Ένα μέγεθος λέγεται μέρος ή υποπολλαπλάσιο ενός μεγαλύτερου μεγέθους, αν μπορούμε να μετρήσουμε το δεύτερο μέγεθος με μονάδα μέτρησης το πρώτο. Δηλαδή το μικρότερο να περιέχεται κάποιον αριθμό φορές στο μεγαλύτερο.
II.
Αν ένα μέγεθος μπορεί να μετρηθεί από ένα μικρότερό του, τότε αυτό λέγεται πολλαπλάσιο του μικρότερού του. Δηλαδή, εάν το μεγαλύτερο περιέχει το μικρότερο κάποιον αριθμό φορές.
III.
Λόγος δύο ομοειδών μεγεθών είναι η (κατά πηλικότητα) σχέση που προκύπτει από την σύγκριση του μεγέθους των.
IV.
Δύο μεγέθη λέμε ότι έχουν λόγο μεταξύ τους, όταν είναι ομοειδή· και όταν το μικρότερο από αυτά, πολλαπλασιάζοντάς το κατάλληλα, μπορούμε να καταφέρουμε να υπερέχει (να είναι μεγαλύτερο) του μεγαλύτερου.
Οι υπόλοιποι ορισμοί θα δοθούν όπου πρωτοχρειαστεί η βοήθειά τους.
Στις Σημειώσεις του Μεταφραστή (Σ.τ.Μ.) στα παρακάτω, οι α, β, γ, κ.ο.κ, θα συμβολίζουν γενικά μεγέθη (σύμμετρα και ασύμμετρα) ενώ οι m, n, l, κ.ο.κ, θα συμβολίζουν θετικούς ακέραιους.
Αξιωματα.
I.
Τα ίσες φορές (ισάκις) πολλαπλάσια ή τα ίσες φορές υποπολλαπλάσια του ίδιου μεγέθους ή ίσων μεγεθών είναι ίσα.
Αν Α = Β, τότεδυο φορές Α = δυο φορές Β, δηλαδή,2 Α = 2 Β,3 Α = 3 Β,4 Α = 4 Β,κ.ο.κ, κ.ο.κ.και
1/2
του Α =1/2
του Β,
1/3
του Α =1/3
του Β,
κ.ο.κ, κ.ο.κ.
II.
Το πολλαπλάσιο ενός μεγαλύτερου μεγέθους είναι μεγαλύτερο από το ισάκις πολλαπλάσιο ενός μικρότερου μεγέθους.
Το μέγεθος αυτό, του οποίου ένα πολλαπλάσιο είναι μεγαλύτερο από το ισάκις πολλαπλάσιο ενός άλλου, είναι μεγαλύτερο από το άλλο.
Αν 2 Α > 2 Β, τότεΑ > Β,ή, αν 3 Α > 3 Β, τότεΑ > Βή, αν 4 Α > 4 Β, τότεΑ > Β.κ.ο.κ, κ.ο.κ.
Προταση I. θεωρημα.
Αν οποιοδήποτε πλήθος μεγεθών είναι ισάκις πολλαπλάσια ίσου πλήθους άλλων μεγεθών, ένα προς ένα, τότε, όσες φορές πολλαπλάσιο είναι το πρώτο μέγεθος του μέρους του, τόσες φορές θα είναι πολλαπλάσια τα πρώτα μεγέθη από τα άλλα μεγέθη αν αυτά παρθούν μαζί (αν προστεθούν).
Έστω το είναι ίσες φορές πολλαπλάσιο του , όσες είναι το του . και το είναι του .
Τότε είναι προφανές ότι το
}
πολλαπλάσιο του
{ όσες φορές είναι πολλαπλάσιο το του · διότι υπάρχουν τόσα μεγέθη
στο
{}={ όσα υπάρχουν και στο = του .
Η ίδια απόδειξη, που εδώ δόθηκε για τρία μεγέθη, μπορεί να γίνει για οσαδήποτε μεγέθη.
Εάν πρώτο μέγεθος είναι ισάκις πολλαπλάσιο ενός δευτέρου και τρίτο (μέγεθος) είναι (ισάκις πολλαπλάσιο) τετάρτου, υπάρχει δε και πέμπτο ισάκις πολλαπλάσιο του δευτέρου και έκτο (ισάκις πολλαπλάσιο) τετάρτου, το άθροισμα του πρώτου και του πέμπτου θα είναι ισάκις πολλαπλάσιο του δευτέρου και το άθροισμα του τρίτου και του έκτου θα είναι (ισάκις πολλαπλάσιο) του τετάρτου.
Έστω , το πρώτο, είναι ίσες φορές πολλαπλάσιο του , του δεύτερου, όσες φορές είναι το , το τρίτο, του , του τετάρτου· και έστω το , το πέμπτο, είναι ισάκις πολλαπλάσιο του , του δευτέρου, όσες φορές το , το έκτο, είναι του , του τετάρτου.
Τότε είναι προφανές ότι το
{},
το πρώτο και πέμπτο μαζί είναι ίσες φορές πολλαπλάσιο του , του δεύτερου, και ότι το
{},
το τρίτο και το έκτο μαζί, είναι ισάκις πολλαπλάσιο του , του τέταρτου. Διότι υπάρχουν τόσα μεγέθη στο
{}= όσα υπάρχουν και στο
{}=.
∴ Εάν πρώτο μέγεθος είναι ισάκις πολλαπλάσιο ενός δευτέρου κ.λπ.
Σ.τ.Μ. mα + nα = (m + n) α.
Προταση III. θεωρημα.
Εστω πρώτο μέγεθος που είναι πολλαπλάσιο ενός δευτέρου και τρίτο μέγεθος που είναι ισάκις πολλαπλάσιο ενός τετάρτου. Αν ληφθούν ισάκις πολλαπλάσια του πρώτου και τρίτου, το καθένα τους θα είναι ισάκις πολλαπλάσιο του άλλου αντιστοίχως, το πρώτο του δευτέρου και το τρίτο του τετάρτου.
Έστω το
{}
είναι τόσες φορές πολλαπλάσιο του όσες φορές είναι το
{}
του · Αν πάρουμε το
{}
τόσες φορές πολλαπλάσιο του
{, όσες το
{}
του
{.
Τότε είναι προφανές,
ότι το
{}
είναι τόσες φορές πολλαπλάσιο του όσες το
{}
είναι του · επειδή το
{}
περιέχει το
{}
που περιέχει το τόσες φορές όσες το
}
περιέχει το
{}
που περιέχει το .
Το ίδιο σκεπτικό εφαρμόζεται σε όλες τις περιπτώσεις.
∴ Εάν πρώτο μέγεθος που είναι πολλαπλάσιο ενός δευτέρου κ.λπ.
Σ.τ.Μ. m(nα) = (mn) α
Ορισμος V.
Τέσσερα μεγέθη ,,,, λέμε ότι είναι ανάλογα (έχουν τον ίδιο λόγο) όταν οποιοδήποτε πολλαπλάσιο των πρώτου και τρίτου πάρουμε, και οποιοδήποτε πολλαπλάσιο των δεύτερου και τέταρτου, όπως παρακάτω,
του πρώτου
κ.ο.κ.
του δεύτερου
κ.ο.κ.
του τρίτου
κ.ο.κ.
του τέταρτου
κ.ο.κ.
και μετά, παίρνοντας κάθε ζευγάρι ισάκις πολλαπλασίων των πρώτου και τρίτου, και κάθε ζευγάρι ισάκις πολλαπλασίων των δευτέρου και τετάρτου,
Αν
{>, = ή <>, = ή <>, = ή <>, = ή <>, = ή <
τότε θα ισχύει και
{>, = ή <>, = ή <>, = ή <>, = ή <>, = ή <
Δηλαδή, αν δύο φορές το πρώτο είναι μεγαλύτερο, ίσο ή μικρότερο από δύο φορές το δεύτερο, τότε δύο φορές το τρίτο θα είναι αντίστοιχα μεγαλύτερο, ίσο ή μικρότερο από δύο φορές το τέταρτο. Ή αν δύο φορές το πρώτο είναι μεγαλύτερο, ίσο ή μικρότερο από τρεις φορές το δεύτερο, τότε δύο φορές το τρίτο θα είναι αντίστοιχα μεγαλύτερο, ίσο ή μικρότερο από τρεις φορές το τέταρτο, κ.o.κ.
Αν
{>, = ή <>, = ή <>, = ή <>, = ή <>, = ή <
τότε θα ισχύει και
{>, = ή <>, = ή <>, = ή <>, = ή <>, = ή <
Με άλλα λόγια, αν τρεις φορές το πρώτο είναι μεγαλύτερο, ίσο ή μικρότερο από δύο φορές το δεύτερο, τότε, τρεις φορές το τρίτο θα είναι αντίστοιχα μεγαλύτερο, ίσο ή μικρότερο από δύο φορές το τέταρτο· ή αν δύο φορές το πρώτο είναι μεγαλύτερο, ίσο ή μικρότερο από τρεις φορές το δεύτερο, τότε δύο φορές το τρίτο θα είναι αντίστοιχα μεγαλύτερο, ίσο ή μικρότερο από δύο φορές το τέταρτο· ή αν τρεις φορές το πρώτο είναι μεγαλύτερο, ίσο ή μικρότερο από τέσσερις φορές το δεύτερο, τότε, τρεις φορές το τρίτο θα είναι αντίστοιχα μεγαλύτερο, ίσο ή μικρότερο από τέσσερις φορές το τέταρτο, και ούτω καθεξής. Ξανά,
Αν
{>, = ή <>, = ή <>, = ή <>, = ή <>, = ή <
τότε θα ισχύει και
{>, = ή <>, = ή <>, = ή <>, = ή <>, = ή <
Και ούτω καθεξής με κάθε άλλο πολλαπλάσιο των τεσσάρων μεγεθών.
Ο Ευκλείδης εκφράζει αυτό τον ορισμό ως εξής:—
Τέσσερα μεγέθη λέμε ότι έχουν τον ίδιο λόγο το πρώτο προς το δεύτερο και το τρίτο προς το τέταρτο, όταν ισάκις πολλαπλάσια του πρώτου και του τρίτου σε σχέση με (ίδια ή άλλα) ισάκις πολλαπλάσια του δεύτερου και του τέταρτου με οποιονδήποτε πολλαπλασιασμό, είναι μεγαλύτερα ή ίσα ή μικρότερα όταν αυτά ληφθούν σε αντίστοιχη τάξη.
Στη συνέχεια θα συμβολίζουμε αυτό τον ορισμό ως εξής:
Αν Μ>, =<μ,τότε Μ>, =<μ,
Τότε θα συμπεραίνουμε ότι το πρώτο , έχει τον ίδιο λόγο με το , το δεύτερο, με αυτόν που έχει το , το τρίτο, με το το τέταρτο, και θα το γράφουμε με τους παρακάτω τρόπους:
::::·ή, :=:·ή,
/=/: και θα διαβάζουμε,
«ότι είναι το για το , είναι και το για το .»
Και εάν :::: θα συμπεραίνουμε ότι αν
Μ>, =<μ, τότε και
Μ>, =<μ.
Δηλαδή εάν το πρώτο είναι για το δεύτερο ότι είναι και το τρίτο για το τέταρτο τότε, αν Μ φορές το πρώτο είναι μεγαλύτερο, ίσο ή μικρότερο από μ φορές το δεύτερο, τότε και Μ φορές το τρίτο θα είναι αντίστοιχα μεγαλύτερο, ίσο ή μικρότερο από μ φορές το τέταρτο, όπου τα Μ και μ δεν είναι ειδικά πολλαπλάσια αλλά οποιαδήποτε πολλαπλάσια· και τα σύμβολα ,,, κ.ά. δεν θα νοούνται αλλιώς παρά ως γεωμετρικά μεγέθη.
Ο σπουδαστής θα πρέπει να κατανοήσει καλά αυτόν τον ορισμό προτού προχωρήσει παρακάτω.
Προταση IV. θεωρημα.
Εάν πρώτο μέγεθος έχει λόγο προς δεύτερο ίσο με αυτόν που έχει τρίτο προς τέταρτο, τότε οποιαδήποτε ισάκις πολλαπλάσια του πρώτου και του τρίτου θα έχουν τον ίδιο λόγο με οποιαδήποτε άλλα ισάκις πολλαπλάσια του δεύτερου και του τέταρτου. Δηλαδή, το ισάκις πολλαπλάσιο του πρώτου θα έχει τον ίδιο λόγο με αυτό του δεύτερου με αυτόν που θα έχει το ισάκις πολλαπλάσιο του τρίτου προς το τέταρτο.
Έστω ::::, τότε 3 : 2 :: 3 : 2 , κάθε ισάκις πολλαπλάσιο του και του 3 είναι ισάκις πολλαπλάσια των και , και κάθε ισάκις πολλαπλάσιο των 2 και 2 , είναι ισάκις πολλαπλάσια των και (Β.5.πρ.3.)
Δηλαδή, Μ φορές 3 και Μ φορές 3 είναι ισάκις πολλαπλάσια του και , και μ φορές 2 και μ φορές 2 είναι ισάκις πολλαπλάσια των 2 και 2 · αλλά :::: (εξ υπόθ.)· ∴ εάν Μ 3 >, = ή <μ 2 , τότε Μ 3 >, = ή <μ 2 (ορ.5.) και επομένως 3 : 2 :: 3 : 2 (ορ.5.)
Το ίδιο σκεπτικό εφαρμόζει για οποιοδήποτε πολλαπλάσιο πάρουμε του πρώτου και τρίτου, σε σχέση με ίσα πολλαπλάσια του δεύτερου και τέταρτου.
∴ Εάν πρώτο μέγεθος έχει λόγο προς δεύτερο, κ.λπ.
Σ.τ.Μ. Aν α : β :: γ : δ τότε mα : n β :: mγ : n δ, για όλα τα m και n.
Προταση V. θεωρημα.
Εάν πρώτο μέγεθος είναι τόσες φορές πολλαπλάσιο δευτέρου, όσες φορές είναι (πολλαπλάσιο) μέγεθος αφαιρεθέν από το πρώτο άλλου μεγέθους αφαιρεθέντος από το δεύτερο, το υπόλοιπο του πρώτου θα είναι ισάκις πολλαπλάσιο του υπολοίπου του δευτέρου.
Έστω
=Μ′
και =Μ′ ,
∴
μείον =Μ′
μείον Μ′ ,
=Μ′
(
μείον ),
και ∴=Μ′ .
∴ Εάν πρώτο μέγεθος είναι τόσες φορές πολλαπλάσιο δευτέρου κ.λπ.
Σ.τ.Μ. mα − mβ = m(α − β).
Προταση VI. θεωρημα.
Εάν δύο μεγέθη είναι ισάκις πολλαπλάσια δύο άλλων και από αυτά, τα πρώτα, αφαιρεθούν ισάκις πολλαπλάσια των δύο άλλων, τότε τα υπόλοιπα θα είναι είτε ίσα προς τα μεγέθη αυτά, είτε θα είναι ισάκις πολλαπλάσιά τους.
Επομένως, (Μ′ μείον μ′) και (Μ′ μείον μ′) είναι ισάκις πολλαπλάσια των και , και ίσα με και , όταν Μ′ μείον μ′= 1.
∴ Εάν δύο μεγέθη είναι ισάκις πολλαπλάσια δύο άλλων κ.λπ.
Σ.τ.Μ. mα − nα = (m − n) α.
Προταση A. θεωρημα.
Εάν το πρώτο από δύο μεγέθη έχει τον ίδιο λόγο ως προς το δεύτερο όσο ένα τρίτο έχει προς ένα τέταρτο, τότε, αν το πρώτο είναι μεγαλύτερο από το δεύτερο και το τρίτο θα είναι μεγαλύτερο από το τέταρτο, και αν είναι ίσο, θα είναι ίσα (το τρίτο με το τέταρτο), και αν είναι μικρότερο τότε θα είναι μικρότερο (το τρίτο από το τέταρτο).
Έστω ::::· επομένως από τον πέμπτο ορισμό, εάν >, τότε και >· αλλά εάν >, τότε > και >, και ∴>.
Ομοίως, εάν =, ή <, τότε =, ή <.
∴ Εάν το πρώτο από δύο μεγέθη κ.λπ.
Ορισμος XIV.
Οι Γεωμέτρες χρησιμοποιούν τον όρο αντιστροφή (αντίστροφος ή ανάπαλιν λόγος—Invertendo) όταν υπάρχουν τέσσερα ανάλογα μεγέθη, και έπεται ότι το δεύτερο είναι για το πρώτο ότι και το τέταρτο για το τρίτο.
Έστω Α : Β :: Γ : Δ, τότε εξ αντιστροφής συνάγεται ότι Β : Α :: Δ : Γ.
Προταση Β. θεωρημα.
Εάν τέσσερα μεγέθη είναι ανάλογα τότε είναι ανάλογα εάν παρθούν και αντίστροφα.
Έστω M<μ, δηλαδή, μ>M, ∴M<μ, ή, μ>M· ∴ εάν μ>M, τότε και μ>M.
Με τον ίδιο τρόπο μπορεί να αποδειχθεί, ότι,
αν μ= ή <M, τότε και μ=, ή <M· και επομένως, από τον πέμπτο ορισμό, συμπεραίνουμε ότι
::::.
∴ Εάν τέσσερα μεγέθη κ.λπ.
Προταση Γ. θεωρημα.
Εάν μέγεθος είναι πολλαπλάσιο δεύτερου μεγέθους, ή το ίδιο μέρος ή τα ίδια μέρη του, όπως ένα τρίτο (είναι) προς ένα τέταρτο, τότε το πρώτο προς το δεύτερο είναι όπως το τρίτο προς το τέταρτο.
Έστω , είναι το πρώτο, ισάκις πολλαπλάσιο του , του δεύτερου,
που το , το τρίτο, είναι του , του τέταρτου.
Τότε :::: ας πάρουμε Μ,μ,Μ,μ· εφόσον το είναι πολλαπλάσιο το οσάκις (όσες φορές) είναι το του (εξ υπόθ.) ·
και το Μ είναι ισάκις πολλαπλάσιο του που το Μ είναι του , ∴ (σύμφωνα με την τρίτη πρόταση),
Μ είναι πολλαπλάσιο του οσάκις είναι το Μ του .
Επομένως, αν Μ είναι μεγαλύτερο πολλαπλάσιο του απ’ ότι το μ τότε το Μ είναι μεγαλύτερο πολλαπλάσιο του από το μ · δηλαδή, αν Μ είναι μεγαλύτερο από το μ, τότε το Μ θα είναι μεγαλύτερο από το μ· με τον ίδιο τρόπο μπορεί να αποδειχτεί ότι, αν Μ είναι ίσο με το μ, τότε και το
Μ θα είναι ίσο με το μ.
Και γενικότερα, αν Μ>, = ή <μ τότε το Μ θα είναι >, = ή <μ· ∴ από τον πέμπτο ορισμό,
::::.
Στη συνέχεια, έστω ίδιο μέρος του που το είναι του .
Σε αυτή την περίπτωση επίσης ::::.
Διότι, επειδή
είναι το ίδιο μέρος του που το είναι του , έπεται ότι το είναι το ίδιο πολλαπλάσιο του που το είναι του .
Άρα, από την προηγούμενη περίπτωση,
::::· και ∴::::, από την πρόταση Β.
∴ Εάν μέγεθος είναι πολλαπλάσιο δεύτερου μεγέθους κ.λπ.
Προταση Δ. θεωρημα.
Εάν τέσσερα μεγέθη είναι το πρώτο προς το δεύτερο όπως είναι και το τρίτο προς το τέταρτο, και το πρώτο είναι πολλαπλάσιο ή το ίδιο μέρος ή τα ίδια μέρη του δεύτερου, τότε και το τρίτο είναι ισάκις πολλαπλάσιο ή το ίδιο μέρος ή τα ίδια μέρη του τέταρτου.
Έστω ::::· και κατ’ αρχάς, έστω το είναι πολλαπλάσιο του · το θα είναι ισάκις πολλαπλάσιο του .
Ας πάρουμε =.
Οποιοδήποτε πολλαπλάσιο το είναι του παίρνουμε ισάκις πολλαπλάσιο του , έπειτα, επειδή :::: και έχουμε πάρει ισάκις πολλαπλάσια από το δεύτερο και το τέταρτο,
και , έπεται (Β.5.πρ.4),
::::, αλλά (εκ κατάσκ.),
=∴ (Β.5.πρ.Α) = και το είναι ισάκις πολλαπλάσιο του οσάκις το είναι του .
Στη συνέχεια, ας είναι ::::, και επίσης το είναι μέρος του · τότε το θα είναι το ίδιο μέρος του .
Αντίστροφα (Β.5.), ::::, αλλά το είναι μέρος του · δηλαδή, το, είναι πολλαπλάσιο του · ∴ από την προηγούμενη περίπτωση, είναι το ίδιο πολλαπλάσιο του δηλαδή, το είναι το ίδιο μέρος του που το είναι του .
∴ Εάν τέσσερα μεγέθη είναι κ.λπ.
Προταση VII. θεωρημα.
Ισα μεγέθη έχουν τον ίδιο λόγο ως προς τρίτο μέγεθος, και αυτό το μέγεθος έχει επίσης τον ίδιο λόγο ως προς τα ίσα μεγέθη.
Έστω = και οποιοδήποτε άλλο μέγεθος·
τότε :=: και :=:.
Επειδή =, ∴Μ=Μ·
∴ αν Μ>, = ή <μ, τότε
Μ>, = ή <μ, τότε ∴:=: (Β.5.ορ.5).
Από την προηγούμενη επιχειρηματολογία είναι προφανές ότι,
αν μ>, = ή <Μ, τότε
μ>, = ή <Μ ∴:=: (Β.5.ορ.5).
∴ Ίσα μεγέθη έχουν τον ίδιο λόγο ως προς τρίτο μέγεθος κ.λπ.
Σ.τ.Μ. Αν α = β, τότε α : γ :: β : γ και γ : α :: γ : β.
Ορισμος VII.
Oταν από ισάκις πολλαπλάσια τεσσάρων μεγεθών (σύμφωνα με τον πέμπτο ορισμό), το πολλαπλάσιο του πρώτου είναι μεγαλύτερο από το πολλαπλάσιο του δευτέρου, αλλά το πολλαπλάσιο του τρίτου δεν είναι μεγαλύτερο από το πολλαπλάσιο του τετάρτου, τότε το πρώτο θα λέγεται ότι έχει μεγαλύτερο λόγο ως προς το δεύτερο απ’ ότι το τρίτο έχει προς το τέταρτο· και, αντίθετα, το τρίτο λέγεται ότι έχει λόγο ως προς το τέταρτο μικρότερο απ’ ότι το πρώτο έχει προς το δεύτερο.
Αν, μεταξύ των ισάκις πολλαπλασίων τεσσάρων μεγεθών, συγκρινόμενων κατά τον πέμπτο ορισμό, βρούμε >, αλλά = ή <, ή εάν βρούμε κάποιο ειδικό πολλαπλάσιο Μ′ των πρώτου και τρίτου και κάποιο ειδικό πολλαπλάσιο μ′ των δεύτερου και τέταρτου, τέτοια ώστε Μ′ φορές το πρώτο >μ′ το δεύτερο, αλλά Μ′ φορές το τρίτο δεν είνα >μ′ φορές το τέταρτο, δηλαδή είναι = ή <μ′ φορές το τέταρτο· τότε, το πρώτο λέγεται ότι έχει μεγαλύτερο λόγο ως προς το δεύτερο απ’ ότι έχει το τρίτο προς το τέταρτο· ή το τρίτο έχει ως προς το τέταρτο, κάτω από αυτές τις συνθήκες, μικρότερο λόγο απ’ ότι το πρώτο ως προς το δεύτερο· αν και κάποια άλλα ισάκις πολλαπλάσια μπορεί να τείνουν να δείξουν ότι τα τέσσερα μεγέθη είναι ανάλογα.
Αυτός ο ορισμός στη συνέχεια θα εκφράζεται ως εξής:
Αν Μ′>μ′, αλλά Μ′= ή <μ′, τότε :>:.
Στην παραπάνω γενική έκφραση, τα Μ′ και μ′ θεωρούνται ειδικά πολλαπλάσια, όχι σαν και αυτά του πέμπτου ορισμού, που εκεί θεωρούνται τα οποιαδήποτε πολλαπλάσια. Ας υπενθυμίσουμε επίσης, ότι τα ,,, και τα παρόμοια σύμβολα αντιπροσωπεύουν γεωμετρικά μεγέθη.
Με έναν μερικό αριθμητικό τρόπο, αυτό μπορεί να εικονογραφηθεί με τον παρακάτω πίνακα:
Μεταξύ των παραπάνω πολλαπλασίων βρίσκουμε 16>14 και 20>18· δηλαδή το διπλάσιο του πρώτου είναι μεγαλύτερο από το διπλάσιο του δεύτερου και το διπλάσιο του τρίτου είναι μεγαλύτερο από το διπλάσιο του τέταρτου· το διπλάσιο του πρώτου είναι μικρότερο από το τριπλάσιο του δεύτερου και το διπλάσιο του τρίτου είναι μικρότερο από το τριπλάσιο του τέταρτου· και ανάμεσα στα ίδια πολλαπλάσια μπορούμε να βρούμε 72>56 και 90>72· δηλαδή 9 φορές το πρώτο είναι μεγαλύτερο από 8 φορές το δεύτερο και 9 φορές το τρίτο είναι μεγαλύτερο από 8 φορές το τέταρτο. Μπορούν να επιλεγούν πολλά άλλα πολλαπλάσια, τα οποία τείνουν να επιβεβαιώσουν ότι οι αριθμοί 8,7,10,9, είναι ανάλογοι, αλλά δεν είναι, γιατί μπορούμε να βρούμε ένα πολλαπλάσιο του πρώτου > πολλαπλάσιο του δεύτερου, αλλά το ισάκις πολλαπλάσιο του τρίτου όχι > από το ισάκις πολλαπλάσιο του τέταρτου· για παράδειγμα, 9 φορές το πρώτο είναι > 10 φορές το δεύτερο, αλλά 9 φορές το τρίτο δεν είναι > 10 φορές το τέταρτο, δηλαδή 72>70, αλλά 90 όχι >90, ή 8 φορές το πρώτο > 9 φορές το δεύτερο, αλλά το 8 φορές το τρίτο δεν είναι μεγαλύτερο από 9 φορές το τέταρτο, δηλαδή το 64>63, αλλά το 80 δεν είναι >81. Όταν υπάρχουν τέτοια πολλαπλάσια όπως αυτά, το πρώτο (8) λέγεται ότι έχει ως προς το δεύτερο (7) μεγαλύτερο λόγο από τον λόγο του τρίτου (10) προς το τέταρτο (9), και αντίθετα, το τρίτο (10) λέγεται ότι έχει μικρότερο λόγο ως προς το τέταρτο (9) μικρότερο λόγο από τον λόγο του πρώτου (8) προς το δεύτερο (7).
Προταση VIII. θεωρημα.
Από άνισα μεγέθη το μεγαλύτερο έχει μεγαλύτερο λόγο προς τρίτο μέγεθος απ’ ότι έχει το μικρότερο, και το τρίτο μέγεθος έχει μεγαλύτερο λόγο προς το μικρότερο απ’ ότι έχει με το μεγαλύτερο.
Έστω και είναι δύο άνισα μεγέθη, και ένα οποιοδήποτε τρίτο.
Θα αποδείξουμε πρώτα ότι το που είναι το μεγαλύτερο από τα δύο, έχει μεγαλύτερο λόγο ως προς το απ’ ότι το , το μικρότερο, έχει προς το ·
δηλαδή, :>:· ας πάρουμε τα Μ′,μ′,Μ′, και μ′ τέτοια ώστε Μ′ και Μ′ θα είναι το καθένα >· επίσης ας πάρουμε μ′ το ελάχιστο πολλαπλάσιο του , που θα κάνει μ′>Μ′=Μ′· ∴Μ′ δεν είναι >μ′, αλλά το Μ′ είναι >μ′, διότι,
καθώς το μ′ είναι το πρώτο πολλαπλάσιο που γίνεται >Μ′, από το (μ′ μείον 1) ή μ′ μείον δεν είναι >Μ′, και το δεν είναι >Μ′, ∴μ′ μείον + πρέπει να είναι <Μ′+Μ′· δηλαδή, μ′ πρέπει να είναι <Μ′· ∴Μ′ είναι >μ′· αλλά δείξαμε παραπάνω ότι
Μ′ δεν είναι >μ′, επομένως, σύμφωνα με τον έβδομο ορισμό,
το έχει ως προς το μεγαλύτερο λόγο από ότι ο :.
Στη συνέχεια θα αποδείξουμε ότι το έχει μεγαλύτερο λόγο προς το , μικρότερο από αυτόν που έχει με το , το μεγαλύτερο·
ή, :>:.
Αν πάρουμε μ′,Μ′,μ′, και Μ′, ίδια όπως στην πρώτη περίπτωση, τέτοια ώστε
Μ′ και Μ′ θα είναι το καθένα >, και μ′ το ελάχιστο πολλαπλάσιο του , που πρώτο γίνεται μεγαλύτερο από Μ′=Μ′.
∴μ′ μείον δεν είναι >Μ′, και δεν είναι >Μ′· επομένως
μ′ μείον + είναι <Μ′+Μ′· ∴μ′ είναι <Μ′, και ∴ από τον έβδομο ορισμό,
το έχει ως προς το μεγαλύτερο λόγο απ’ ότι έχει το προς το .
∴ Από άνισα μεγέθη κ.λπ.
Το τέχνασμα που χρησιμοποιήθηκε σε αυτή την πρόταση για να βρεθεί μεταξύ των πολλαπλασίων που ελήφθησαν, βάσει του πέμπτου ορισμού, ένα πολλαπλάσιο του πρώτου μεγαλύτερο από το πολλαπλάσιο του δεύτερου, αλλά το ισάκις πολλαπλάσιο του τρίτου, όχι μεγαλύτερο από το ισάκις πολλαπλάσιο του τετάρτου μπορεί να απεικονισθεί αριθμητικά ως εξής:
Ο αριθμός 9 έχει μεγαλύτερο λόγο ως προς το 7 απ’ ότι το 8 προς το 7· δηλαδή, 9 : 7>8 : 7· ή, 8+1 : 7>8 : 7.
Το πρώτο πολλαπλάσιο του 1, το οποίο γίνεται μεγαλύτερο από 7, είναι 8 φορές, επομένως μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε τον πρώτο και τον τρίτο με 8, 9, 10, ή με οποιοδήποτε άλλο μεγαλύτερο αριθμό· σε αυτή την περίπτωση, ας πολλαπλασιάσουμε τον πρώτο και τον τρίτο με 8 και έχουμε 64+ 8 και 64· πάλι, το πρώτο πολλαπλάσιο του 7 το οποίο γίνεται μεγαλύτερο από 64 είναι 10 φορές· τότε, πολλαπλασιάζοντας το δεύτερο και το τέταρτο με 10, θα έχουμε 70 και 70· τότε, διευθετώντας αυτά τα πολλαπλάσια, έχουμε—
64+ 8
70
64
70
Συνεπώς, το 64+ 8, ή το 72, είναι μεγαλύτερο από το 70, αλλά το 64 δεν είναι μεγαλύτερο από 70, ∴ με τον έβδομο ορισμό, το 9 θα έχει μεγαλύτερο λόγο ως προς το 7 απ’ ότι το 8 προς το 7.
Τα παραπάνω είναι απλώς ενδεικτικά της προηγούμενης απόδειξης, διότι αυτή η ιδιότητα θα μπορούσε να αποδειχθεί με αυτούς ή άλλους αριθμούς πολύ εύκολα με τον ακόλουθο τρόπο: επειδή εάν ένας ηγούμενος όρος περιέχει τον επόμενο του περισσότερες φορές από ότι ένας άλλος ηγούμενος όρος περιέχει τον επόμενο του, ή όταν ένα κλάσμα σχηματίζεται από ένα ηγούμενο για τον αριθμητή και τον επόμενο του για παρονομαστή είναι μεγαλύτερο από ένα άλλο κλάσμα το οποίο σχηματίζεται από έναν άλλο ηγούμενο για αριθμητή και τον επόμενο του για παρονομαστή, ο λόγος του πρώτου ηγούμενου προς τον επόμενο του είναι μεγαλύτερος από τον λόγο του τελευταίου ηγούμενου προς τον επόμενο του.
Έτσι, ο αριθμός 9 έχει μεγαλύτερο λόγο ως προς το 7, απ’ ότι το 8 προς το 7, διότι το
9/7
είναι μεγαλύτερο από το
8/7.
Και πάλι, το 17 : 19 είναι μεγαλύτερο από το 13 : 15, διότι
17/19=17 × 15/19 × 15=255/285,
και
13/15=13 × 19/15 × 19=247/285,
είναι προφανές ότι το
255/285
είναι μεγαλύτερο από
247/285,
το17/19
είναι μεγαλύτερο από
13/15,
και, σύμφωνα με όσα αποδείχθηκαν παραπάνω, το 17 έχει μεγαλύτερο λόγο ως προς το 19 απ’ ότι το 13 προς το 15.
Έτσι, γενικά, όταν υπάρχει ένας μεγαλύτερος, ίσος ή μικρότερος λόγος, ισχύουν τα εξής:
Εάν το
Α/Β
είναι μεγαλύτερο από το
Γ/Δ,
λέγεται ότι το Α πρέπει να έχει μεγαλύτερο λόγο ως προς το Β από αυτόν που έχει το Γ προς το Δ· εάν το
Α/Β
είναι ίσο με
Γ/Δ,
τότε το Α πρέπει να έχει ως προς το Β τον ίδιο λόγο που το Γ έχει με το Δ· και αν το
Α/Β
είναι μικρότερο από το
Γ/Δ,
λέγεται ότι το Α πρέπει να έχει μικρότερο λόγο ως προς το από το Β από αυτόν που έχει το Γ προς το Δ.
Ο μαθητής θα πρέπει να κατανοήσει πλήρως την πρόταση αυτή προτού προχωρήσει παρακάτω προκειμένου να κατανοήσει πλήρως τις επόμενες προτάσεις αυτού του βιβλίου. Συνεπώς, συνιστούμε ένθερμα στον εκπαιδευόμενο να ξεκινήσει ξανά από την αρχή και να διαβάσει αργά και προσεκτικά έως εδώ, και να αιτιολογεί σε κάθε του βήμα, καθώς προχωρά, προστατευόμενος ιδιαίτερα από το αμαρτωλό σύστημα που εξαρτάται εξ ολοκλήρου από τη μνήμη. Ακολουθώντας αυτές τις οδηγίες, θα διαπιστώσει ότι τα τμήματα που συνήθως παρουσιάζουν σημαντικές δυσκολίες δεν θα παρουσιάσουν καθόλου δυσκολίες, στην επιδίωξη της μελέτης αυτού του σημαντικού βιβλίου.
Σ.τ.Μ. Αν α > β, τότε α : γ > β : γ και γ : α < γ : β.
Προταση IX. θεωρημα.
Μεγέθη που έχουν τον ίδιο λόγο προς ένα τρίτο μέγεθος είναι ίσα μεταξύ τους· και εκείνα (τα μεγέθη) προς τα οποία ένα τρίτο μέγεθος έχει τον ίδιο λόγο, είναι πάλι ίσα μεταξύ τους.
Έστω ::::, τότε =.
Διότι, εάν δεν ίσχυε, έστω >, τότε
:>: (Β.5.πρ.8),
όπερ άτοπο σύμφωνα με την υπόθεση.
∴ δεν είναι >.
Με τον ίδιο τρόπο μπορεί να αποδειχτεί ότι
δεν είναι >, ∴=.
Ξανά, έστω ::::, τότε =.
Διότι ::::, επομένως, από την πρώτη περίπτωση, =.
∴ Μεγέθη που έχουν ίδιο λόγο προς ένα τρίτο μέγεθος κ.λπ
Αυτό μπορεί να αποδειχθεί διαφορετικά, ως εξής:
Έστω Α : Β=Α : Γ, τότε Β=Γ, διότι καθώς το κλάσμα
Α/Β=Α/Γ,
και ο αριθμητής του ενός ισούται με τον αριθμητή του άλλου, συνάγεται ότι και οι παρονομαστές θα είναι ίσοι, δηλαδή Β=Γ.
Επίσης, αν Β : Α=Γ : Α, Β=Γ. Διότι, εφόσον
Β/Α=Γ/Α,
το Β πρέπει να =Γ.
Σ.τ.Μ. Αν α : γ :: β : γ τότε α = β και αν α : β :: α : γ τότε β = γ.
Προταση X. θεωρημα.
Από τα μεγέθη τα οποία έχουν λόγο προς τρίτο μέγεθος, μεγαλύτερο είναι αυτό που έχει τον μεγαλύτερο λόγο· το δε μέγεθος προς το οποίο το τρίτο έχει τον μεγαλύτερο λόγο, αυτό είναι μικρότερο.
Έστω :>:, τότε >.
Διότι εάν δεν ίσχυε, έστω = ή <· τότε, :=: (Β.5.πρ.7) ή
:<: (Β.5.πρ.8) και (εξ αντιστροφής.),
όπερ άτοπο, σύμφωνα με την υπόθεση.
∴ δεν είναι = ή <, και
∴ πρέπει να είναι >.
Ξανά, έστω :>:, τότε, <.
Διότι εάν δεν ήταν, το, θα έπρεπε να είναι > ή =, τότε :<: (Β.5.πρ.8) και (εξ αντιστροφής)·
ή :=: (Β.5.πρ.7), όπερ άτοπο· (εξ υπόθ.)·
∴ δεν είναι > ή = με το , και ∴ πρέπει να είναι <.
∴ Από τα μεγέθη τα οποία έχουν λόγο προς τρίτο μέγεθος κ.λπ.
Σ.τ.Μ. Αν α : γ > β : γ τότε α > β και αν γ : β > γ : α τότε β < α.
Προταση XI. θεωρημα.
Οι λόγοι οι οποίοι είναι ίσοι προς τον ίδιο λόγο, είναι και μεταξύ τους ίσοι.
Έστω :=: και := : ,
τότε := : .
Διότι, αν Μ>, =, ή <μ, τότε Μ>, =, ή <μ, και αν Μ>, =, ή <μ, τότε Μ>, =, ή <μ, (Β.5.ορ.5)·
∴ αν Μ>, =, ή <μ,Μ>, =, ή <μ,
και ∴ (Β.5.ορ.5) := : .
∴ Οι λόγοι οι οποίοι είναι ίσοι προς τον ίδιο λόγο κ.λπ.
Η πρόταση αυτή μας πληροφορεί ότι οι λόγοι δεν είναι αριθμοί, γιατί αν ήταν θα έφτανε η αναφορά στην κοινή έννοια 1.
Προταση XII. θεωρημα.
Εάν υπάρχουν οσαδήποτε μεγέθη σε αναλογία, τότε ο λόγος ενός των ηγουμένων προς ένα των επομένων, θα είναι ίσος με τον λόγο του αθροίσματος των ηγουμένων προς το άθροισμα των επομένων.
Έστω :=:=:= : = : ·
τότε := ++++ : ++++.
Διότι εάν Μ>μ, τότε Μ>μ, και Μ>μΜ>μ,
και Μ>μ. (Β.5.ορ.5.)
Επομένως, αν Μ+Μ+Μ+Μ+Μ,
ή Μ (++++) θα είναι μεγαλύτερο από
το μ+μ+μ+μ+μ,
ή μ (++++).
Με τον ίδιο τρόπο μπορεί να αποδειχτεί ότι, εάν Μ φορές κάποιον από τους ηγούμενους είναι ίσο ή μικρότερο από μ φορές κάποιον από τους επόμενους, τότε Μ φορές επί όλους τους ηγούμενους θα είναι ίσο ή μικρότερο από μ φορές όλους τους επόμενους. Επομένως, από τον πέμπτο ορισμό, ότι λόγο έχει κάποιος από τους ηγούμενους με τον επόμενό του, τον ίδιο θα έχει και το άθροισμα των ηγουμένων προς το άθροισμα των επομένων.
Εάν πρώτο μέγεθος προς δεύτερο έχει τον ίδιο λόγο που έχει τρίτο προς τέταρτο, και τρίτο προς τέταρτο έχει μεγαλύτερο λόγο απ’ ότι πέμπτο προς έκτο, τότε και το πρώτο προς το δεύτερο θα έχει μεγαλύτερο λόγο απ’ ότι το πέμπτο προς το έκτο.
Έστω :=:, αλλά :>:, τότε :>:.
Διότι, επειδή :>:, υπάρχουν πολλαπλάσια (Μ′ και μ′) του και , και των και , τέτοια ώστε Μ′>μ′, αλλά Μ′ όχι >μ′, από τον έβδομο ορισμό.
Ας πάρουμε αυτά τα πολλαπλάσια, και τα ισάκις πολλαπλάσια των και .
∴ (Β.5.ορ.5.) αν Μ′>, =, ή <μ′· τότε Μ′>, =, <μ′, αλλά Μ′>μ′ (κατασκευή)·
∴Μ′>μ′, αλλά Μ′ δεν είναι >μ′ (κατασκευή)·
και επομένως από τον έβδομο ορισμό,
:>:.
Εάν πρώτο προς δεύτερο έχει τον ίδιο λόγο που έχει τρίτο προς τέταρτο, τότε αν το πρώτο είναι μεγαλύτερο από το τρίτο, και το δεύτερο θα είναι μεγαλύτερο από το τέταρτο· αν είναι ίσα θα είναι ίσα· και αν είναι μικρότερο θα είναι μικρότερο.
Έστω ::::, και κατ’αρχάς υποθέτουμε ότι
>, τότε >.
Οι όροι Permutando ή alternando (εναλλάξ λόγος), χρησιμοποιούνται όταν υπάρχουν τέσσερα ανάλογα μεγέθη, και συνεπάγεται ότι το πρώτο έχει τον ίδιο λόγο με το τρίτο που έχει το δεύτερο προς το τέταρτο· ή ότι το πρώτο είναι προς το τρίτο όπως είναι και το δεύτερο προς το τέταρτο· όπως φαίνεται στην ακόλουθη πρόταση:—
Έστω ::::, θα συμπεραίνουμε ότι “εναλλάξ” θα
ισχύει ::::.
Είναι ίσως αναγκαίο εδώ να υπογραμμίσουμε ότι τα μεγέθη ,,,, πρέπει να είναι ομοιογενή, δηλαδή του ίδιου είδους· θα πρέπει λοιπόν σε τέτοιες περιπτώσεις να συγκρίνουμε γραμμές με γραμμές, επιφάνειες με επιφάνειες, όγκους με όγκους, κ.λπ. Ο σπουδαστής πρέπει να κατανοήσει ότι ετερογενή (ανομοιογενή) μεγέθη δεν μπορούν ποτέ να βρεθούν σε σχέση ηγούμενου προς επόμενο.
Προταση XVI. θεωρημα.
Αν τέσσερα μεγέθη αποτελούν αναλογία, τότε και εναλλάξ (δηλαδή ηγούμενος προς ηγούμενο και επόμενος προς επόμενο) θα αποτελούν αναλογία.
Dividendo (διαίρεση λόγου), είναι ο τεχνικός όρος όπου, εάν υπάρχουν τέσσερα μεγέθη σε αναλογία θα συνεπάγεται ότι η διαφορά του πρώτου από τον δεύτερο είναι για τον δεύτερο, όπως είναι η διαφορά του τρίτου από τον τέταρτο, ως προς τον τέταρτο.
Σύμφωνα με το παραπάνω, το Α πρέπει να είναι μεγαλύτερο από το Β, και το Γ μεγαλύτερο από το Δ· εάν αυτό δεν ισχύει, και το Β είναι μεγαλύτερο από το Α, και το Δ μεγαλύτερο από το Γ, τότε τα Β και Δ μπορούμε να τα θεωρήσουμε ως ηγούμενους, και τα Α και Γ ως επόμενους, με αντιστροφή
Αν δύο μεγέθη αποτελούν μέρος δύο άλλων μεγεθών και βρίσκονται σε αναλογία με αυτά, τότε, αν χωριστούν από αυτά, θα αποτελούν και πάλι αναλογία.
Έστω +:::+:, τότε ::::.
Αν πάρουμε Μ>μ και προσθέσουμε στον κάθε όρο Μ, τότε θα έχουμε Μ+Μ>μ+Μ, ή Μ (+) > (μ + Μ) : αλλά επειδή +:::+: (εξ υποθ.),
και Μ (+) > (μ + Μ) · ∴Μ (+) > (μ + Μ) (Β.5.ορ.5)·
∴Μ+Μ>μ+Μ· ∴Μ>μ, αν αφαιρέσουμε το Μ και από τις δύο πλευρές:
δηλαδή, όταν Μ>μ, τότε Μ>μ.
Με τον ίδιο τρόπο μπορεί να αποδειχτεί, ότι εάν
Μ= ή <μ, τότε Μ= ή <μ· και ∴:::: (Β.5.ορ.5).
∴ Αν δύο μεγέθη αποτελούν μέρος δύο άλλων μεγεθών κ.λπ.
Ο όρος Componendo (σύνθεση λόγου), χρησιμοποιείται όταν υπάρχουν τέσσερα μεγέθη σε αναλογία και συνεπάγεται ότι το άθροισμα του πρώτου με το δεύτερο είναι για το δεύτερο όπως είναι και το άθροισμα του τρίτου με τον τέταρτο ως προς τον τέταρτο.
Έστω Α : Β :: Γ : Δ·
τότε με τον όρο Componendo εννοούμε ότι
Α+Β : Β :: Γ+Δ : Δ.
Με αντιστροφή τα Β και Δ μπορούν να γίνουν το πρώτο και το τρίτο και τα Α και Γ το δεύτερο και το τέταρτο
Β : Α :: Δ : Γ,
Οπότε, εκ συνθέσεως (Componendo), συνεπάγεται ότι
Β+Α : Α :: Δ+Γ : Γ.
Προταση XVIII. θεωρημα.
Αν μεγέθη διηρημένα αποτελούν αναλογία, τότε και προστιθέμενα θα αποτελούν πάλι αναλογία. Δηλαδή το πρώτο με το δεύτερο μαζί θα είναι ως προς το δεύτερο, ότι και το τρίτο και το τέταρτο μαζί, ως προς το τέταρτο.
Έστω ::::, τότε +:::+:· διότι εάν όχι, έστω +:::+:, με την υπόθεση ότι δεν είναι =· ∴:::: (Β.5.πρ.17)·
αλλά :::: (εξ υποθ.)·
∴:::: (Β.5.πρ.11)·
∴= (Β.5.πρ.9),
που αντίκειται (δεν συμφωνεί με) στην υπόθεση·
∴ δεν είναι άνισο με το · δηλαδή =· ∴+:::+:.
Ο όροςconvertendo (αναστροφή λόγου), χρησιμοποιείται από τους γεωμέτρες όταν υπάρχουν τέσσερα μεγέθη σε αναλογία και συνεπάγεται ότι το πρώτο είναι σε σχέση με την διαφορά του από το δεύτερο, όπως είναι και το τρίτο ως προς την διαφορά του από τον τέταρτο. Δείτε την επόμενη πρόταση:—
Προταση E. Θεωρημα.
Όταν υπάρχουν τέσσερα μεγέθη σε αναλογία, τότε θα είναι σε αναλογία και εξ αναστροφής, δηλαδή το πρώτο είναι σε σχέση με την διαφορά του από το δεύτερο, όπως είναι και το τρίτο ως προς την διαφορά του από τον τέταρτο.
“Ex æquali” ή ex æquo (δι’ ίσου λόγος), από την ισότητα της απόστασης: είναι αν υπάρχουν μεγέθη (περισσότερα από δύο) και άλλα τόσα ίσα σε πλήθος με αυτά, τα οποία λαμβανόμενα ανά δύο να βρίσκονται σε αναλογία, και ο λόγος του πρώτου προς το τελευταίο στα πρώτα μεγέθη να είναι ίδιος με το λόγο του πρώτου προς τον τελευταίο στα δεύτερα μεγέθη. Διαφορετικά ειπωμένο, δι’ ίσου λόγος (ex æquo) είναι η λήψη των άκρων όρων με εξαίρεση των μέσων: «αυτού (του λόγου) υπάρχουν δύο είδη, ανάλογα με την σειρά με την οποία θα λαμβάνονται ανά δύο τα μεγέθη»· αυτά τα δύο είδη ορίζονται στους επόμενους ορισμούς.
Ορισμός XIX.
“Ex æquali.” Αυτός ο όρος χρησιμοποιείται όταν το πρώτο μέγεθος είναι ως προς το δεύτερο της ίδιας σειράς, όπως είναι και το πρώτο προς το δεύτερο της άλλης σειράς· και όπως είναι το δεύτερο προς το τρίτο της πρώτης σειράς είναι και το δεύτερο προς το τρίτο της άλλης σειράς, κ.ο.κ. Η αναλογία αυτή, μία από τις δύο περιπτώσεις του προηγούμενου ορισμού, λέγεται ποσοστό, και αποδεικνύεται στο Βιβλίο 5, pr. 22.
Αν είναι λοιπόν δύο σειρές μεγεθών,
A, B, Γ, Δ, E, Ζ, η πρώτη σειρά,
και Λ, M, N, Ξ, Ο, Π, η δεύτερη,
έτσι ώστε A : B :: Λ : M, B : Γ :: M : N,
Γ : Δ :: N : Ξ, Δ : E :: Ξ : Ο, E : Ζ :: Ο : Π·
Η αναλογία είναι τεταγμένη και
ο δι’ ίσου λόγος (ex æquali) είναι
A : Ζ :: Λ : Π.
Ορισμός XX.
“Ex æquali in proportione perturbatâ ή τεταραγμένη αναλογία. Αυτός ο όρος χρησιμοποιείται όταν το πρώτο μέγεθος είναι προς το δεύτερο της πρώτης σειρά όπως το προτελευταίο είναι ως προς το τελευταίο της δεύτερης σειράς, και το δεύτερο προς το τρίτο της πρώτης σειράς είναι όπως το προ-προτελευταίο προς το προτελευταίο της δεύτερης σειράς κ.ο.κ. Αυτή είναι η δεύτερη περίπτωση του 18ου ορισμού και αποδεικνύεται στο Βιβλίο 5, πρ.23.
Έτσι, αν είναι δύο σειρές μεγεθών,
A, B, Γ, Δ, E, Ζ, η πρώτη σειρά,
και Λ, M, N, Ξ, Ο, Π, η δεύτερη,
έτσι ώστε A : B :: Ο : Π, B : Γ :: Ξ : Ο,
Γ : Δ :: N : Ξ, Δ : E :: M : N, E : Ζ :: Λ : M·
Η αναλογία είναι τεταραγμένη και ο δι’ ίσου λόγος (ex æquali in proportione perturbatâ ſeu inordinatâ) είναι πάλι
A : Ζ :: Λ : Π.
Προταση XX. θεωρημα.
Έστω τρία μεγέθη και άλλα τρία ίσα κατά το πλήθος με αυτά και τα οποία ανά δύο έχουν τον ίδιο λόγο. Αν δημιουργηθεί αναλογία δι’ ίσου λόγου (με εξαίρεση των μέσων όρων), τότε οποιαδήποτε σχέση έχει το πρώτο με το τρίτο μέγεθος, την ίδια σχέση θα έχει το τέταρτο με το έκτο μέγεθος.
Έστω ,,, είναι τα πρώτα τρία μεγέθη,
και ,,, είναι τα άλλα τρία,
τέτοια ώστε ::::, και ::::.
Σ.τ.Μ. Aν α : β :: δ : ε και β : γ :: ε : ζ τότε α >, = ή < γ αν δ >, = ή < ζ αντίστοιχα.
Προταση XXI. θεωρημα.
Αν υπάρχουν τρία μεγέθη και άλλα ίσα κατά το πλήθος με αυτά, έτσι ώστε λαμβανόμενα ανά δύο να έχουν τον ίδιο λόγο και είναι η αναλογία τους τεταραγμένη, τότε: αν το πρώτο είναι μεγαλύτερο από το τρίτο, θα είναι και το τέταρτο μεγαλύτερο από το έκτο. Αντίστοιχα, αν το πρώτο είναι ίσο με το τρίτο, θα είναι και το τέταρτο ίσο με το έκτο, και εάν το πρώτο είναι μικρότερο από το τρίτο, θα είναι και το τέταρτο μικρότερο από το έκτο.
Έστω ,,, είναι τα πρώτα τρία μεγέθη,
και ,,, είναι τα άλλα τρία,
τέτοια ώστε ::::, και ::::.
Τότε, αν >, =, ή <, τότε
και >, =, ή <.
Κατ’ αρχάς, έστω είναι >: τότε, επειδή το είναι οποιοδήποτε άλλο μέγεθος,
:>: (Β.5.πρ.8)·
αλλά :::: (εξ υποθ.)·
∴:>: (Β.5.πρ.13)·
και επειδή :::: (εξ υποθ.)·
∴:::: (εξ αναστροφής.),
και αποδείχτηκε ήδη ότι :>:, ∴:>: (Β.5.πρ.13)·
∴<, δηλαδή >.
Στη συνέχεια, έστω είναι <, τότε το θα είναι <· διότι >, και έχει αποδειχτεί ήδη ότι :=:, και :=:· ∴ από την πρώτη περίπτωση είναι >, δηλαδή, <.
∴ Αν υπάρχουν τρία μεγέθη και άλλα ίσα κ.λπ.
Σ.τ.Μ. Aν α : β :: ε : ζ και β : γ :: δ : ε τότε α >, = ή < γ αν δ >, = ή < ζ αντίστοιχα.
Προταση XXII. θεωρημα.
Αν υπάρχουν δύο ομάδες μεγεθών ίσου πλήθους, έτσι ώστε λαμβανόμενα αυτά με τη σειρά ανά δύο να έχουν τον ίδιο λόγο, τότε το πρώτο θα έχει με το τελευταίο της πρώτης ομάδας τον ίδιο λόγο που έχει το πρώτο με το τελευταίο της δεύτερης ομάδας (οι δι’ ίσου λόγοι είναι ίσοι).
Σημείωση—Αυτό συνήθως αποδίδεται με τον όρο “ex æquali,” or “ex æquo.” (Σ.τ.μ.: τεταγμένη αναλογία.)
Κατ’ αρχάς, έστω κάποια μεγέθη ,,, και άλλα τόσα ,,, τέτοια ώστε
::::, και ::::· τότε ::::.
Έστω αυτά τα μεγέθη, όπως και οποιαδήποτε ισάκις πολλαπλάσια των ηγουμένων και των επομένων των λόγων, να είναι ως εξής:—
,,,,,, και
M,μ,N,M,μ,N, επειδή ::::· ∴M:μ::M:μ (Β.5.πρ.4).
Για τον ίδιο λόγο
μ:N::μ:N· και επειδή υπάρχουν τρία μεγέθη,
M,μ,N, και άλλα τρία M,μ,N, τα οποία, λαμβανόμενα ανά δύο έχουν τον ίδιο λόγο·
∴ αν M>, =, <N τότε M>, =, <N, λόγω (Β.5.πρ.20)·
και ∴:::: (ορ.5).
Στη συνέχεια, έστω τέσσερα μεγέθη, ,,,, και άλλα τέσσερα ,,,, τα οποία αν τα πάρουμε ανά δύο, έχουν τον ίδιο λόγο,
δηλαδή, ::::, ::::, και ::::, τότε ::::· διότι, επειδή ,,, είναι τρία μεγέθη,
και ,,, άλλα τρία,
τα οποία λαμβανόμενα ανά δύο έχουν τον ίδιο λόγο·
επομένως, από την προηγούμενη περίπτωση, ::::, αλλά ::::· επομένως ξανά, λόγω της πρώτης περίπτωσης, ::::· κ.ο.κ., για οποιοδήποτε πλήθος μεγεθών.
∴ Αν υπάρχουν δύο ομάδες μεγεθών ίσου πλήθους κ.λπ.
Σ.τ.Μ. Aν α : β :: ε : ζ και β : γ :: ζ : η και γ : δ :: η : θ τότε α : δ :: ε : θ.
Προταση XXIII. θεωρημα.
Αν υπάρχουν δύο ομάδες μεγεθών ίσου πλήθους, έτσι ώστε λαμβανόμενα αυτά διαγωνίως ανά δύο να έχουν τον ίδιο λόγο, τότε το πρώτο θα έχει με το τελευταίο της πρώτης ομάδας τον ίδιο λόγο που έχει το πρώτο με το τελευταίο της δεύτερης ομάδας (οι δι’ ίσου λόγοι είναι ίσοι).
Σημείωση—Αυτό συνήθως αποδίδεται με τον όρο “ex æquali in proportione perturbatâ·” ή “ex æquo perturbato.” (Σ.τ.μ.: τεταραγμένη αναλογία.)
Κατ’ αρχάς, έστω τρία μεγέθη ,,, και άλλα τρία ,,, τα οποία λαμβανόμενα ανά δύο διαγωνίως, έχουν τον ίδιο λόγο·
δηλαδή, ::::,και ::::,τότε ::::.
Έστω ότι αυτά τα μεγέθη και τα αντίστοιχα ισάκις πολλαπλάσιά τους, τα διευθετούμε ως εξής:—
,,,,,, M,M,μ,M,μ,μ, τότε :::M:M (Β.5.πρ.15)·
και για τον ίδιο λόγο
:::μ:μ· αλλά :::: (εξ υποθ.),
∴M:M::: (Β.5.πρ.11)·
και επειδή :::: (εξ υποθ.),
∴M:μ::M:μ (Β.5.πρ.4)·
τότε, επειδή υπάρχουν τρία μεγέθη,
M,M,μ, και άλλα τρία, M,μ,μ, τα οποία λαμβανόμενα ανά δύο διαγωνίως, έχουν τον ίδιο λόγο·
επομένως, αν M>, =, ή <μ, τότε M>, =, ή <μ (Β.5.πρ.21),
και ∴:::: (Β.5.ορ.5).
Στη συνέχεια, έστω τέσσερα μεγέθη,
,,,, και άλλα τέσσερα, ,,,, τα οποία λαμβανόμενα ανά δύο διαγωνίως, έχουν τον ίδιο λόγο· δηλαδή,
::::,::::,και ::::.τότε ::::.
Διότι, επειδή ,, είναι τρία μεγέθη,
και ,,, άλλα τρία,
τα οποία λαμβανόμενα ανά δύο διαγωνίως, έχουν τον ίδιο λόγο,
επομένως, λόγω της πρώτης περίπτωσης, ::::, αλλά ::::, επομένως ξανά, λόγω της πρώτης περίπτωσης, ::::· κ.ό.κ, για οποιοδήποτε αριθμό τέτοιων μεγεθών.
∴ Αν υπάρχουν δύο ομάδες μεγεθών ίσου πλήθους κ.λπ.
Αν ένα πρώτο μέγεθος προς ένα δεύτερο έχει τον ίδιο λόγο που έχει ένα τρίτο προς ένα τέταρτο μέγεθος και ένα πέμπτο μέγεθος προς το δεύτερο έχει τον ίδιο λόγο που έχει ένα έκτο μέγεθος προς το τέταρτο, τότε το άθροισμα του πρώτου και του πέμπτου προς το δεύτερο θα έχει τον ίδιο λόγο που έχει το άθροισμα του τρίτου και του έκτου προς το τέταρτο.
Αν τέσσερα μεγέθη βρίσκονται σε αναλογία, τότε το άθροισμα του μεγαλύτερου και του μικρότερου από αυτά είναι μεγαλύτερο από το άθροισμα των δύο άλλων.
Έστω τέσσερα ομοειδή μεγέθη +,+,, και , είναι ανάλογα, δηλαδή,
+:+:::, και έστω το + είναι το μεγαλύτερο από τα τέσσερα, τότε
από τις προτάσεις Α και 14 του 5ου Βιβλίου, το θα είναι το μικρότερο·
τότε ++ θα είναι >++; διότι +:+:::,
∴> (Β.5.πρ.Α)·
tαν προσθέσουμε στο καθένα +, ∴++>++.
∴ Αν τέσσερα μεγέθη βρίσκονται σε αναλογία κ.λπ.
Σ.τ.Μ. Aν α : β :: γ : δ, και ο α είναι ο μεγαλύτερος και δ ο μικρότερος, τότε α + δ > β + γ.
Ορισμος X.
Εάν τρία μεγέθη είναι ανάλογα, το πρώτο λέμε ότι έχει προς το τρίτο το διπλάσιο λόγο από αυτόν που έχει ως προς το δεύτερο. [Σ.τ.μ. Με τον όρο διπλάσιο εννοεί υψωμένο στο τετράγωνο]
Για παράδειγμα εάν τα A, B, Γ, βρίσκονται σε συνεχή αναλογία, δηλαδή A : B :: B : Γ, το A λέγεται ότι έχει προς το Γ τον διπλάσιο λόγο του A : B·
ή
A/Γ= το τετράγωνο του
A/B.
Αυτή η ιδιότητα μπορεί να φανεί πιο καθαρά με τις εξής ποσότητες
aρ2, aρ, a, for aρ2 : aρ :: aρ : a;
και
aρ2/a=ρ2= το τετράγωνο του
aρ2/aρ=ρ,
ή τις a, aρ, aρ2;
διότι
a/aρ2=1/ρ2=
το τετράγωνο του
a/aρ=1/ρ.
Ορισμος XI.
Όταν τέσσερα μεγέθη βρίσκονται σε συνεχή αναλογία, το πρώτο λέμε ότι έχει τον τριπλάσιο λόγο ως προς το τέταρτο από αυτόν που έχει ως προς το δεύτερο· κ.ό.κ. για κάθε αριθμό αναλόγων μεγεθών. [Σ.τ.μ. Με τον όρο τριπλάσιο εννοεί υψωμένο στην τρίτη, κ.ό.κ.]
Για παράδειγμα εάν τα Α, B, Γ, Δ, βρίσκονται σε συνεχή αναλογία, δηλαδή Α : B :: B : Γ το Α λέγεται ότι έχει προς το Δ, τον τριπλάσιο λόγο του Α to B;
ή
Α/Δ= ο κύβος του
Α/B.
Αυτός ο ορισμός θα γίνει καλύτερα κατανοητός εάν εφαρμοστεί σε περισσότερα μεγέθη που βρίσκονται σε συνεχή αναλογία, ως εξής:—
Έστω aρ3, aρ2, aρ, a, είναι τέσσερα μεγέθη σε συνεχή αναλογία,
δηλαδή, aρ3 : aρ2 :: aρ2 : aρ :: aρ : a,
τότε
aρ3/a=ρ3= ο κύβος του
aρ3/aρ2=ρ.
Ή, έστω aρ5, aρ4, aρ3, aρ2, aρ, a, είναι έξι μεγέθη σε συνεχή αναλογία, δηλαδή,
aρ5 : aρ4 :: aρ4 : aρ3 :: aρ3 : aρ2 :: aρ2 : aρ :: aρ : a,
τότε ο λόγος
aρ5/a=ρ5= ο λόγος του πρώτου προς τον δεύτερο εις την πέμπτη
aρ5/aρ4=ρ.
Ή έστω a, aρ, aρ2, aρ3, aρ4, είναι πέντε μεγέθη σε συνεχή αναλογία· τότε
a/aρ4=1/ρ4= ο λόγος του πρώτου προς τον δεύτερο εις την τετάρτη a
a/aρ=1/ρ.
Ορισμος A.
Η γνώση ενός σύνθετου λόγου:—
Όταν υπάρχει οποιοδήποτε πλήθος από ομοειδή μεγέθη, το πρώτο λέμε ότι έχει προς το τελευταίο σύνθετο λόγο που έχει συντεθεί από τον λόγο του πρώτου ως προς το δεύτερο, και τον λόγο του δεύτερου ως προς το τρίτο, και το λόγο του τρίτου ως προς το τέταρτο κ.ο.κ., έως και το τελευταίο μέγεθος.
ΑΒΓΔ ΕΖΗΘΚΛ ΜΝ
Για παράδειγμα, αν τα Α, Β, Γ, Δ, είναι τέσσερα ομοειδή μεγέθη, το πρώτο Α λέμε ότι έχει ως προς το τελευταίο Δ τον λόγο που συντίθεται από τον λόγο του Α προς το Β, και τον λόγο του Β προς το Γ, και τον λόγο του Γ προς το Δ· ή, ο λόγος του Α προς το Δ λέμε ότι συντίθεται από τους λόγους Α προς Β, Β προς Γ, και Γ προς Δ.
Και εάν το Α έχει ως προς το Β τον ίδιο λόγο που το Ε έχει ως προς Ζ, και το Β ως προς Γ τον ίδιο λόγο που το Η έχει ως προς Θ, και το Γ προς το Δ τον ίδιο λόγο που το Κ έχει προς το Λ· τότε, εξ αυτού του ορισμού, το Α λέμε ότι έχει προς το Δ τον λόγο που συντίθεται από λόγους ίσους με τους λόγους Ε προς Ζ, Η προς Θ, και Κ προς Λ. Και το ίδιο πράγμα εννοούμε όταν λέμε εν συντομία ότι το Α έχει προς το Δ λόγο σύνθετο εκ των λόγων Ε προς Ζ, Η προς Θ, και Κ προς Λ.
Με παρόμοιο τρόπο και τις ίδιες παραδοχές· αν το Μ έχει προς το Ν τον ίδιο λόγο που το Α έχει προς το Δ, τότε χάριν συντομίας λέμε ότι το Μ έχει προς το Ν λόγο σύνθετο εκ των λόγων Ε προς Ζ, Η προς Θ, και Κ προς Λ.
Αυτός ο ορισμός γίνεται ευκολότερα κατανοητός με ένα αριθμητικό ή αλγεβρικό παράδειγμα· διότι, στην πραγματικότητα, ένας λόγος σύνθετος άλλων επί μέρους λόγων δεν είναι κάτι περισσότερο από ένα λόγο που έχει ως ηγούμενο το γινόμενο όλων των ηγούμενων των επί μέρους λόγων, και για επόμενο το γινόμενο όλων των επόμενων των επί μέρους λόγων.
Έτσι, ο σύνθετος λόγος των λόγων
2 : 3, 4 : 7, 6 : 11, 2: 5,
είναι ο λόγος 2 × 4 × 6 × 2 : 3 × 7 × 11 × 5,
ή ο λόγος 96 : 1155, ή 32: 385.
Και των ομοειδών μεγεθών Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, ο λόγος, Α : Ζ είναι ο σύνθετος λόγος των λόγων
Τότε, ο λόγος που συντίθεται από τους λόγους των Α : Β, Β : Γ, Γ : Δ, Δ : Ε, ή ο λόγος Α : Ε, είναι ο ίδιος με τον λόγο που συντίθεται από τους λόγους των Ζ : Η, Η : Θ, Θ : Κ, Κ : Λ, τον λόγο Ζ : Λ.
Τότε ο λόγος που συντίθεται από τους λόγους Α : Β, Β : Γ, Γ : Δ, Δ : Ε, ή ο λόγος Α : Ε, είναι ο ίδιος με τον λόγο που συντίθεται από τους λόγους των Κ : Λ, Θ : Κ, Η : Θ, Ζ : Η, τον λόγο Ζ : Λ.
και ∴Α/Ε=Ζ/Λ,
ή ο λόγος Α : Ε είναι ίδιος με τον λόγο Ζ : Λ.
∴ Οι λόγοι που συντίθενται από τους ίδιους λόγους, κ.λπ.
Προταση G. θεωρημα.
Εάν κάποιοι λόγοι είναι ίσοι με κάποιους άλλους λόγους, ένας προς έναν, ο λόγος που συντίθεται από λόγους ίσους με τους πρώτους λόγους, ένας προς έναν, θα είναι ίσος με τον λόγο που συντίθεται από λόγους ίσους με τους δεύτερους λόγους, ένας προς έναν.
ΑΒΓΔΕΖΗΘ
αβγδεζηθ
ΞΠΡΣΤ
ΥΦΧΨΩ
Εάν Α : Β::α : βΓ : Δ::γ : δΕ : Ζ::ε : ζκαι Η : Θ::η : θ
∴ Εάν κάποιοι λόγοι είναι ίσοι με κάποιους άλλους λόγους, κ.λπ.
Προταση H. θεωρημα.
Εάν ένας λόγος που συντίθεται από κάποιους λόγους είναι ίσος με λόγο που συντίθεται από κάποιους άλλους λόγους· και εάν ένας από τους πρώτους λόγους, ή ο λόγος που συντίθεται από αυτούς είναι ίσος με κάποιον από τους δεύτερους λόγους, ή τον λόγο που συντίθεται από αυτούς· τότε ο λόγος που υπολείπεται (περισσεύει) από τους πρώτους, ή, αν είναι περισσότεροι από έναν, ο λόγος που συντίθεται από αυτούς, θα είναι ίσος με τον λόγο που υπολείπεται από τους άλλους, ή, αν είναι περισσότεροι του ενός, με τον λόγο που συντίθεται από τους υπόλοιπους από τους άλλους.
ΑΒΓΔΕΖΗΘ ΞΠΡΣΤΧ
Έστω Α : Β, Β : Γ, Γ : Δ, Δ : Ε, Ε : Ζ, Ζ : Η, Η : Θ, οι πρώτοι λόγοι, και Ξ : Π, Π : Ρ, Ρ : Σ, Σ : Τ, Τ : Χ, οι άλλοι λόγοι· επίσης, έστω ο λόγος Α : Θ, που συντίθεται από τους πρώτους λόγους, είναι ίσος με τον λόγο Ξ : Χ, και έστω ο λόγος Α : Ε, που συντίθεται από τους άλλους λόγους · και έστω ο λόγος Α : Β, Β : Γ, Γ : Δ, Δ : Ε, είναι ίσος με τον λόγο Ξ : Ρ, που συντίθεται από τους λόγους Ξ : Π, Π : Ρ.
Τότε, ο λόγος που συντίθεται από τους υπόλοιπους πρώτους λόγους, δηλαδή, ο λόγος που συντίθεται από τους λόγους Ε : Ζ, Ζ : Η, Η : Θ, δηλαδή ο λόγος Ε : Θ, θα είναι ίσος με τον λόγο Ρ : Χ, που συντίθεται από τους λόγους Ρ : Σ, Σ : Τ, Τ : Χ, τους υπόλοιπους δηλαδή των δεύτερων λόγων.
∴ Εάν λόγος που συντίθεται από κάποιους λόγους κ.λπ.
Προταση I. θεωρημα.
Εάν υπάρχει ένα πλήθος λόγων και ένα πλήθος άλλων λόγων, τέτοιων ώστε ο λόγος που συντίθεται από λόγους ίσους με τους πρώτους λόγους, ένας προς έναν, είναι ίδιος με τον λόγο που συντίθεται από λόγους ίσους, ένας προς έναν, με τους δεύτερους λόγους – και εάν ένας από τους πρώτους λόγους ή ο λόγος που συντίθεται από λόγους ίσους με κάποιους από τους πρώτους λόγους, ένας προς έναν, είναι ίδιος με αυτόν που συντίθεται από λόγους ίσους με κάποιους από τους δεύτερους λόγους, ένας προς έναν, τότε ο υπολειπόμενος από τους πρώτους λόγους, ή, αν είναι περισσότεροι από ένας, με τον λόγο που συντίθεται από λόγους ίσους με αυτούς, ένας προς έναν, θα είναι ίσος με τον υπολειπόμενο των δεύτερων λόγων, ή, αν είναι περισσότεροι από ένας, με τον λόγο που συντίθεται από λόγους ίσους με τους υπολειπόμενους των δεύτερων λόγων, ένας προς έναν.
θκμνσ
ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ, ΗΘ, ΚΛ, ΜΝ,
ΟΠ, ΡΣ, ΤΥ, ΦΧ, ΨΩ,
αβγδεζη
αβγδεζη
θκλμνπ
Έστω Α : Β, Γ : Δ, Ε : Ζ, Η : Θ, Κ : Λ, Μ : Ν, οι πρώτοι λόγοι, και Ο : Π, Ρ : Σ, Τ : Υ, Φ : Χ, Ψ : Ω, οι άλλοι λόγοι·
Τότε, από τον ορισμό του σύνθετου λόγου, ο λόγος α : η είναι σύνθεση των λόγων α : β, β : γ, γ : δ, δ : ε, ε : ζ, ζ : η, που είναι οι ίδιοι όπως οι λόγοι των Α : Β, Γ : Δ, Ε : Ζ, Η : Θ, Κ : Λ, Μ : Ν, ένας προς έναν.
Τότε ο λόγος θ : π είναι σύνθετος εκ των λόγων θ : κ, κ : λ, λ : μ, μ : ν, ν : π, που είναι οι ίδιοι λόγοι με τους Ο : Π, Ρ : Σ, Τ : Υ, Φ : Χ, Ψ : Ω, ένας προς έναν.
∴ από την υπόθεση, α : η=θ : π.
Επίσης, έστω ο σύνθετος λόγος των Α : Β, Γ : Δ, δύο από τους πρώτους λόγους (ή οι λόγοι α : γ, αφού Α : Β=α : β, και Γ : Δ=β : γ), είναι ίσος με τον λόγο α : δ, που είναι σύνθετος εκ των λόγων α : β, β : γ, γ : δ, που είναι οι ίδιοι με τους λόγους Ο : Π, Ρ : Σ, Τ : Υ, τρεις από τους άλλους λόγους.
Και έστω οι λόγοι θ : σ, σύνθετοι εκ των λόγων θ : κ, κ : μ, μ : ν, ν : σ, ίσοι με τους υπόλοιπους των πρώτων λόγων, δηλαδή των Ε : Ζ, Η : Θ, Κ : Λ, Μ : Ν· Επίσης, έστω ο λόγος ε : η, είναι σύνθετος εκ των λόγων ε : ζ, ζ : η, που είναι ίσοι, ένας προς έναν, με τους υπόλοιπους άλλους λόγους, δηλαδή των Φ : Χ, Ψ : Ω. Τότε ο λόγος θ : σ θα είναι ίδιος με τον λόγο ε : η· ή θ : σ=ε : η.
Aλγεβρικές και Αριθμητικές επιδείξεις του 5ου Βιβλίου του Ευκλείδη δίνονται στο βιβλίο Byrne’s Doctrine of Proportion. Έκδοση Williams and Co. London. 1841.
Βιβλιο I.
Βιβλιο II.
Βιβλιο III.
Βιβλιο IV.
Βιβλιο V.
Βιβλιο VI.