Πήγαινε σε

Βιβλιο I.

Οροι.

I.

Σημείο είναι κάθε τι που δεν έχει μέρη (διαστάσεις).

II.

Γραμμή είναι αυτό που έχει μήκος χωρίς πλάτος.

III.

Τα άκρα (πέρατα) κάθε γραμμής είναι σημεία.

IV.

Ευθεία γραμμή είναι εκείνη η γραμμή, η οποία κείται εξίσου προς τα σημεία της.

V.

Επιφάνεια είναι κάθε τι που έχει μόνο μήκος και πλάτος.

VI.

Τα πέρατα μιας επιφάνειας είναι γραμμές.

VII.

Επίπεδη επιφάνεια είναι εκείνη η επιφάνεια, η οποία κείται εξίσου προς τις ευθείες της.

VIII.

Επίπεδη γωνία είναι η κλίση μεταξύ δύο ευθείων γραμμών του επιπέδου που τέμνονται χωρίς να αποτελούν ευθεία.

Definition 9 figure

IX.

Όταν δε οι ευθείες που περιέχουν μια γωνία αποτελούν ευθεία, η γωνία ονομάζεται ευθύγραμμη (ευθεία).

Definition 10 figure

X.

Όταν μια ευθεία τέμνει άλλη ευθεία και σχηματίζει τις εφεξής γωνίες ίσες, κάθε μια από τις ίσες γωνίες είναι ορθή και η τέμνουσα ονομάζεται κάθετος της ευθείας που τέμνει.

Definition 11 figure

XI.

Αμβλεία γωνία είναι η μεγαλύτερη της ορθής γωνίας.

Definition 12 figure

XII.

Οξεία γωνία είναι η μικρότερη της ορθής γωνίας

XIII.

Σύνορο (όριο) είναι ό,τι είναι πέρας κάποιου αντικειμένου.

XIV.

Σχήμα είναι ό,τι περιέχεται σε ένα ή περισσότερα σύνορα.

Definition 15 figure

XV.

Κύκλος (κυκλικός δίσκος) είναι το επίπεδο σχήμα το οποίο περιέχεται σε μια γραμμή που ονομάζεται περιφέρεια (κύκλος), της οποίας τα σημεία ισαπέχουν από ένα σημείο που βρίσκεται στο εσωτερικό του κύκλου.

XVI.

Το σημείο αυτό (από το οποίο άγονται τα ίσα ευθύγραμμα τμήματα) ονομάζεται κέντρο του κύκλου.

Definition 17 figure

XVII.

Διάμετρος κύκλου ονομάζεται το ευθύγραμμο τμήμα που διέρχεται από το κέντρο του κύκλου, τα άκρα του είναι σημεία του κύκλου και διαιρεί τον κύκλο σε δύο ίσα μέρη.

Definition 18 figure

XVIII.

Ημικύκλιο ονομάζεται το σχήμα που περιέχεται από τη γραμμή που αποτελείται από μια διάμετρο του κύκλου και από το αντίστοιχο στη διάμετρο τόξο. Κέντρο του ημικύκλιου είναι το κέντρο του κύκλου.

Definition 19 figure

XIX.

Κυκλικό τμήμα ονομάζεται το σχήμα που περιέχεται μεταξύ μίας ευθείας γραμμής (χορδή) και της περιφέρειας του κύκλου.

XX.

Ευθύγραμμα σχήματα είναι αυτά που περικλείονται από ευθύγραμμα τμήματα.

XXI.

Τρίγωνο ονομάζεται το ευθύγραμμο σχήμα που περικλείεται από τρεις γραμμές.

Definition 22 figure

XXII.

Τετράπλευρο ονομάζεται το ευθύγραμμο σχήμα που περικλείεται από τέσσερις γραμμές. Οι γραμμές Blue line και Red line που ενώνουν τις απέναντι κορυφές του ονομάζονται διαγώνιοι.

XXIII.

Πολύγωνο ονομάζεται το ευθύγραμμο σχήμα που περικλείεται από περισσότερες από τέσσερις γραμμές.

Definition 24 figure

XXIV.

Από τα τρίγωνα αυτό που έχει ίσες τις τρεις πλευρές ονομάζεται ισοπλευρο τριγωνο.

Definition 25 figure

XXV.

Τρίγωνο που έχει δύο μόνο πλευρές ίσες ονομάζεται ισοσκελές.

XXVI.

Τρίγωνο που έχει τρεις πλευρές άνισες ονομάζεται σκαληνό.

Definition 27 figure

XXVII.

Από τα τρίγωνα, ορθογώνιο τρίγωνο είναι αυτό που έχει μία γωνία ορθή.

Definition 28 figure

XXVIII.

Τρίγωνο που έχει μία γωνία αμβλεία ονομάζεται αμβλυγώνιο.

Definition 29 figure

XXIX.

Τρίγωνο που έχει τις γωνίες οξείες ονομάζεται οξυγώνιο.

Definition 30 figure

XXX.

Από τα τετράπλευρα σχήματα, τετράγωνα είναι εκείνα τα οποία είναι ισόπλευρα και ορθογώνια.

Definition 31 figure

XXXI.

Από τα τετράπλευρα σχήματα, ετερομήκη είναι εκείνα που είναι ορθογώνια αλλά όχι ισόπλευρα.

Definition 32 figure

XXXII.

Ρόμβοι είναι εκείνα τα τετράπλευρα σχήματα που είναι ισόπλευρα αλλά όχι ορθογώνια.

Definition 33 figure

XXXIII.

Ρομβοειδή είναι εκείνα τα τετράπλευρα σχήματα που δεν είναι ισόπλευρα ή ορθογώνια.

XXXIV.

Τα υπόλοιπα τετράπλευρα ονομάζονται τραπέζια.

Definition 35 figure

XXXV.

Παράλληλες ονομάζονται οι ευθείες που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και προεκτεινόμενες επ’άπειρον εκατέρωθεν δεν τέμνονται.

Αιτηματα.

I.

Από κάθε σημείο μπορούμε να φέρουμε ευθεία που να το συνδέει με οποιοδήποτε σημείο.

II.

Το ευθύγραμμο τμήμα προεκτείνεται συνεχώς και ευθυγράμμως.

III.

Με κέντρο ένα τυχαίο σημείο και ακτίνα κάθε τμήμα, είναι δυνατόν να γράψουμε κύκλο.

Σ.τ.Μ. Τα αιτήματα 4 και 5 στην έκδοση αυτή παρουσιάζονται ως αξιώματα (11 και 12 αντίστοιχα).

Αξιωματα (Κοινες Εννοιες).

I.

Τα μεγέθη που είναι ίσα προς τρίτο μέγεθος είναι και μεταξύ τους ίσα.

II.

Και αν σε ίσα προστεθούν ίσα, προκύπτουν ίσα.

III.

Και αν απο ίσα αφαιρεθούν ίσα, μένουν ίσα.

IV.

Και αν σε άνισα προσθέσουμε ίσα, προκύπτουν άνισα.

V.

Και αν από άνισα αφαιρέσουμε ίσα, προκύπτουν άνισα.

VI.

Και τα διπλάσια του ίδιου μεγέθους είναι ίσα.

VII.

Και τα μισά του ίδιου μεγέθους είναι ίσα.

VIII.

Και αυτά που εφαρμόζουν μεταξύ τους, είναι ίσα μεταξύ τους.

IX.

Και ολόκληρο (το μέγεθος) είναι μεγαλύτερο ενός μέρους του.

X.

Και δύο ευθείες δεν περικλείουν επιφάνεια (χωρίο).

XI.

Και όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους.

Axiom 11 figure

XII.

Αν μια ευθεία Black line τέμνει δύο άλλες ( Red and blue lines ) και σχηματίζει με αυτές ένα ζεύγος «εντός και επί τα αυτά» γωνιών ( Yellow angle και Red angle ) με άθροισμα μικρότερο από δύο ορθές, τότε οι ευθείες τέμνονται προς το μέρος που βρίσκονται οι γωνίες αυτές.

Το 12ο αξίωμα μπορεί να εκφραστεί και με τους παρακάτω τρόπους:

  1. Δύο αποκλίνουσες ευθείες δεν μπορούν να είναι και οι δύο παράλληλες στην ίδια ευθεία.
  2. Αν ευθεία τέμνει την μία από δύο άλλες παράλληλες ευθείες πρέπει να τέμνει και την άλλη.
  3. Μόνο μία ευθεία μπορεί να χαραχθεί παράλληλη σε δεδομένη ευθεία από δεδομένο σημείο.

Διευκρινησεις.

Η Γεωμετρία έχει σαν βασικό της σκοπό να εκθέσει και να εξηγήσει τις ιδιότητες των σχημάτων, και το σχήμα ορίζεται ως κάτι περιοριζόμενο από όρια ή πέρατα. Ο χώρος ή το μέγεθος είναι τριών ειδών, γραμμικός, επιφανειακός και στερεός.

Vertex A
Angles diagram Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ

Οι γωνίες μπορούν να θεωρηθούν ως τέταρτο είδος μεγέθους. Το εύρος (τιμή) μιας γωνίας προφανώς αποτελείται από μέρη, και πρέπει επομένως να χαρακτηριστεί η γωνία σαν μέγεθος. Ο μαθητής δεν πρέπει να υποθέσει ότι το μέγεθος της γωνίας εξαρτάται από το μήκος των πεπερασμένων ευθειών (τμημάτων) που την περιέχουν, και των οποίων η απόκλιση είναι το μέτρο της. Η κορυφή της γωνίας είναι το σημείο που συναντώνται οι πλευρές της, ή τα σκέλη της, όπως το Α.

Μια γωνία συχνά αναφέρεται με ένα μόνο γράμμα όταν τα σκέλη της είναι οι μόνες γραμμές που συναντώνται στην κορυφή της. Έτσι, οι κόκκινες και μπλέ γραμμές σχηματίζουν την κίτρινη γωνία, η οποία σε άλλα συστήματα θα ονομαζόταν γωνία Α. Αλλά, όταν σε ένα σημείο συναντώνται περισσότερες από δύο γραμμές, ήτανε απαραίτητο, σύμφωνα με τις προηγούμενες μεθόδους , προκειμένου να αποφεύγεται η σύγχυση, να χρησιμοποιούνται τρία γράμματα για την ονομασία της γωνίας, το μεσαίο από τα οποία θα ήταν η κορυφή της γωνίας. Έτσι, η μαύρη και η κόκκινη γραμμή που τέμνονται στο Γ σχηματίζουν την μπλέ γωνία που συνήθως ονομάζεται γωνία ΖΓΔ ή ΔΓΖ. Οι ευθείες ΖΓ και ΓΔ είναι τα σκέλη της γωνίας· το σημείο Γ είναι η κορυφή της. Με παρόμοιο τρόπο η μαύρη γωνία θα ονομάζεται γωνία ΔΓΒ ή ΒΓΔ. Αν προστεθούν, η κόκκινη και η μπλέ γωνία, ή η γωνία ΘΓΖ προστεθεί στη γωνία ΖΓΔ, μας κάνει την γωνία ΗΓΔ· το ίδιο για τις άλλες γωνίες.

Όταν τα σκέλη μιας γωνίας προεκτείνονται πέραν της κορυφής της προς τα πίσω, οι εκατέρωθεν της κορυφής γωνίες που σχηματίζουν λέγονται κατά κορυφήν γωνίες. Οι κόκκινη και η κίτρινη γωνία είναι κατα κορυφήν γωνίες.

Υπέρθεση, είναι η τεχνική διαδικασία με την οποία ένα μέγεθος είναι δυνατόν να τεθεί πάνω από ένα άλλο, έτσι ωστέ να το καλύπτει εντελώς, ή έτσι ώστε κάθε μέρος του ενός να συμπίπτει ακριβώς με του άλλου.

Προέκταση μια γραμμής είναι όταν μεγαλώνει το μήκος της, και η αύξηση αυτή στο μήκος της ονομάζεται το προεκτεταμένο της μέρος ή η προέκτασή της.

Το συνολικό μήκος που περιορίζει ένα σχήμα ονομάζεται περίμετρός του. Τα πρώτα 6 βιβλία του Ευκλείδη ασχολούνται μόνο με επίπεδα σχήματα (πάνω σε ένα επίπεδο). Το ευθύγραμμο τμήμα που άγεται (φέρεται) από το κέντρο ενός κύκλου έως την περιφέρειά του ονομάζεται ακτίνα. Οι γραμμές που ορίζουν ένα σχήμα ονομάζονται πλευρές. Η πλευρά αυτή ενός ορθογωνίου τριγώνου που βρίσκεται απέναντι από την ορθή γωνία ονομάζεται υποτείνουσα του τριγώνου. Ένα επιμήκες (στενόμακρο) σχήμα ορίζεται στο δεύτερο βιβλίο και ονομάζεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Όλες οι γραμμές που χρησιμοποιούνται στα πρώτα 6 βιβλία θεωρούνται συνεπίπεδες (βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο).

Ο κανόνας (χάρακας) και ο διαβήτης είναι τα μόνα όργανα των οποίων η χρήση επιτρέπεται στην Ευκλείδεια, ή επίπεδη, γεωμετρία. Τα αιτήματα έχουν σαν σκοπό να επισημάνουν ακριβώς αυτό τον περιορισμό.

Τα Αξιώματα ή Κοινές έννοιες της γεωμετρίας είναι γενικές προτάσεις, η αλήθεια των οποίων μπορεί να θεωρηθεί αυταπόδεικτη, ή μη επιδεχόμενη απόδειξη.

Οι Προτάσεις είναι τα εξαγόμενα συμπεράσματα που παράγονται στη γεωμετρία με την αιτιολόγηση. Δύο είδη προτάσεων διακρίνονται, τα Προβλήματα (κατασκευές) και τα Θεωρήματα.

Ένα Πρόβλημα είναι μία πρόταση στην οποία κάτι, μια κατασκευή, πρέπει να γίνει, δηλαδή ένας διορισμός · όπως να χαραχτεί μια γραμμή με δεδομένες συνθήκες, να γραφεί ένας περιγεγραμμένος κύκλος, να κατασκευαστεί κάποιο σχήμα κλπ.

Η Λύση του προβλήματος συνίσταται στην επίδειξη του τρόπου με τον οποίο η απαιτούμενη κατασκευή μπορεί να γίνει με την βοήθεια κανόνα και διαβήτη.

Η Απόδειξη συνίσταται στην επίδειξη ότι τα βήματα που ακολουθήθηκαν στην λύση πέτυχαν το επιδιωκόμενο αποτέλεσμα.

Ένα Θεώρημα είναι μια πρόταση στην οποία βεβαιώνεται η αλήθεια κάποιας αρχής. Αυτή η αρχή πρέπει να εξαχθεί από τις κοινές έννοιες (τα αξιώματα) και τους ορισμούς, ή από συμπεράσματα που έχουν προηγουμένως αποδειχτεί. Αυτός είναι ο σκοπός της απόδειξης.

Ένα Πρόβλημα είναι ανάλογο με ένα αίτημα.

Το Θεώρημα μοιάζει με το αξίωμα.

Το Αίτημα είναι ένα πρόβλημα του οποίου η λύση υποτίθεται ότι υπάρχει.

Το Αξίωμα, είναι ένα Θεώρημα του οποίου η αλήθεια γίνεται δεκτή χωρίς αιτιολόγηση.

Η Συνέπεια είναι ένα συμπέρασμα που εξάγεται άμεσα από μια πρόταση.

Το Σχόλιο είναι μια παρατήρηση, η μια πρόταση, που δεν θεωρείται τόσο μεγάλης σημασίας ώστε να ονομαστεί συνέπεια.

Το Λήμμα είναι μια πρόταση που εισάγεται απλά και μόνο για την θεμελίωση μιας πιο σημαντική πρότασης.

Προταση I. Προβλημα.

Πρόταση 1 σχήμα

Με πλευρά δεδομένο ευθύγραμμο τμήμα (Black line) να κατασκευαστεί ισόπλευρο τρίγωνο.

Γράψτε τον Blue circle and black line και τον Red circle and black line (αιτ.3). Φέρτε την Yellow line και την Red line (αιτ.1). Τότε το Triangle θα είναι ισόπλευρο.

Διότι Black line = Yellow line (ορ.15.); και Black line = Red line (ορ.15.), ∴ Yellow line = Red line (αξ.1.);

και επομένως το Triangle είναι το ισόπλευρο τρίγωνο που ζητάμε.

Ο. Ε. Π.

Προταση II. Προβλημα.

Πρόταση 2 σχήμα

Να κατασκευάσετε ευθύγραμμο τμήμα ίσο με δεδομένο ευθύγραμμο τμήμα (Black line) και με το ένα άκρο του ( Blue and red lines ) επίσης δεδομένο.

Φέρτε την Black dotted line (αιτ.1), κατασκεύαστε το Isoceles triangle (πρ.1), προεκτείνετε την Red line (αιτ.2), γράψτε τον Blue circle and black line (αιτ.3), και τον Red circle and red and yellow lines (αιτ.3). Προεκτείνετε την Red line (αιτ.2), και τότε η Blue line θα είναι το ζητούμενο ευθύγραμμο τμήμα.

Διότι Yellow and red lines = Blue and red lines (ορ.15), και Red line = Red line (εκ κατάσκ.), ∴ Yellow line = Blue line (αξ.3), αλλά (ορ.15) Black line = Yellow line = Blue line ; ∴ Blue line που έχει γραφτεί από το δεδομένο σημείο ( Blue and red lines ), είναι ίση με το δεδομένο ευθύγραμμο τμήμα Black line.

Ο. Ε. Π.

Προταση III. Προβλημα.

Πρόταση 3 σχήμα

Αν δοθούν δύο άνισα ευθύγραμμα τμήματα, να αφαιρεθεί από το μεγαλύτερο ( Black lines ), τμήμα ίσο με το μικρότερο (Blue line).

Κατασκευάστε την Red line = Blue line (πρ.2)· γράψτε τον Circle and red line (αιτ.3), οπότε Blue line = Black line.

Διότι Red line = Black line (ορ.15), Blue line = Red line (εκ κατασκ.)· ∴ Blue line = Black line (αξ.1).

Ο. Ε. Π.

Προταση IV. Θεωρημα.

Προταση 4 σχήμα

Αν δύο τρίγωνα έχουν τις δύο πλευρές τους ίσες, μία προς μία (Red line με Red line και Blue line με Blue line) και τις περιεχόμενες στις πλευρές αυτές γωνίες ίσες ( Left yellow angle και Right yellow angle ), θα έχουν και τις τρίτες πλευρές ίσες (Black line και Black line) και θα είναι ίσα στα πάντα, δηλαδή θα έχουν ίσες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ( Left blue angle = Right blue angle και Left red angle = Right red angle ).

Έστω δύο τέτοια τρίγωνα.Αν μετακινήσουμε την κορυφή της μίας από τις ίσες γωνίες, Left yellow angle ή Right yellow angle · έτσι ώστε να συμπέσει με την κορυφή της άλλης, και έτσι ώστε η Red line να συμπέσει με την Red line, τότε και η Blue line θα συμπέσει με την Blue line. Τότε η Black line θα συμπέσει με την Black line, αλλιώς δύο ευθείες γραμμές θα περιέχουν επιφάνεια (χωρίον), όπερ άτοπον (δηλ. πράγμα αδύνατον) (αξ.10). Επομένως η Black line = Black line, Left blue angle = Right blue angle και Left red angle = Right red angle , και καθώς τα τρίγωνα Left triangle και Right triangle συμπίπτουν εάν μετακινηθούν κατάλληλα, τότε είναι ίσα στα πάντα.

Ο. Ε. Δ.

Προταση V. Θεωρημα.

Προταση 5 σχήμα

Εις τα ισοσκελή τρίγωνα Isoceles triangle οι παρά τη βάση γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους και εάν προεκταθούν οι ίσες πλευρές σχηματίζουν κάτω από τη βάση (με τη βάση) γωνίες ίσες.

Προεκτείνετε την Red line, και την Red line, (αιτ.2.), πάρτε Yellow line = Yellow line, (πρ.3.) φέρτε την Blue line και την Blue line.

Τότε στα τρίγωνα Left triangle και Right triangle έχουμε,
Left red and yellow lines = Right red and yellow lines (εκ κατάσκ.), Black angle κοινή γωνία,
και Red line = Red line (εξ υπόθ.) ∴ Left blue and yellow angles = Right blue and yellow angles ,
Blue line = Blue line και Left red angle = Right red angle (πρ.4.).

Επίσης στα τρίγωνα Lower left triangle και Lower right triangle έχουμε Yellow line = Yellow line,
Left red angle = Right red angle και Blue line = Blue line,
∴ Left yellow angle plus remaining angle = Right yellow angle plus remaining angle και Left yellow angle = Right yellow angle (πρ.4.), αλλά
Left blue and yellow angles = Right blue and yellow angles , ∴ Left blue angle = Right blue angle (αξ.3.)

Ο. Ε. Δ.

Προταση VI. Θεωρημα.

Προταση 6 σχήμα

Αν δύο γωνίες τριγώνου ( ) είναι ίσες μεταξύ τους ( Yellow angle και Black angle ) και οι απέναντι των ίσων γωνιών πλευρές, ( Black lines και Blue line), θα είναι ίσες μεταξύ τους.

Διότι, εάν οι πλευρές είναι άνισες, ας είναι μία από αυτές Black lines μεγαλύτερη από την άλλη Blue line, και σε αυτήν ας πάρουμε τμήμα Black line = Blue line (πρ.3.), και φέρουμε την Yellow line.

Τότε στα τρίγωνα Small triangle και ,, Black line = Blue line, (εκ κατασκ.) Yellow angle = Black angle (εξ’ υπόθ.) και η Red line είναι κοινή, ∴ τα τρίγωνα είναι ίσα (πρ.4.) και το όλον θα ισούται με ένα μέρος του, πράγμα αδύνατον (όπερ άτοπον), ∴ καμμία από τις πλευρές Black lines ή Blue line δεν είναι μεγαλύτερη της άλλης, ∴ επομένως είναι ίσα.

Ο. Ε. Δ.

Προταση VII. Θεωρημα.

Προταση 7 σχήμα

Επανω στην ίδια βάση (Black line) και από την ίδια πλευρά της (ημιεπίπεδο), δεν μπορούν να υπάρξουν δύο τρίγωνα που να έχουν τις παρά τη βάση πλευρές (Red line και Red line, Blue line και Blue line), ίσες.

Όταν δύο τρίγωνα έχουν κοινή βάση, και βρίσκονται από την ίδια μεριά, η κορυφή του ενός είτε θα πέφτει εκτός του άλλου τριγώνου, είτε εντός του· ή, τέλος, πάνω σε μία από τις πλευρές του.

Εφόσον γίνεται, κατασκευάστε τα δύο τρίγωνα έτσι ώστε { Red line = Red line Blue line = Blue line } , μετά φέρτε την Black dotted line και,

Red and black angles = Blue angles (πρ.5.) ∴ Red angles < Blue angles και ∴ Red angles < Blue and yellow angles αλλά (πρ.5.) Red angles = Blue and yellow angles } όπερ άτοπον,

Επομένως τα δύο τρίγωνα δεν μπορούν να έχουν τις παρά τη βάση πλευρές τους ίσες.

Ο. Ε. Δ.

Προταση VIII. Θεωρημα.

Προταση 8 σχήμα

Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες αντίστοιχα (Blue line = Blue line και Red line = Red line), και επίσης τις βάσεις τους ίσες (Black line = Black line), τότε οι γωνίες τους οι περιεχόμενες από τις ίσες πλευρές ( Left angle και Right angle ) είναι ίσες.

Εάν εφαρμόσουμε τις ίσες βάσεις (Black line και Black line) έτσι ώστε να συμπέσουν, και τα τρίγωνα να βρίσκονται στην ίδια πλευρά, και οι ίσες πλευρές Red line και Red line, Blue line και Blue line να είναι γειτονικές (όμορες), η κορυφή της μιας πρέπει να συμπίπτει με την κορυφή της άλλης, όπως αποδείξαμε στην τελευταία πρόταση.

Επομένως οι πλευρές Red line και Blue line, συμπίπτουν με τις πλευρές Red line και Blue line,
∴ Left angle = Right angle .

Ο. Ε. Δ.

Προταση IX. Προβλημα.

Πρόταση 9 σχήμα

Να διχοτομηθεί δοθείσα γωνία ( Blue and yellow angles ).

Πάρτε Red line = Red line (πρ.3.) φέρτε την Yellow line, και με αυτή την βάση κατασκευάστε ισόπλευρο τρίγωνο Bottom triangle (πρ.1.), φέρτε την Black line .

Επειδή Red line = Red line (εκ κατασκ.) και η Black line είναι κοινή στα δύο τρίγωνα και Blue line = Blue line (εκ κατασκ.),
∴ Blue angle = Yellow angle (πρ.8.)

Ο. Ε. Π.

Προταση X. Προβλημα.

Πρόταση 10 σχήμα

Να διχοτομηθεί δεδομένο ευθύγραμμο τμήμα ( Black lines ).

Κατασκευάστε ισόπλευρο τρίγωνο Triangle (πρ.1.),
Φέρτε την Red line, έτσι ώστε Blue angle = Yellow angle (πρ.9.)

Τότε Black line = Black dotted line (πρ.4.),
Yellow line = Blue line (εκ κατασκ.), Blue angle = Yellow angle και
Red line κοινή στα δύο τρίγωνα.

Επομένως το δεδομένο τμήμα διχοτομήθηκε.

Ο. Ε. Π.

Προταση XI. Προβλημα.

Πρόταση 11 σχήμα

Απο δοθέν σημείο ( Black and red lines ) δοθείσης ευθείας ( Black and red lines ), να αχθεί κάθετος (δηλαδή ευθεία η οποία να σχηματίζει ορθές γωνίες με την δοθείσα).

Διαλέξτε οποιοδήποτε σημείο ( Red lines ) στην δοθείσα ευθεία,
και πάρτε Black line = Red line (πρ.3.),
κατασκευάστε ισοσκελές τρίγωνο Triangle (πρ.1.),
φέρτε την Yellow line η οποία και θα είναι κάθετη στην δοθείσα ευθεία.

Διότι Blue line = Blue line (εκ κατασκ.)
Black line = Red line (εκ κατασκ.)
και η Yellow line είναι κοινή στα δύο τρίγωνα.

Επομένως Red angle = Blue angle (πρ.8.)
∴ Yellow line ⊥ Black and red lines (ορ.10.)

Ο. Ε. Π.

Προταση XII. Προβλημα.

Πρόταση 12 σχήμα

Να αχθεί ευθεία κάθετη σε δεδομένη ευθεία ( Black and yellow lines ) από δοθέν σημείο ( Blue and red lines ) εκτός αυτής.

Με το δεδομένο σημείο Blue and red lines σαν κέντρο, από την μία πλευρά της ευθείας και με ακτίνα Black line ικανή να φτάσει έως την ευθεία φέρτε Red curve ,

Πάρτε Black line = Yellow line (πρ.10.),
φέρτε Blue line, Blue line και Red line.
τότε Red line ⊥ Black and yellow lines .

Διότι (πρ.8.) εφόσον Black line = Yellow line (εκ κατασκ.)
η Red line είναι κοινή,
και Blue line = Blue line (ορ.15.)

∴ Yellow angle = Blue angle , και
∴ Red line ⊥ Black and yellow lines (ορ.10.).

Ο. Ε. Π.

Προταση XIII. Θεωρημα.

Προταση 13 σχήμα

Αν ημιευθεία (Yellow line) συναντήσει ευθεία (Red line) και σχηματιστούν γωνίες, τότε, είτε είναι αυτές δύο ορθές, είτε το άθροισμά τους είναι δύο ορθές.

Εάν η Yellow line είναι ⊥ στην Red line τότε,
Yellow and red angles και Blue angle = Two right angles (ορ.10),

Αλλά εάν η Yellow line δεν είναι ⊥ στην Red line,
Φέρε την Black line ⊥ Red line·(πρ.11.)
Yellow angle + Blue and red angles = Two right angles (εκ κατασκ.)
Yellow angle = Blue and red angles = Red angle + Blue angle
∴ Yellow angle + Blue and red angles = Yellow angle + Red angle + Blue angle (αξ.2)
= Yellow and red angles + Blue angle = Two right angles .

Ο. Ε. Δ.

Προταση XIV. Θεωρημα.

Προταση 14 σχήμα

Αν δύο ημιευθείες (Blue line και Black line) συναντήσουν ευθεία (Red line) στο ίδιο σημείο και από τα απέναντι μέρη αυτής, και κάνουν τις εφεξής γωνίες ( Yellow angle και Blue angle ) να έχουν άθροισμα δύο ορθές, τότε οι ημιευθείες κείνται επί της ίδιας ευθείας.

Διότι, εφόσον γίνεται, ας είναι η Yellow line, και όχι η Black line,
η προέκταση της Blue line,
Τότε Yellow angle + Blue and red angles = Two right angles
άλλά εξ υποθέσεως Yellow angle + Blue angle = Two right angles
∴ Blue and red angles = Blue angle , (αξ.3.) · όπερ άτοπον (αξ.9.).
∴ Yellow line, δεν είναι η προέκταση της Blue line, και το ίδιο μπορεί να αποδειχθεί γιά κάθε άλλη ευθεία γραμμή εκτός Black line, ∴ Black line είναι η προέκταση της Blue line.

Ο. Ε. Δ.

Προταση XV. Θεωρημα.

Προταση 15 σχήμα

Αν δύο ευθείες (Black line και Red line) τέμνονται, σχηματίζουν τις κατακορυφήν γωνίες Yellow angle και Black angle , Red angle και Blue angle ίσες μεταξύ τους.

Yellow angle + Red angle = Two right angles
Black angle + Red angle = Two right angles
∴ Yellow angle = Black angle .


Με τον ίδιο τρόπο μπορεί να αποδειχτεί ότι
Red angle = Blue angle

Ο. Ε. Δ.

Προταση XVI. Θεωρημα.

Προταση 16 σχήμα

Αν προεκταθεί η πλευρά ενός τριγώνου ( Large triangle ), η εξωτερική γωνία ( Bottom black angle and arc ) είναι μεγαλύτερη και από τις δύο εσωτερικές απέναντι γωνίες ( Top black angle ή Blue angle ).

Κατασκευάστε την Blue line = Blue dotted line (πρ.10.)
Φέρτε την Red line και προεκτείνετέ την έως
Red dotted line = Red line· φέρτε την Yellow line.

Στα τρίγωνα Left triangle και Right triangle ; Blue line = Blue dotted line
Left yellow angle = Right yellow angle και Red line = Red dotted line (κατασκ. πρ.15.)
∴ Top black angle = Bottom black angle (πρ.4.),
∴ Bottom black angle and arc > Top black angle .

Με τον ίδιο τρόπο μπορεί να δειχτεί ότι εάν η Blue lines
προεκταθεί, Red angle > Blue angle , και επομένως
Bottom black angle and arc που είναι = Red angle είναι > Blue angle .

Ο. Ε. Δ.

Προταση XVII. Θεωρημα.

Προταση 17 σχήμα

Εις κάθε τρίγωνο Triangle , το άθροισμα δύο οποιωνδήποτε γωνιών του είναι μικρότερο των δύο ορθών.

Προεκτείνετε την Black line, οπότε
Red angle + Yellow angle = Two right angles

Αλλά Yellow angle > Blue angle (πρ.16.)
∴ Red angle + Yellow angle = Two right angles

Κατά τον ίδιο τρόπο μπορεί να αποδειχτεί ότι οι οποιεσδήποτε άλλες δύο γωνίες ενός τριγώνου, εάν αθροιστούν μας κάνουν λιγότερο από δύο ορθές.

Ο. Ε. Δ.

Προταση XVIII. Θεωρημα.

Προταση 18 σχήμα

Εις κάθε τρίγωνο Triangle εάν μία πλευρά Red lines είναι μεγαλύτερη από μία άλλη Blue line, τότε και η γωνία η απέναντι από την μεγαλύτερη πλευρά θα είναι μεγαλύτερη από τη γωνία την απέναντι της μικρότερης πλευράς, δηλαδή Black and red angles > Yellow angle .

Κατασκευάστε την Red line = Blue line (πρ.3.), φέρτε την Yellow line.

Τότε η Blue angle = Black angle (πρ.5.)
Αλλά Blue angle > Yellow angle (πρ.16.)
∴ Black angle > Yellow angle και περισσότερο
Θα είναι Black and red angles > Yellow angle .

Ο. Ε. Δ.

Προταση XIX. Θεωρημα.

Προταση 19 σχήμα

Εις κάθε τρίγωνο Triangle που η μία γωνία του Blue angle είναι μεγαλύτερη από μία άλλη Blue angle η πλευρά Blue line που βρίσκεται απέναντι από την μεγαλύτερη γωνία, είναι μεγαλύτερη αυτής που βρίσκεται απέναντι από την μικρότερη γωνία Red line.

Εάν Blue line δεν είναι μεγαλύτερη από την Red line τότε θα πρέπει
Blue line = ή < από Red line.

Εάν Blue line = Red line τότε
Blue angle = Blue angle (πρ.5.)·
που είναι αντίθετη στην υπόθεση.
Η Blue line δεν είναι μικρότερη από την Red line · διότι εάν ήταν,
Blue angle < Blue angle (πρ.18.)
που αντιβαίνει στην υπόθεση.
∴ Blue line > Red line.

Ο. Ε. Δ.

Προταση XX. Θεωρημα.

Προταση 20 σχήμα

Εις κάθε τρίγωνο Triangle το άθροισμα δύο πλευρών του Blue line και Red line είναι μεγαλύτερο της τρίτης πλευράς (Black line).

Προεκτείνετε την Blue line, και
κατασκευάστε Blue dotted line = Red line (πρ.3.)·
Φέρτε την Yellow line.

Τότε επειδή Blue dotted line = Red line (εκ κατασκ.),

Blue angle = Red angle (πρ.5.) ∴ Blue and yellow angles > Red angle (αξ.9.)

∴ Blue line + Blue dotted line > Black line (πρ.19.)
και ∴ Blue line + Red line > Black line.

Ο. Ε. Δ.

Προταση XXI. Θεωρημα.

Προταση 21 σχήμα

Αν από οποιοδήποτε σημείο ( Point ) εσωτερικό τριγώνου Triangle αχθούν ημιευθείες προς τα άκρα μίας πλευράς (Blue dotted line), αυτά τα τμήματα που ορίζονται έχουν άθροισμα μικρότερο των δύο άλλων πλευρών, ενώ η γωνία τους θα είναι μεγαλύτερη της γωνίας των δύο άλλων πλευρών.

Προεκτείνετε την Black line,
Blue line + Red line > Black lines (πρ.20.),
προσθέστε Red dotted line σε κάθε μιά,
Blue line + Red lines > Black lines + Red dotted line (αξ.4.)

Με τον ίδιο τρόπο μπορεί να δειχτεί ότι
Black lines + Red dotted line > Black line + Yellow line,
∴ Blue line + Red lines > Black line + Yellow line,
που έπρεπε να αποδείξουμε.

Eπίσης Blue angle > Yellow angle (πρ.16.), και επίσης Red angle > Blue angle (πρ.16.), ∴ Red angle > Yellow angle .

Ο. Ε. Δ.

Προταση XXII. Θεωρημα.

Προταση 22 σχήμα

Αν από τρία δεδομένα τμήματα { Three dotted lines κατασκευαστεί τρίγωνο, τότε είναι αναγκαίο δύο οποιαδήποτε από τα τμήματα να έχουν άθροισμα μεγαλύτερο από το τρίτο τμήμα.

Ας υποθέσουμε ότι η Black line = Black dotted line (πρ.3.). Φέρτε την Blue line = Blue dotted line και Red line = Red dotted line } (πρ.2.).

Με τις Blue line και Red line σαν ακτίνες,
χαράξτε τον Blue circle και τον Red circle (αιτ.3.)·
φέρτε την Yellow dotted line και την Yellow line,
τότε το Triangle θα είναι το ζητούμενο τρίγωνο.

Διότι Black line = Black dotted line, Yellow line = Red line = Red dotted line, και Yellow dotted line = Blue line = Blue dotted line. } (εκ κατασκ.)

Ο. Ε. Δ.

Προταση XXIII. Θεωρημα.

Προταση 23 σχήμα

Να κατασκευαστεί γωνία ίση με δεδομένη ( Point ), της οποίας δίνεται η μία πλευρά ( Black lines ) και η κορυφή της ( Red angle ) επι δεδομένης ευθείας.

Φέρτε την Red thin line μεταξύ δύο οποιωνδήποτε σημείων στις πλευρές της δεδομένης γωνίας.

Κατασκευάστε το Triangle (πρ.22.) έτσι ώστε
Black line = Black thin line, Yellow line = Blue line
και η Red line = Red thin line.

Τότε Blue angle = Red angle (πρ.8.)

Ο. Ε. Δ.

Προταση XXIV. Θεωρημα.

Προταση 24 σχήμα

Αν δύο τρίγωνα έχουν πλευρές αντίστοιχα ίσες (Blue line με Blue thin line και Red dotted line με Red thin line), και η μία γωνία ( Left top angles ) η περιεχόμενη από τις ίσες πλευρές είναι μεγαλύτερη από την άλλη ( Right angle ), η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από την μεγαλύτερη γωνία (Black line) είναι μεγαλύτερη από την άλλη (Yellow line).

Κατασκευάστε γωνία Left angle = Right angle (πρ.23.),
και Red line = Red thin line (πρ.3.),
φέρτε την Blue dotted line και την Black dotted line.
Επειδή Red line = Red dotted line (αξ.1.)
∴ Blue and red angles = Yellow angle (πρ.5.)
αλλά Red angle < Yellow angle
και ∴ Red angle < Black and yellow angles ,
∴ Black line > Black dotted line (πρ.19.)
αλλά Black dotted line = Yellow line (πρ.4.)
∴ Black line > Yellow line.

Ο. Ε. Δ.

Προταση XXV. Θεωρημα.

Προταση 25 σχήμα

Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές τους (Red line και Blue line) ίσες αντίστοιχα (Red thin line και Blue thin line), και η τρίτη πλευρά του ενός είναι μεγαλύτερη της τρίτης πλευράς του άλλου, τότε η γωνία η απέναντι από την μεγαλύτερη πλευρά (Black line) θα είναι μεγαλύτερη από τη γωνία την απέναντι από την μικρότερη πλευρά (Yellow line).

H Yellow angle θα είναι =, > ή < Black angle H Yellow angle δεν είναι ίση με την Black angle
διότι εάν Yellow angle = Black angle τότε Black line = Yellow line (πρ.4.)
που αντίκειται στην υπόθεση·

η Yellow angle δεν είναι μικρότερη από την Black angle
διότι, εάν Yellow angle < Black angle
τότε Black line < Yellow line (πρ.24.),
που επίσης αντίκειται στην υπόθεση·

∴ Yellow angle > Black angle .

Ο. Ε. Δ.

Προταση XXVI. Θεωρημα.

Προταση 26 σχήμα Περιπτωση II. Περιπτωση I.

Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες αντιστοίχως ίσες ( Case 1: Left yellow angle = Case 1: Right yellow angle και Case 1: Left red angle = Case 1: Right black and blue angles ) και μια πλευρά ίση, η οποία είτε έχει τις γωνίες προσκείμενες είτε είναι απέναντι σε μια από τις ίσες γωνίες, τότε τα τρίγωνα θα έχουν ίσες αντιστοίχως και τις άλλες πλευρές τους, καθώς και τις τρίτες γωνίες τους.

Περιπτωση I.

Έστω οι Blue line και Blue line που βρίσκονται μεταξύ των ίσων γωνιών είναι ίσες,
τότε Red line = Case 1: Right red lines .
Διότι, εφόσον γίνεται, ας είναι μια απ’αυτές Case 1: Right red lines μεγαλύτερη από την άλλη·
κατασκευάστε την Red line = Red line, φέρτε την Yellow line.

Στα τρίγωνα Case 1: Left triangle και Case 1: Right triangle έχουμε Red line
= Red line, Case 1: Left yellow angle = Case 1: Right yellow angle , Blue line = Blue line·
∴ Case 1: Left red angle = Case 1: Right black angle (πρ.4.)
Αλλά Case 1: Left red angle = Case 1: Right black and blue angles (εξ υποθ.)
και επομένως Case 1: Right black angle = Case 1: Right black and blue angles , όπερ άτοπον· επομένως καμμία από τις πλευρές Red line και Case 1: Right red lines δεν είναι μεγαλύτερη της άλλης· και ∴ είναι ίσες·
∴ Black line = Black line, και Case 1: Left arc = Case 1: Right arc , (πρ.4.).

Περιπτωση II.

Και πάλι, έστω η Red line = Red line, που βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες Case 2: Left red angle και Case 2: Right red angle . Εφόσον γίνεται, έστω Case 2: Right blue lines > Blue line, κατόπιν πάρτε Blue line = Blue line, φέρτε την Yellow line.

Tότε στα τρίγωνα Case 2: Left triangle και Case 2: Right triangle έχουμε Red line = Red line,,
Blue line = Blue line και Case 2: Left yellow angle = Case 2: Right yellow angle ,
∴ Case 2: Left red angle = Case 2: Right black angle (πρ.4.)
αλλά Case 2: Left red angle = Case 2: Right red angle (εξ υποθ.)
∴ Case 2: Right black angle = Case 2: Left red angle όπερ άτοπον (πρ.16.).

Συνεπώς, καμμία από τις πλευρές Blue line ή Case 2: Right blue lines δεν είναι μεγαλύτερη από την άλλη, οπότε θα είναι ίσες. Συνεπάγεται (πρ.4.) ότι τα τρίγωνα θα είναι ίσα σε όλα.

Ο. Ε. Δ.

Προταση XXVII. Θεωρημα.

Προταση 27 σχήμα

Αν δύο ευθείες (Red line και Blue line) τέμνονται από ευθεία (Black line), έτσι ώστε οι εντός και εναλλάξ γωνίες που σχηματίζονται ( Blue angle και Red angle · Bottom yellow angle και Top yellow angle ) να είναι ίσες, τότε και οι ευθείες είναι παράλληλες.

Αν ή Blue line δεν είναι παράλληλη στην Red line θα συναντηθούν εάν προεκταθούν.

Εφόσον γίνεται, ας μην είναι αυτές οι ευθείες παράλληλες, αλλά έστω ότι συναντώνται όταν προεκταθούν· τότε η εξωτερική γωνία Red angle είναι μεγαλύτερη από την Blue angle (πρ.16.), αλλά ταύτόχρονα θα είναι ίσες (εξ υποθ.), όπερ άτοπον. Με τον ίδιο τρόπο μπορεί να αποδειχτεί ότι δεν μπορούν να συναντηθούν από την άλλη μεριά, ∴ είναι παράλληλες.

Ο. Ε. Δ.

Προταση XXVIII. Θεωρημα.

Προταση 28 σχήμα

Αν δύο ευθείες (Red line και Yellow line) τέμνονται από μια τρίτη (Black line) έτσι ώστε οι δύο εντός - εκτός και επί τα αυτά γωνίες να είναι ίσες (δηλαδή, Black angle = Bottom blue angle ή Yellow angle = Bottom red angle ), ή οι εντός και επί τα αυτά γωνίες ( Bottom red angle και Top blue angle , ή Bottom blue angle και Top red angle ) να είναι παραπληρωματικές (δηλαδή να έχουν άθροισμα ίσο με δύο ορθές), τότε οι ευθείες είναι παράλληλες.

Πρώτον, εάν Black angle = Bottom blue angle , τότε Black angle = Top blue angle (πρ.15.),
∴ Bottom blue angle = Top blue angle ∴ Red line ∥ Yellow line (πρ.27.).

Δεύτερον, εάν Bottom blue angle + Top red angle = Two right angles ,
τότε Top red angle + Top blue angle = Two right angles (πρ.13.),
∴ Bottom blue angle + Top red angle = Top red angle + Top blue angle (αξ.3.)
∴ Bottom blue angle = Top blue angle
∴ Red line ∥ Yellow line (πρ.27.).

Ο. Ε. Δ.

Προταση XXIX. Θεωρημα.

Προταση 29 σχήμα

Η ευθεια (Blue line) που τέμνει δύο παράλληλες ευθείες (Yellow line και Red line) σχηματίζει τις εντός εναλλάξ γωνίες ίσες, τις εντός – εκτός και επί τα αυτά γωνίες ίσες και τις εντός και επί τα αυτά γωνίες παραπληρωματικές.

Διότι, εάν οι εντός εναλλάξ Blue and yellow angles και Bottom black angle δεν είναι ίσες, φέρτε την Black line, έτσι ώστε Yellow angle = Bottom black angle (πρ.23.).

Επομένως Black lines ∥ Red line (πρ.27.) και επομένως δύο ευθείες που τέμνονται είναι παράλληλες στην ίδια ευθεία, πράγμα αδύνατον (αξ.12.).

Άρα, οι εντός εναλλάξ γωνίες Blue and yellow angles και Bottom black angle δεν είναι άνισες, δηλαδή είναι ίσες· Blue and yellow angles = Red angle (πρ.15.)· ∴ Red angle = Bottom black angle , οι εντός – εκτός εναλλάξ γωνίες είναι ίσες· εάν η Top black angle προστεθεί και στις δύο, τότε η Bottom black angle + Top black angle = Top black and red angles = Two right angles (πρ.13.). Δηλαδή, οι δύο εσωτερικές γωνίες από την ίδια πλευρά της τέμνουσας ευθείας ισούνται με δύο ορθές.

Ο. Ε. Δ.

Προταση XXX. Θεωρημα.

Προταση 30 σχήμα

Αν δύο ευθείες ( Red and blue lines ) είναι παράλληλες στην ίδια ευθεία (Yellow line), είναι και μεταξύ τους παράλληλες.

Έστω ότι η Black line τέμνει τις { Red line Yellow line Blue line } ·
Τότε, Yellow angle = Blue angle = Red angle (πρ.29.),
∴ Yellow angle = Red angle
∴ Red line ∥ Blue line (πρ.27.)

Ο. Ε. Δ.

Προταση XXXI. Προβλημα.

Προταση 31 σχήμα

Απο δοθέν σημείο Black and red point να να αχθεί ευθεία παράλληλη προς δοθείσα ευθεία (Blue line).

Φέρτε την Black line από το σημείο Black and red point σε οποιοδήποτε σημείο Black and blue point στην Blue line,
κατασκευάστε την Yellow angle = Red angle (πρ.23.),
τότε, Red lines ∥ Blue line (πρ.27.).

Ο. Ε. Π.

Προταση XXXII. Θεωρημα.

Προταση 32 σχήμα

Εις κάθε τρίγωνο, εάν προεκταθεί μια πλευρά του (Black line) η εξωτερική γωνία ( Black and red angles ) είναι ίση με τα άθροισμα των δύο εντός και απέναντι γωνιών ( Yellow angle και Bottom black angle ), και το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών τριγώνου είναι δύο ορθές.

Διαμέσου του σημείου Black and yellow point φέρτε
Blue line ∥ Red line (πρ.31.).

τότε, { Red angle = Yellow angle Bottom black angle = Top black angle } (πρ.29.),

∴ Yellow angle + Bottom black angle = Black and red angles (αξ.2.),
και επομένως
Yellow angle + Blue angle + Bottom black angle = Black, blue, and red angles = Two right angles (πρ.13.).

Ο. Ε. Π.

Προταση XXXIII. Θεωρημα.

Προταση 33 σχήμα

Τα τμήματα (Blue line και Yellow line) που συνδέουν τα άκρα δύο ίσων και παράλληλων τμημάτων (Red line και Red dotted line) προς το ίδιο μέρος είναι και αυτά ίσα και παράλληλα.

Φέρτε την διαγώνιο Black line.
Red line = Red dotted line (εξ υποθ.)
Yellow angle = Black angle (πρ.29.)
και η Black line είναι κοινή στα δύο τρίγωνα·
∴ Blue line = Yellow line, και Blue angle = Red angle (πρ.4.)·
και ∴ Blue line ∥ Yellow line (πρ.27.).

Ο. Ε. Δ.

Προταση XXXIV. Θεωρημα.

Προταση 34 σχήμα

Οι απέναντι πλευρές και γωνίες των παραλληλογράμμων είναι ίσες και οι διαγώνιοι (Black line) το διαιρούν σε ίσα μέρη.

Εφόσον { Blue angle = Yellow angle Top red angle = Bottom red angle } (πρ.29.) και Black line κοινή στα δύο τρίγωνα.

∴ { Red line = Red dotted line Yellow line = Blue line Top black angle = Bottom black angle } (πρ.26.)
και Blue and red angles = Red and yellow angles (αξ.):

Επομένως οι απέναντι πλευρές και γωνίες του παραλληλόγραμμου είναι ίσες· και όπως τα τρίγωνα Left triangle και Right triangle είναι ίσα στα πάντα (πρ.4.), οι διαγώνιοι διαιρούν το παραλληλόγραμμο σε δύο ίσα μέρη.

Ο. Ε. Δ.

Προταση XXXV. Θεωρημα.

Προταση 35 σχήμα

Τα παραλληλόγραμμα που έχουν τη ίδια βάση και περιέχονται μεταξύ των ίδιων παραλλήλων, έχουν (περιεχόμενα) εμβαδά ίσα.

Λόγω των παραλλήλων, Red angle = Blue angle Black angle = Black outlined angle Blue line = Red line } (πρ.29.) (πρ.29.) (πρ.34.)

Αλλά, Left triangle = Right triangle (πρ.8.)
∴ All shapes μείον το Right triangle = Left parallelogram ,
και All shapes μείον το Left triangle = Right parallelogram ·
∴ Left parallelogram = Right parallelogram .

Ο. Ε. Δ.

Προταση XXXVI. Θεωρημα.

Προταση 36 σχήμα

Τα παραλληλόγραμμα ( Red parallelogram και Yellow parallelogram ) που έχουν ίσες βάσεις και περιέχονται μεταξύ των ίδιων παραλλήλων, έχουν το ίδιο εμβαδόν.

Φέρτε την Yellow line και την Black dotted line,
Black line = Blue line = Red line, λόγω (πρ.34., και εξ υποθ..)·
∴ Black line= και ∥ Red line·
∴ Yellow line = και ∥ Black dotted line (πρ.33.).

Και επομένως το Middle parallelogram είναι παραλληλόγραμμο:
αλλά Red parallelogram = Middle parallelogram = Yellow parallelogram (πρ.35.)
∴ Red parallelogram = Yellow parallelogram (αξ.1.).

Ο. Ε. Δ.

Προταση XXXVII. Θεωρημα.

Προταση 37 σχήμα

Τριγωνα Large yellow triangle και Small yellow and black triangles που έχουν την ίδια βάση (Black line) και περιέχονται μεταξύ των ίδιων παραλλήλων είναι ίσα (έχουν ίσα εμβαδά).

Φέρτε την Red dotted line ∥ Red line Blue dotted line ∥ Blue line } (πρ.31.)

Προεκτείνετε την Black dotted line.

τα Large blue and yellow triangles και Small black, red, and yellow triangles είναι παραλληλόγραμμα με την ίδια βάση, και μεταξύ των ίδιων παραλλήλων, επομένως είναι ίσα (πρ.35.)

∴ { Large blue and yellow triangles = δύο φορές το Large yellow triangle with red and black borders Small black, red, and yellow triangles = δύο φορές το Small yellow and black triangles } (πρ.34.)

∴ Large yellow triangle = Small yellow and black triangles .

Ο. Ε. Δ.

Προταση XXXVIII. Θεωρημα.

Προταση 38 σχήμα

Τριγωνα ( Red triangle και Blue triangle ) με ίσες βάσεις που βρίσκονται μεταξύ των ίδιων παραλλήλων έχουν εμβαδά ίσα.

Φέρτε την Blue dotted line ∥ Blue line Red dotted line ∥ Red line } (πρ.31.)

Left parallelogram = Right parallelogram (πρ.36.)·
Left parallelogram = δύο φορές το Red triangle (πρ.34.),
και Right parallelogram = δύο φορές το Blue triangle (πρ.34.),
∴ Red triangle = Blue triangle (αξ.7.).

Ο. Ε. Δ.

Προταση XXXIX. Θεωρημα.

Προταση 39 σχήμα

Αν δύο τρίγωνα με ίσα εμβαδά Yellow triangles και Black and yellow triangles , και την ίδια βάση (Black line), βρίσκονται προς το ίδιο μέρος της βάσης, τότε περιέχονται μεταξύ των ίδιων παραλλήλων.

Αν η Blue line, που συνδέει τις κορυφές των τριγώνων, δεν είναι ∥ στην Black line, φέρτε την Red line ∥ Black line (πρ.31.), που τέμνει την Black dotted line.

Φέρτε την Yellow line.

Επειδή Red line ∥ Black line (εκ κατασκ.)
Yellow triangles = Black, blue, and yellow triangles (πρ.37.):
αλλά Yellow triangles = Black and yellow triangles (εξ υποθ.)·

∴ Black and yellow triangles = Black, blue, and yellow triangles , δηλαδή το μέρος ίσο με το όλον, όπερ άτοπον.

∴ Red line ∦ Black line· και με τον ίδιο τρόπο μπορεί να αποδειχτεί ότι δεν υπάρχει άλλη γραμμή εκτός
Blue line είναι ∥ στην Black line· ∴ Blue line ∥ Black line.

Ο. Ε. Δ.

Προταση XL. Θεωρημα.

Προταση 40 σχήμα

Ισα (ισεμβαδικά) τρίγωνα ( Yellow triangle και Red triangle ) σε ίσες βάσεις που βρίσκονται προς το ίδιο μέρος των βάσεων, περιέχονται μεταξύ των ίδιων παραλλήλων.

Εάν η Blue line που ενώνει τις κορυφές των τριγώνων
δεν είναι ∥ με την Black and blue baseline ,
φέρτε Red line ∥ Black and blue baseline (πρ.31.),
που να τέμνει την Black dotted line.

Φέρτε την Yellow line.
Επειδή Red line ∥ Black and blue baseline (εκ κατασκ.)
Yellow triangle = Red and blue triangles triangle αλλά Yellow triangle = Red triangle
∴ Red triangle = Red and blue triangles triangle , μέρος ίσο με το όλον, όπερ άτοπον.
∴ Red line ∦ Black line· και με τον ίδιο τρόπο μπορεί να αποδειχτεί ότι δεν υπάρχει άλλη γραμμή εκτός
της Blue line που να είναι ∥ Black line: ∴ Blue line ∥ Black line.

Ο. Ε. Δ.

Προταση XLI. Θεωρημα.

Προταση 41 σχήμα

Αν ένα παραλληλόγραμμο Parallelogram με ένα τρίγωνο Blue, red, and yellow triangles έχουν την ίδια βάση Black line και περιέχονται μεταξύ των αυτών παραλλήλων Black dotted line και Black line, τότε το εμβαδόν του παραλληλογράμμου είναι διπλάσιο απ’αυτό του τριγώνου.

Φέρτε την διαγώνιο Red line·
Τότε Blue triangle = Blue, red, and yellow triangles (πρ.37.)
Parallelogram = διπλάσιο του Blue triangle (πρ.34.)
∴ Parallelogram = διπλάσιο του Blue, red, and yellow triangles .

Ο. Ε. Δ.

Προταση XLII. Προβλημα.

Προταση 42 σχήμα

Να κατασκευαστεί παραλληλόγραμμο ισεμβαδικό με δοθέν τρίγωνο Black, blue, and yellow triangles , του οποίου μία γωνία είναι ίση με δοθείσα γωνία Yellow angle .

Κατασκευάστε την Black line = Black dotted line (πρ.10.)
Φέρτε την Yellow line.
Κατασκευάστε Blue angle = Yellow angle (πρ.23.)

Φέρτε { Red dotted line ∥ Red line Blue line ∥ Black line } (πρ.31.)

Parallelogram = δύο φορές το Blue, and yellow triangles (πρ.41.)
αλλά Blue, and yellow triangles = Black triangle (πρ.38.)
∴ Parallelogram = Black, blue, and yellow triangles .

Ο. Ε. Π.

Προταση XLIII. Θεωρημα.

Προταση 43 σχήμα

Καθε παραλληλογράμμου τα συμπληρώματα Blue parallelogram και Black parallelogram ως προς μια διαγώνιο έχουν ίσα εμβαδά.

Black parallelogram and red and yellow triangles = Blue parallelogram and red and yellow triangles (πρ.34.)
και Bottom red and yellow triangles = Top red and yellow triangles (πρ.34.)
∴ Black parallelogram = Blue parallelogram (αξ.3.)

Ο. Ε. Δ.

Προταση XLIV. Προβλημα.

Πρόταση 44 σχήμα

Να κατασκευαστεί παραλληλόγραμμο με δοθείσα πλευρά (Black line), μία γωνία δοθείσα ( Red triangle ) και εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν δοθέντος τριγώνου ( Yellow angle ).

Κατασκευάστε Yellow parallelogram = Red triangle με Blue angle = Yellow angle (πρ.42.)
και που να να έχει μία από τις πλευρές του Black dotted line διαδοχική και σε προέκταση της Black line. Προεκτείνετε την Blue line μέχρι να τμήσει την Yellow line ∥ Blue dotted line, φέρτε την Red line και προεκτείνετέ την μέχρι να τμήσει την Red dotted line· φέρτε την Yellow dotted line ∥ Black dotted and solid lines που τέμνει την προέκταση της Yellow line και προεκτείνετε την Blue dotted line.

Yellow parallelogram = Blue parallelogram (πρ.43.)
Αλλά Yellow parallelogram = Red triangle (εκ κατασκ.)
∴ Blue parallelogram = Red triangle · και
Blue angle = Red angle = Black angle = Yellow angle (πρ.29. και εκ κατασκ.)

Ο. Ε. Π.

Προταση XLV. Προβλημα.

Πρόταση 45 σχήμα

Να κατασκευαστεί παραλληλόγραμμο, του οποίου μία γωνία είναι δοθείσα ( Red angle ) και είναι ισεμβαδικό με δοθέν πολύγωνο ( Triangles ).

Φέρτε την Red line και την Blue line που χωρίζουν το πολύγωνο σε τρίγωνα.

Κατασκευάστε Blue parallelogram = Blue triangle
το οποίο να έχει Yellow angle = Red angle (πρ.42.)
στην Red line κατασκευάστε Yellow parallelogram = Yellow triangle
το οποίο να έχει Black angle = Red angle (πρ.44.)
στην Blue line κατασκευάστε Red parallelogram = Red triangle
το οποίο να έχει Blue angle = Red angle (πρ.44.)
∴ Parallelograms = Triangles
και το Parallelograms είναι παραλληλόγραμμο (πρ.29, 14, 30.)
το οποίο έχει Blue angle = Red angle .

Ο. Ε. Π.

Προταση XLVI. Προβλημα.

Πρόταση 46 σχήμα

Να κατασκευαστεί τετράγωνο με πλευρά δοθέν τμήμα (Black line).

Φέρτε την Blue line ⊥ και = = Black line (πρ.42. και 3.)

Φέρτε την Red line ∥ Black line, που να συναντά την Yellow line που έχει αχθεί ∥ στην Blue line.

Στο Square , Blue line = Black line (εκ κατασκ.)
Yellow angle = ορθή (εκ κατασκ.)
∴ Red angle = Yellow angle = ορθή (πρ.29.),
και οι υπόλοιπες πλευρές και γωνίες πρέπει να είναι ίσες (πρ.34.)
και ∴ το Square είναι τετράγωνο (ορ.30.)

Ο. Ε. Π.

Προταση XLVII. Θεωρημα.

Προταση 47 σχήμα

Εις κάθε ορθογώνιο τρίγωνο Center triangle , το εμβαδόν του τετραγώνου με πλευρά την υποτείνουσα Red line είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των τετραγώνων που έχουν πλευρές τις κάθετες πλευρές του τριγώνου (Blue line και Yellow line).

Στις Red line, Blue line και Yellow line κατασκευάστε τετράγωνα, (πρ.46.)

Φέρτε την Black dotted line ∥ Red dotted line (πρ.31.), επίσης φέρτε την Black line και Black line.

Bottom yellow angle = Top yellow angle ,

σε κάθε μια προσθέστε Black angle ∴ Black and bottom yellow angle = Black and top yellow angle ,
Red line = Red dotted line και Blue line = Blue dotted line·

∴ Blue triangle and black angle = Red triangle and black angle .

Επειδή Yellow line ∥ Blue dotted line
Red square = 2 φορές Red triangle and black angle ,
και Blue rectangle = 2 φορές Blue triangle and black angle ·
∴ Red square = Blue rectangle .

Με τον ίδιο τρόπο μπορεί να αποδειχτεί
ότι Black square = Yellow rectangle ·
επομένως Black and red squares = Yellow and blue rectangles .

Ο. Ε. Δ.

Προταση XLVIII. Θεωρημα.

Προταση 48 σχήμα

Αν σε τρίγωνο, το τετράγωνο μιας πλευράς (Red line) έχει εμβαδόν ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των τετραγώνων με πλευρές τις δύο άλλες πλευρές του τριγώνου (Blue line και Black line), τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και έχει την ορθή γωνία ( Red angle ) μεταξύ των δύο αυτών πλευρών.

Φέρτε την Black dotted line ⊥ Blue line και = = Black line (πρ.11., 3.)
και φέρτε επίσης την Red dotted line.

Αφού Black dotted line = Black line (εκ κατασκ.)
Black dotted line2 = Black line2·
∴ Black dotted line2 + Blue line2 = Black line2 + Blue line2,
αλλά Black dotted line2 + Blue line2 = Red dotted line2 (πρ.47.),
και Black line2 + Blue line2 = Red line2 (εξ υπόθ.)
∴ Red dotted line2 = Red line2,
∴ Red dotted line = Red line·
και ∴ Yellow angle = Red angle (πρ.8.),
συνεπώς η Red angle είναι ορθή.

Ο. Ε. Δ.

Βιβλια.

  1. Βιβλιο I. Βασική γεωμετρία του επιπέδου
  2. Βιβλιο II. Γεωμετρική άλγεβρα
  3. Βιβλιο III. Ο κύκλος και τα στοιχεία του
  4. Βιβλιο IV. Κανονικά πολύγωνα
  5. Βιβλιο V. Λόγοι και αναλογίες
  6. Βιβλιο VI. Ομοιότητα ευθύγραμμων σχημάτων