Black line : Blue dotted line :: Red line : Red dotted line;
pero Yellow triangle : Red triangle :: Black line : Blue dotted line (L. 6. pr. 20),
y Blue polygon : Outlined polygon :: Red line : Red dotted line;
Yellow triangle : Red triangle :: Blue polygon : Outlined polygon (L. 5. pr. 11).

Parte II.

Deja que la misma construcción permanezca:

Yellow triangle : Red triangle :: Blue polygon : Outlined polygon (hip.),
Black line : Blue dotted line :: Red line : Red dotted line (const.)
y Black line : Blue line :: Red line : Yellow line. (L. 5. pr. 11).

Q. E. D.

Proposición XXIII. Teorema.

Proposición 23 figura

Los paralelogramos equiangulares ( Yellow parallelogram y Blue parallelogram ) están entre sí en una relación compuesta de las relaciones de sus lados.

Deje que dos de los lados Blue line y Yellow dotted line alrededor de los ángulos iguales se coloquen para que puedan formar una línea recta.

Ya que Red angle + Yellow angle = Two right angles ,
y Black angle = Red angle (hip.),
Black angle + Yellow angle = Two right angles ,
y Red line y Black line forman una línea recta (L. 1. pr. 14);
completan Red parallelogram .

Ya que Yellow parallelogram : Red parallelogram :: Blue line : Yellow dotted line (L. 6. pr. 1),
y Red parallelogram : Blue parallelogram :: Black line : Red line (L. 6. pr. 1),
Yellow parallelogram tiena a Blue parallelogram una proporción compuesta de las proporciones de
Blue line a Yellow dotted line, y de Black line a Red line.

Q. E. D.

Proposición XXIV. Teorema.

Proposición 24 figura

En cualquier paralelogramo ( Parallelogram ) los paralelogramos ( Red parallelogram y Blue parallelogram ) que están sobre la diagonal son similares al todo y entre sí.

Como Parallelogram y Blue parallelogram tienen un
ángulo común, son equiangulares;
pero porque Red line Blue and dotted blue line
Blue triangle y Blue, red, and yellow triangle son similares (L. 6. pr. 4),
Yellow line : Red line :: Yellow and dotted red line : Blue and dotted blue line ;
y los lados opuestos restantes son iguales a esos,
Blue parallelogram y Parallelogram tienen los lados sobre los ángulos
iguales proporcionales y son por lo tanto similares.

De la misma manera se puede demostrar que los
paralelogramos Parallelogram y Red parallelogram son similares.

Ya que, por lo tanto, cada uno de los paralelogramos
Blue parallelogram y Red parallelogram es similar a Parallelogram ,
son similares entre sí.

Q. E. D.

Proposición XXV. Problema.

Proposición 25 figura

Para trazar una figura rectilínea que será similar a una figura rectilínea dada ( Red triangle ), e igual a otra ( Polygon ).

Sobre Yellow line traza Blue rectangle = Red triangle ,
y sobre Red line traza Outlined rectangle and yellow angle = Polygon ,
y teniendo Yellow angle = Red angle (L. 1. pr. 45), y entonces
Yellow line y Black dotted line se ubicarán en la misma línea recta (L. 1. prs. 29, 14),

Entre Yellow line y Black dotted line encuentra una media proporcional
Blue line (L. 6. pr. 13), y sobre Blue line
traza Yellow triangle , similar a Red triangle , y colocado de manera similar.

Entonces Yellow triangle = Polygon .

Ya que Red triangle y Yellow triangle son similares, y
Yellow line : Blue line :: Blue line : Black dotted line (const.),
Red triangle : Yellow triangle :: Yellow line : Black dotted line (L. 6. pr. 20);
pero Blue rectangle : Outlined rectangle and yellow angle :: Yellow line : Black dotted line (L. 6. pr. 1);
Red triangle : Yellow triangle :: Blue rectangle : Outlined rectangle and yellow angle (L. 5. pr. 11);
pero Red triangle = Blue rectangle (const.),
y Yellow triangle = Outlined rectangle and yellow angle (L. 5. pr. 14);
y Outlined rectangle and yellow angle = Polygon (const.); consecuentemente,
Yellow triangle que es similar a Red triangle es también = Polygon .

Q. E. D.

Proposición XXVI. Teorema.

Proposición 26 figura

Si los paralelogramos similares y con una posición similar ( Red paralellogram y Gnomon ) tienen un ángulo común, entonces están sobre la misma diagonal.

Porque, si es posible, deja que Arc
sea la diagonal de Gnomon y
dibuja Yellow line Red line (L. 1. pr. 31).

Ya que Outlined paralellogram y Gnomon están sobre la misma
diagonal Arc , y tienen Angle común,
son similares (L. 6. pr. 24);

Red line : Blue line :: Red and dotted red line : Blue, dotted blue, and dotted black line ;
pero Red line : Blue and dotted blue line :: Red and dotted red line : Blue, dotted blue, and dotted black line (hip.),
Red line : Blue line :: Red line : Blue and dotted blue line ,
y Blue line = Blue and dotted blue line (L. 5. pr. 9.),
lo que es absurdo.

Arc no es la diagonal de Gnomon
de la misma manera se puede demostrar que ninguna otra
línea es excepto Double line .

Q. E. D.

Proposición XXVII. Teorema.

Proposición 27 figura

De todos los rectángulos contenidos por los segmentos de una línea recta dada, el mayor es el cuadrado que se traza en la mitad de la línea.

Sea Yellow, red, and blue line la línea dada, Yellow line y Red, and blue line segmentos desiguales, y Yellow and red line y Blue line segementos iguales;
entonces Red and blue square > Blue and yellow rectangle .

Ya se ha demostrado (L. 2. pr. 5), que el cuadrado de la mitad de la línea es igual al rectángulo contenido por cualquier segmento desigual junto con el cuadrado de la parte intermedia entre el punto medio y el punto de la sección desigual. El cuadrado trazado en la mitad de la línea excede, por lo tanto, el rectángulo contenido por cualquier segmento desigual de la línea.

Q. E. D.

Proposición XXVIII. Problema.

Proposición 28 figura

Para dividir una línea recta dada ( Dotted red, blue, and dotted blue line ) de modo que el rectángulo contenido por sus segmentos pueda ser igual a un área dada, sin exceder el cuadrado de la mitad de la línea.

Sea el área dada = Yellow dotted line2.

Biseca Dotted red, blue, and dotted blue line , o
haz Dotted red and blue line = Blue dotted line;
y si Dotted red and blue line 2 = Yellow dotted line2,
el problema está resuelto.

Pero si Dotted red and blue line 2 Yellow dotted line2, entonces
debe Dotted red and blue line > Yellow dotted line (hip.).

Dibuja Red line Dotted red and blue line = Yellow dotted line;
haz Red and dotted black line = Dotted red and blue line o Blue dotted line;
con Red and dotted black line como radio traza un círculo cortando
la línea dada; dibuja Yellow line.

Entonces Red dotted line × Blue and dotted blue line + Blue line2 = Dotted red and blue line 2
(L. 2. pr. 5.) = Yellow line2.

Pero Yellow line2 = Red line2 + Blue line2 (L. 1. pr. 47);
Red dotted line × Blue and dotted blue line + Blue line2
= Red line2 + Blue line2,
desde ambas, toma Blue line2,
y Red dotted line × Blue and dotted blue line = Red line2.

Pero Red line = Yellow line (const.),
y Dotted red, blue, and dotted blue line es dividida
tal que Red dotted line × Blue and dotted blue line = Yellow dotted line2.

Q. E. D.

Proposición XXIX. Problema.

Proposición 29 figura

Para prolongar una línea recta dada ( Blue and dotted blue line ), de modo que el rectángulo contenido por los segmentos entre los extremos de la línea dada y el punto en el que se prolonga, pueda ser igual a un área dada, es decir, igual al cuadrado en Black line.

Haz Blue line = Blue dotted line, y
dibuja Red dotted line Blue dotted line = Black line;
dibuja Red line; y
con el radio Red line, traza un círculo
uniendo Blue and dotted blue line prolongada.

Entonces Blue, dotted blue, and yellow line × Yellow line + Blue dotted line2 =
Dotted blue, and yellow line 2 (L. 2. pr. 6.) = Red line2.

Pero Red line2 = Red dotted line2 + Blue dotted line2 (L. 1. pr. 47.)

Blue, dotted blue, and yellow line × Yellow line + Blue dotted line2 =
Red dotted line2 + Blue dotted line2,
desde ambos toma Blue dotted line2,
y Blue, dotted blue, and yellow line × Yellow line = Red dotted line2;
pero Red dotted line = Black line,
Red dotted line2 = el área dada.

Q. E. D.

Proposición XXX. Problema.

Proposición 30 figura

Para cortar una determinada línea recta finita ( Red and dotted red line ) en un extremo y razón media.

En Red and dotted red line traza el cuadrado Yellow and blue square (L. 1. pr. 46);
y prolonga Blue line, de modo que
Blue and dotted blue line × Blue dotted line = Red and dotted red line 2 (L. 6. pr. 29);
toma Red line = Blue dotted line, y dibuja Black line Blue and dotted blue line , encontrando Yellow line Red and dotted red line (L. 1. pr. 31).

Entonces Yellow and outlined rectangles = Blue and dotted blue line × Blue dotted line,
y esto = Yellow and blue square ; y si de estos dos iguales
se toma la parte común Yellow rectangle ,
Outlined square , que es el cuadrado de Red line,
será = Blue rectangle , que es = Red and dotted red line × Red dotted line;
es decir Red line2 = Red and dotted red line × Red dotted line;
Red and dotted red line : Red line :: Red line : Red dotted line,
y Red and dotted red line es dividida en un extremo y razón media (L. 6. def. 3).

Q. E. D.

Proposición XXXI. Teorema.

Proposición 31 figura

Si alguna figura rectilínea similar se traza de manera similar en los lados de un triángulo rectángulo ( Triangle ), la figura trazada en el lado ( Dotted blue and blue line ) que subtiende el ángulo recto es igual a la suma de las figuras en los otros lados.

Desde el ángulo recto dibuja Black line perpendicular a Dotted blue and blue line ;
entonces Dotted blue and blue line : Red line :: Red line : Blue line (L. 6. pr. 8).

Red rectangle : Yellow rectangle :: Dotted blue and blue line : Blue line (L. 6. pr. 20).

pero Red rectangle : Blue rectangle :: Dotted blue and blue line : Blue dotted line (L. 6. pr. 20).

Por lo tanto Blue dotted line + Blue line : Dotted blue and blue line
:: Blue rectangle + Yellow rectangle : Red rectangle ;
pero Blue dotted line + Blue line = Dotted blue and blue line ;
y Blue rectangle + Yellow rectangle = Red rectangle .

Q. E. D.

Proposición XXXII. Teorema.

Proposición 32 figura

Si dos triángulos ( Left triangle y Right triangle ), tienen dos lados proporcionales (Blue line : Red line :: Blue dotted line : Red dotted line), y se colocan en un ángulo que los lados homólogos sean paralelos, los lados restantes (Yellow line y Yellow dotted line) forman una línea recta.

Ya que Blue line Blue dotted line,
Top yellow angle = Bottom yellow angle (L. 1. pr. 29);
y también ya que Red line Red dotted line,
Bottom yellow angle = Black angle (L. 1. pr. 29);
Top yellow angle = Black angle ; y ya que
Blue line : Red line :: Blue dotted line : Red dotted line (hip.),
los triángulos son equiangulares (L. 6. pr. 6);

Red angle = Outlined angle :
pero Top yellow angle = Bottom yellow angle ;

Blue angle + Bottom yellow angle + Outlined angle = Blue angle + Top yellow angle + Red angle =
Two right angles (L. 1. pr. 32), y Yellow line and Yellow dotted line
están en las misma línea recta (L. 1. pr. 14).

Q. E. D.

Proposición XXXIII. Teorema.

Proposición 33 figura
Proposición 33 figura

En círculos iguales (Red circle, Blue circle ), los ángulos, ya sea en el centro o la circunferencia, están en la misma proporción entre sí que los arcos en los que se encuentran ( Black angle : Black outlined angle :: Thin black arc : Yellow dotted arc ); y también lo son los sectores.

Toma en la circunferencia de Red circle cualquier número de arcos Thin red arc , Thin blue arc , etcétera, cada uno = Thin black arc , y también en la circunferencia de Blue circle cualquier número de arcos Red dotted arc , Blue dotted arc , etcétera, cada uno = Yellow dotted arc , dibuja el radio a los extremos de los arcos iguales.

Entonces ya que los arco Thin black arc , Thin red arc , Thin blue arc , etcétera, son todos iguales, los ángulos Black angle , Red angle , Blue angle , etcétera, son todos iguales (L. 3. pr. 27);

Black, red, and blue angle es el mismo múltiplo de Black angle que el arco Thin black, red, and blue arc es de Thin black arc ; y de la misma manera Black, red, and blue outlined angle es el mismo múltiplo de Black outlined angle , que el arco Yellow, red, and blue dotted arc es del arco Yellow dotted arc .

Entonces esto es evidente (L. 3. pr. 27),
si Black, red, and blue angle (o si m veces Black angle ) >, =, < Black, red, and blue outlined angle
(o n veces Black outlined angle )
entonces Thin black, red, and blue arc (o m veces Thin black arc ) >, =, >
Yellow, red, and blue dotted arc (o n veces Yellow dotted arc );

Black angle : Black outlined angle :: Thin black arc : Yellow dotted arc , (L. 5. def. 5), o los ángulos en el centro son como los arcos en los que se encuentran; pero los ángulos en la circunferencia son mitades de los ángulos en el centro (L. 3. pr. 20) están en la misma proporción (L. 5. pr. 15), y por lo tanto son como los arcos en los que se encuentran.

Es evidente que los sectores en círculos iguales y en arcos iguales son iguales (L. 1. pr. 4; L. 3. prs. 24, 27, y def. 9). Por lo tanto, si los sectores se sustituyen por los ángulos en la demostración anterior, la segunda parte de la proposición será establecida, es decir, en círculos iguales, los sectores tienen la misma relación entre sí que los arcos en los que se encuentran.

Q. E. D.

Proposición A. Teorema.

Proposición A figura

Si la línea recta (Red dotted line) que biseca un ángulo externo Black and blue angle del triángulo Triangle se encuentra con el lado opuesto (Blue line) prolongado, todo el lado prolongado ( Blue and dotted blue line ), y su segmento externo (Blue dotted line) será proporcional a los lados ( Black and dotted black line y Yellow line), que contienen el ángulo adyacente al ángulo bisecado externo.

Por si Red line es dibujada Red dotted line, entonces Blue angle = Outlined blue angle , (L. 1. pr. 29); = Black angle , (hip.), = Yellow angle , (L. 1. pr. 29); y Black dotted line = Yellow line, (L. 1. pr. 6),
y Black and dotted black line : Yellow line :: Black and dotted black line : Black dotted line,
(L. 5. pr. 7);
Pero también,
Blue and dotted blue line : Blue dotted line :: Black and dotted black line : Black dotted line.
(L. 6. pr. 2);
y por lo tanto
Blue and dotted blue line : Blue dotted line :: Black and dotted black line : Yellow line,
(L. 5. pr. 11).

Q. E. D.

Proposición B. Teorema.

Proposición B figura

Si un ángulo de un triángulo se divide por una línea recta, que también corta la base; El rectángulo contenido por los lados del triángulo es igual al rectángulo contenido por los segmentos de la base, junto con el cuadrado de la línea recta que divide el ángulo.

Sea Yellow line dibujada, haciendo Red angle = Blue angle ; entonces deberá
Blue line × Black line = Red dotted line × Red line + Yellow line2.

Sobre Blue, black, and red triangle traza Yellow circle (L. 4. pr. 5),
prolonga Yellow line para encontrar el círculo, y dibuja Blue dotted line.

Ya que Red angle = Blue angle (hip.),
y Yellow angle = Black angle (L. 3. pr. 21),
Blue, yellow, and red triangle y Yellow, black, and blue triangle son equiangulares (L. 1. pr. 32);
Blue line : Yellow line :: Dotted yellow and yellow line : Black line (L. 6. pr. 4);
Blue line × Black line = Yellow line × Yellow and dotted yellow line (L. 6. pr. 16)
= Yellow dotted line × Yellow line + Yellow line2 (L. 2. pr. 3);
pero Yellow dotted line × Yellow line = Red dotted line × Red line (L. 3. pr. 35);
Blue line × Black line = Red dotted line × Red line + Yellow line2.

Q. E. D.

Proposición C. Teorema.

Proposición C figura

Si desde cualquier ángulo de un triángulo se dibuja una línea recta perpendicular a la base; el rectángulo contenido por los lados del triángulo es igual al rectángulo contenido por la perpendicular y el diámetro del círculo trazado sobre el triángulo.

Desde Red angle de Blue, yellow, red, dotted red triangle
dibuja Yellow dotted line Dotted red and red line ; entonces
deberá Blue dotted line × Yellow line = Yellow dotted line × el
diámetro del círculo trazado.

Traza Red circle (L. 4. pr. 5), dibuja su diámetro
Blue line, y dibuja Black line; entonces porque
Blue angle = Blue outlined and yellow angle (const. y L. 3. pr. 31);
y Yellow outlined angle = Red outlined angle (L. 3. pr. 21);
Dotted blue, dotted yellow, and dotted red triangle es equiangular a Blue, yellow, and black triangle (L. 6. pr. 4);
Blue dotted line : Yellow dotted line :: Blue line : Yellow line;
y Blue dotted line × Yellow line = Yellow dotted line × Blue line (L. 6. pr. 16).

Q. E. D.

Proposición D. Teorema.

Proposición D figura

El rectángulo contenido por las diagonales de una figura cuadrilátera inscrita en un círculo, es igual a los dos rectángulos contenidos por lados opuestos.

Sea Quadrilateral cualquier figura cuadrilátera inscrita Red circle;
y dibuja Dotted red and red line y Blue line; entonces
Dotted red and red line × Blue line =
Black dotted line × Black line + Yellow line × Blue dotted line.

Haz Blue angle = Red angle (L. 1. pr. 23),
Blue and black angle = Red and black angle ; y Yellow angle = Blue outlined angle (L. 3. pr. 21);

Yellow line : Red line :: Blue line : Blue dotted line (L. 6. pr. 4);
y Red line × Blue line = Yellow line × Blue dotted line (L. 6. pr. 16); de nuevo,
porque Blue angle = Red angle (const.),
y Yellow outlined angle = Red outlined angle (L. 3. pr. 21);
Black dotted line : Red dotted line :: Blue line : Black line (L. 6. pr. 4);
y Red dotted line × Blue line = Black dotted line × Black line (L. 6. pr. 16);
pero, de antes,
Red line × Blue line = Yellow line × Blue dotted line;
Dotted red and red line × Blue line = Blue dotted line = Black dotted line × Black line + Yellow line × Blue dotted line (L. 2. pr. 1.)

Q. E. D.