Πήγαινε σε

Βιβλιο III.

Οροι.

I.

Ισοι κύκλοι είναι εκείνοι που έχουν τις διαμέτρους τους ή τις ακτίνες τους ίσες.

Definition 2 figure

II.

Ευθεία ονομάζεται εφαπτόμενη σε κύκλο, αν έχει κοινό σημείο με τον κύκλο, αλλά προεκτεινόμενη δεν τον τέμνει.

Definition 3 figure

III.

Δύο κύκλοι ονομάζονται εφαπτόμενοι, αν έχουν κοινό σημείο και δεν τέμνονται.

Definition 4 figure

IV.

Ευθείες ονομάζονται ισαπέχουσες από το κέντρο κύκλου, αν τα κάθετα τμήματα από το κέντρο στις ευθείες είναι ίσα.

V.

Μεγαλύτερη απόσταση θa λέμε ότι απέχει εκείνη η ευθεία, στην οποία αντιστοιχεί το μεγαλύτερο κάθετο τμήμα.

Definition 6 figure

VI.

Τμήμα κύκλου είναι το σχήμα το περιεχόμενο μεταξύ ευθείας και τόξου κύκλου.

Definition 7 figure

VII.

Γωνία τμήματος είναι η γωνία που περιέχεται μεταξύ ευθείας και κυκλικού τόξου.

Definition 8 figure

VIII.

Γωνία ενός κυκλικού τμήματος είναι η γωνία που σχηματίζεται, όταν επί του τόξου του τμήματος ληφθεί σημείο και το συνδέσουμε με τα άκρα της χορδής του τμήματος.

Definition 9 figure

IX.

Όταν οι πλευρές της γωνίας αποκόπτουν τόξο του κύκλου, λέμε ότι η γωνία βαίνει στο τόξο αυτό.

Definition 10 figure a

X.

Τομέας ενός κύκλου είναι το σχήμα που περιέχεται μεταξύ των πλευρών μιας γωνίας που έχει κορυφή το κέντρο του κύκλου, και του τόξου του κύκλου που αποκόπτεται από τις πλευρές της γωνίας.

Definition 10 figure b

Όμοια τμήματα κύκλων είναι εκείνα που δέχονται γωνίες ίσες, είτε εκείνα εντός των οποίων οι γωνίες είναι ίσες.

Προταση I. Προβλημα.

Προταση 1 διάγραμμα

Να βρεθεί το κέντρο δεδομένου κύκλου Blue circle.

Εντός του κύκλου φέρτε οποιαδήποτε ευθεία Red and dotted red line , και κάντε την Red line = Red dotted line, φέρτε την Black line ⊥ Red and dotted red line · διχοτομήστε την Black line, και το σημείο της τομής θα είναι το κέντρο.

Γιατί, εφόσον είναι δυνατόν, ας είναι ένα οποιοδήποτε άλλο σημείο τομής των Blue line, Blue dotted line και Black dotted line ας είναι το κέντρο.

Επειδή στα Top triangle και Bottom triangle

Blue line = Black dotted line (εξ υποθ. και Β.1, ορ.15.) Red line = Red dotted line (εκ κατασκ.) και η Blue dotted line είναι κοινή, Blue and yellow angles = Black angle (Β.1, πρ.8.), και είναι άρα ορθές γωνίες· αλλά Black and yellow angles = Right angle (εκ κατασκ.) Black angle = Black and yellow angles (αξ.11), όπερ άτοπον· και με τον ίδιο τρόπο μπορεί να δειχτεί ότι κανένα άλλο σημείο που δεν βρίσκεται στην Black line είναι το κέντρο, επομένως το κέντρο είναι στην Black line, και επομένως το σημείο όπου η Black line διχοτομείται είναι το κέντρο του κύκλου.

Ο. Ε. Π.

Προταση II. Θεωρημα.

Προταση 2 διάγραμμα

Το τμήμα (Red line) που συνδέει δύο σημεία ενός κύκλου Red circle βρίσκεται ολόκληρο στο εσωτερικό του κύκλου.

Βρείτε το κέντρο του Red circle (Β.3.πρ.Ι)·
Από το κέντρο φέρετε την Black line σε οποιοδήποτε σημείο στην Red line,
που να συναντά την περιφέρεια από το κέντρο·
φέρτε την Yellow line και την Blue line.

Τότε, Blue angle = Black angle (Β.1.πρ.5.)
αλλά Yellow angle > Blue angle ή > Black angle (Β.Ι.πρ.16.)
∴ Yellow line > Black line (Β.1.πρ.19.)
αλλά Yellow line = Black and dotted black line ,
∴ Black and dotted black line > Black line·
∴ Black line < Black and dotted black line ·
∴ κάθε σημείο της Red line βρίσκεται εντός του κύκλου.

Ο. Ε. Δ.

Προταση III. Θεωρημα.

Προταση 3 διάγραμμα

Η ευθεία (Black line) που συνδέει το κέντρο κύκλου Blue circle με το μέσο μιας χορδής που δεν περνά από το κέντρο, θα είναι κάθετη στη χορδή ( Red and dotted red line ) και η ευθεία που άγεται από το κέντρο κύκλου κάθετη σε μιά χορδή του, θα διέρχεται από το μέσο της χορδής.

Φέρτε την Blue line και Yellow line προς το κέντρο του κύκλου.

Στα Left triangle και Right triangle
Yellow line = Blue line, η Black line κοινή, και
Red line = Red dotted line ∴ Black angle = Yellow angle (Β.1.πρ.8.)
και = >⊥ ∴ Black line ⊥ Red and dotted red line (Β.1.ορ.10.)
Επίσης, έστω Black line ⊥ Red and dotted red line

Τότε στα Left triangle και Right triangle
Blue angle = Red angle (Β.1.πρ.5.)
Black angle = Yellow angle (εξ υποθ.)
και Yellow line = Blue line
∴ Red line = Red dotted line (Β.1.πρ.26)
και άρα ∴ η Black line διχοτομεί την Red and dotted red line .

Ο. Ε. Δ.

Προταση IV. Θεωρημα.

Προταση 4 διάγραμμα

Αν δύο χορδές κύκλου που δε διέρχονται από το κέντρο του κύκλου τέμνονται, τότε δε διχοτομούνται.

Εάν μία από τις ευθείες περνά από το κέντρο, είναι προφανές ότι δεν μπορεί να διχοτομείται από την άλλη, που δεν περνά από το κέντρο.

Αλλά εάν καμία από τις ευθείες Black line ή Red line δε περνά από το κέντρο, φέρτε την Black dotted line από το κέντρο στην τομή τους.

Αν η Black line διχοτομείται, η Black dotted line ⊥ σε αυτή (Β.3.πρ.3.)
∴ Blue and yellow angles = Right angle και αν η Red line
διχοτομείται, Black dotted line ⊥ Red line (Β.3.πρ.3.)
∴ Blue angle = Right angle
και ∴ Blue angle = Blue and yellow angles · άρα ένα
μέρος ισούται με το όλον, όπερ άτοπον:
∴ Black line και η Red line
δεν αλληλοδιχοτομούνται.

Ο. Ε. Δ.

Προταση V. Θεωρημα.

Προταση 5 διάγραμμα

Αν δύο κύκλοι Blue and red circles τέμνονται, δεν έχουν το ίδιο κέντρο.

Υποθέστε ότι είναι δυνατόν δύο τεμνόμενοι κύκλοι να έχουν κοινό κέντρο· από αυτό το υποτιθέμενο κέντρο φέρτε την Yellow line μέχρι το σημείο τομής, και την Black and dotted black line που τέμνει τις περιφέρειες των κύκλων.

Τότε Yellow line = Black line (Β.1. ορ.15.)
και Yellow line = Black and dotted black line (Β.1. ορ.15.)
∴ Black line = Black and dotted black line · δηλαδή ένα μέρος ισούται με το όλον, όπερ άτοπον:
∴ κύκλοι που τέμνονται σε κάποιο σημείο δεν μπορούν να έχουν το ίδιο κέντρο.

Ο. Ε. Δ.

Προταση VI. Θεωρημα.

Προταση 6 διάγραμμα

Αν δύο κύκλοι Red and black circles εφάπτονται εσωτερικά, δεν έχουν το ίδιο κέντρο.

Εφόσον είναι δυνατόν, ας έχουν οι κύκλοι το ίδιο κέντρο· από αυτό το υποτιθέμενο κέντρο φέρτε την Blue and dotted blue line που τέμνει και τους δύο κύκλους, και την Yellow line μέχρι το σημείο τομής.

Τότε Yellow line = Blue dotted line (Β.1. ορ.15.)
και Yellow line = Blue and dotted blue line (Β.1. ορ.15.)
∴ Blue dotted line = Blue and dotted blue line ·
δηλαδή ένα μέρος ισούται με το όλον, όπερ άτοπον.

Επομένως το σημείο δεν είναι το κέντρο και των δύο κύκλων· ομοίως μπορεί να αποδειχτεί ότι και κανένα άλλο σημείο δεν είναι (κέντρο και των δύο κύκλων).

Ο. Ε. Δ.

Προταση VII. Θεωρημα.

Διαγραμμα I.
Προταση 7 Διαγραμμα 1
Διαγραμμα II.
Προταση 7 Διαγραμμα 2

Αν από σημείο εσωτερικό ενός κύκλου Blue circle που δεν είναι το κέντρο του φέρουμε ευθείες { Black and dotted black line Red line Blue line τέμνουσες του κύκλου, τότε το μεγαλύτερο από αυτά τα ευθύγραμμα τμήματα, με άκρα τα σημεία της περιφέρειας και το σημείο, είναι αυτό ( Black and dotted black line ) που περνάει από το κέντρο και το ελάχιστο είναι το υπόλοιπο της διαμέτρου (Yellow line).

Από τα άλλα, αυτό (Red line) που είναι κοντύτερα στην ευθεία που περνά από το κέντρο, είναι μεγαλύτερο από αυτό (Blue line) που είναι πιο απομακρυσμένο.

Διάγρ.2. Οι δύο ευθείες ( Blue and dotted blue line και Red line) που σχηματίζουν ίσες γωνίες με την ευθεία που περνά από το κέντρο και βρίσκονται εκατέρωθεν αυτής, είναι ίσες· και δεν μπορεί να αχθεί τρίτη ευθεία ίση με αυτές, από το ίδιο σημείο στην περιφέρεια.

Διαγραμμα I.

Από το κέντρο του κύκλου φέρτε την Red dotted line και την Blue dotted line· τότε Black dotted line = Red dotted line (Β.1. ορ.15.) Black and dotted black line = Black line + Red dotted line > Red line (Β.1. πρ.20.) ομοίως η Black and dotted black line μπορεί να δειχτεί ότι είναι μεγαλύτερη από την Blue line, ή οποιαδήποτε άλλο τμήμα που άγεται από το ίδιο σημείο προς την περιφέρεια. Επίσης, λόγω του (Β.1. πρ.20.) Black line + Blue line > Blue dotted line = Yellow line + Black line, αφαιρέστε Black line και από τις δύο· ∴ Blue line > Yellow line (αξ.) και όμοίως μπορεί να δειχτεί ότι η Yellow line είναι μικρότερη από κάθε άλλη γραμμή που άγεται από το ίδιο σημείο προς την περιφέρεια. Επίσης, στα Red triangle και Blue triangle , η Black line είναι κοινή, η Black and yellow angles > Yellow angle , και η Red dotted line = Blue dotted line

∴ Red line > Blue line (Β.1. πρ.24.) και η Red line μπορεί με τον ίδιο τρόπο να αποδειχτεί ότι είναι μεγαλύτερη από κάθε άλλη γραμμή που άγεται από το ίδιο σημείο προς την περιφέρεια και είναι πιο απομακρυσμένη από την Black and dotted black line .

Διαγραμμα II.

Αν Red angle = Yellow angle τότε η Blue and dotted blue line = Red line, εάν όχι πάρτε Blue line = Red line φέρτε την Yellow and dotted yellow line , τότε στα Left triangle και Right triangle , η Black line είναι κοινή, Red angle = Yellow angle και Red line = Blue line ∴ Red dotted line = Yellow line (Β.1. πρ.4.) ∴ Red dotted line = Yellow and dotted yellow line = Yellow line δηλαδή μέρος ισούται με το όλον όπερ άτοπον:

∴ Red line = Blue and dotted blue line · και καμμιά άλλη γραμμή δεν είναι ίση με την Red line που άγεται από το ίδιο σημείο προς την περιφέρεια· διότι εάν ήταν κοντύτερα σε αυτή που περνά από το κέντρο θα ήταν μεγαλύτερη, ενώ αν ήταν πιο απομακρυσμένη θα ήταν μικρότερη.

Ο. Ε. Δ.

Προταση VIII. Θεωρημα.

Το αρχικό κείμενο της πρότασης έχει χωριστεί σε τρία μέρη.

Προταση 8 Διαγραμμα 1

I.

Αν από σημείο εξωτερικό ενός κύκλου φέρουμε ευθείες { Black and dotted black line Red line Blue line } που τέμνουν την περιφέρεια στο κοίλο της τμήμα, το μεγαλύτερο τμήμα είναι αυτό Black and dotted black line που περνά από το κέντρο, και αυτό (Red line) που είναι κοντύτερα στο μεγαλύτερο είναι πιο μεγάλο από αυτό (Blue line) που είναι πιο μακριά.

Φέρτε την Blue dotted line και την Red dotted line προς το κέντρο.

Τότε, η Black and dotted black line που περνά από το κέντρο είναι μεγαλύτερη· διότι αφού Black dotted line = Red dotted line, αν η Black line προστεθεί και στις δύο, Black and dotted black line = Black line + Red dotted line· αλλά > Red line (Β.1. πρ.20.) ∴ το τμήμα Black and dotted black line είναι μεγαλύτερο από κάθε άλλο που άγεται από το ίδιο σημείο προς την κοίλη περιφέρεια.

Επίσης στα Blue triangle και Red triangle , Blue dotted line = Red dotted line,
και Black line κοινή, αλλά Yellow and black angles > Yellow angle ,
∴ Red line > Blue line (Β.1. πρ.24.)·
και κατά τον ίδιο τρόπο η Red line μπορεί να αποδειχτεί > από κάθε άλλη γραμμή πιο απομακρυσμένη από την Black and dotted black line .

Προταση 8 Διαγραμμα 2

II.

Από αυτές τις ευθείες που τέμνουν την κυρτή περιφέρεια η μικρότερη είναι αυτή (Black dotted line) που προεκτεινόμενη θα περάσει από το κέντρο, και κάθε γραμμή που είναι κοντύτερα στην μικρότερη θα είναι πιο μικρή από αυτήν που είναι μακρύτερα.

Διότι, εφόσον Red line + Red dotted line > Black and dotted black line (Β.1. πρ.20.)
και Red line = Black line,
∴ Red dotted line > Black dotted line (αξ.5.)
και πάλι, εφόσον η Blue line + Blue dotted line >
Red line + Red dotted line (Β.1. πρ.21.),
και Blue line = Red line,
∴ Red dotted line < Blue dotted line. Και όμοια και οι άλλες.

Προταση 8 Διαγραμμα 3

III.

Επίσης, οι ευθείες που σχηματίζουν ίσες γωνίες με αυτή που περνά από το κέντρο είναι ίσες, είτε τέμνουν την κοίλη είτε την κυρτή περιφέρεια· και δεν υπάρχει τρίτη ευθεία που μπορεί να αχθεί ίση με αυτές από το ίδιο σημείο προς την περιφέρεια.

Διότι αν Dotted red and yellow line > Blue dotted line, αλλά κάνοντας την Yellow angle = Blue angle ·
Κάνετε την Red dotted line = Blue dotted line, και φέρετε την Dotted black and red line .
Τότε στα Red triangle και Blue triangle έχουμε Red dotted line = Blue dotted line,
και την Black line κοινή, και ακόμα Blue angle = Yellow angle ,
∴ Dotted black and red line = Blue line (Β.1. πρ.4.)·
αλλά Blue line = Black dotted line·
∴ Black dotted line = Dotted black and red line , όπερ άτοπον.
∴ Blue dotted line δεν είναι = Red dotted line, είτε σε οποιοδήποτε τμήμα
της Dotted red and yellow line , ∴ Dotted red and yellow line δεν είναι > Blue dotted line.
Ούτε είναι η Blue dotted line > Dotted red and yellow line , επομένως είναι ίσες μεταξύ τους.

Και κάθε άλλη ευθεία που άγεται από το ίδιο σημείο προς την περιφέρεια πρέπει να βρίσκεται στην ίδια πλευρά με μία από αυτές τις ευθείες και να είναι περισσότερο ή λιγότερο μακριά από αυτή που περνά από το κέντρο, και δεν μπορεί επομένως να είναι ίση με αυτή.

Ο. Ε. Δ.

Προταση IX. Θεωρημα.

Προταση 9 διάγραμμα

Αν από σημείο στο εσωτερικό κύκλου Blue circle μπορούμε να φέρουμε περισσότερα από δύο ίσα τμήματα που συνδέουν το σημείο με τον κύκλο (Yellow dotted line, Yellow line, Blue line), τότε αυτό είναι το κέντρο του κύκλου.

Διότι, αν υποτεθεί ότι το σημείο Yellow and blue point στο οποίο περισσότερες από δύο ευθείες συντρέχουν δεν είναι το κέντρο, κάποιο άλλο σημείο Black and red dotted line πρέπει να είναι· ενώστε αυτά τα δύο σημεία με την Black line και προεκτείνετέ την αμφίδρομα προς την περιφέρεια.

Τότε, αφού περισσότερα από δύο ίσες γραμμές φέρονται από σημείο που δεν είναι το κέντρο προς την περιφέρεια, οι δύο τουλάχιστον πρέπει να βρίσκονται από την ίδια μεριά της διαμέτρου Red, black, and red dotted line · και εφόσον από σημείο Red, yellow, and blue point , που δεν είναι το κέντρο, ευθείες γραμμές άγονται προς την περιφέρεια: η μέγιστη είναι η Black and red dotted line , που περνά από το κέντρο και η Blue line που είναι κοντύτερα στην Black and red dotted line , > Yellow line που είναι πιο μακριά (Β.3. πρ.8.)· αλλά Blue line = Yellow line (εξ υποθ.), όπερ άτοπον.

Το ίδιο μπορεί να αποδειχτεί για κάθε άλλο σημείο, διαφορετικό από το Red, yellow, and blue point , που πρέπει να είναι το κέντρο του κύκλου.

Ο. Ε. Δ.

Προταση X. Θεωρημα.

Προταση 10 διάγραμμα
Προταση 10 διάγραμμα

Ένας κύκλος Blue circle δεν είναι δυνατόν να τέμνει άλλον Red circle σε περισσότερα από δύο σημεία.

Διότι, εφόσον γίνεται, ας τέμνονται σε τρία σημεία·
από το κέντρο του Blue circle φέρτε τις Black line, Yellow line
και Blue line προς τα σημεία τομής·
∴ Black line = Yellow line = Blue line
(Β.1. ορ.15.), αλλά επειδή οι κύκλοι τέμνονται δεν μπορούν να έχουν το ίδιο κέντρο (Β.3. πρ.5.):
∴ το υποτιθέμενο σημείο δεν είναι το κέντρο του Red circle, και

∴ όπως Black line, Yellow line και Blue line φέρονται από ένα σημείο και όχι το κέντρο, είναι άνισες (Β.3.πρς.7,8)· αλλά προηγουμένως δείξαμε ότι είναι ίσες, όπερ άτοπον· οι κυκλοι επομένως δεν τέμνονται σε τρία σημεία.

Ο. Ε. Δ.

Προταση XI. Θεωρημα.

Προταση 11 διάγραμμα

Αν δύο κύκλοι Blue circle και Black circle εφάπτονται εσωτερικά, τότε η ευθεία που συνδέει τα κέντρα τους (διάκεντρος) αν προεκταθεί περνά από το σημείο επαφής των κύκλων.

Διότι, εφόσον είναι δυνατό, αν είναι η Black line η ευθεία που ενώνει τα κέντρα τους, προεκτείνετέ την αμφίδρομα· Από το σημείο τομής φέρτε την Red line προς το κέντρο του Blue circle, και από το ίδιο σημείο τομής φέρτε την Blue dotted line προς το κέντρο του Black circle.

Επειδή στο Yellow triangle , Black line + Red line > Blue dotted line
(Β.1, πρ.20.),
και Blue dotted line = Yellow and black line καθώς είναι ακτίνες του
Black circle,
αλλά Black line + Red line > Yellow and black line ·
αφαιρέστε την Black line που είναι κοινή,
και Red line > Yellow and dotted yellow line ·
αλλά Red line = Yellow dotted line,
διότι είναι ακτίνες του Blue circle,
∴ Yellow dotted line > Yellow and dotted yellow line δηλαδή μέρος μεγαλύτερο από το όλον, όπερ άτοπον.

Τα κέντρα λοιπόν έχουν τέτοιες θέσεις, που η ευθεία που τα ενώνει (η διάκεντρος) περνά από το σημείο επαφής.

Ο. Ε. Δ.

Προταση XII. Θεωρημα.

Προταση 12 διάγραμμα

Αν δύο κύκλοι Blue circle και Red circle εφάπτονται εξωτερικά, τότε η Red, black, and blue line διάκεντρος διέρχεται από το σημείο επαφής.

Διότι εφόσον γίνεται, ας ενώνει η Red, black, and blue line τα κέντρα και να μην περνά από σημείο επαφής· τότε από το σημείο επαφής φέρτε την Yellow dotted line και την Yellow line προς τα κέντρα.

Επειδή Yellow dotted line + Yellow line > Red, black, and blue line (Β.1. πρ.20.),
και Red line = Yellow dotted line (Β.1. ορ.15.),
και Blue line = Yellow line (Β.1. ορ.15.),

∴ Red line + Blue line > Red, black, and blue line , ένα μέρος μεγαλύτερο από το όλον, όπερ άτοπον.

Τα κέντρα λοιπόν έχουν τέτοιες θέσεις, που η ευθεία που τα ενώνει (η διάκεντρος) περνά από το σημείο επαφής.

Ο. Ε. Δ.

Προταση XIII. Θεώρημα.

Διαγραμμα I.
Προταση 13 διάγραμμα 1

Ενας κύκλος δεν μπορεί να εφάπτεται με άλλον, είτε εξωτερικά είτε εσωτερικά, σε περισσότερα του ενός σημεία.

Διαγρ.1. Διότι, εφόσον γίνεται, έστω ότι οι Yellow circle και Blue circle εφάπτονται εσωτερικά σε δύο σημεία: φέρτε την [Blue line] που ενώνει τα κέντρα τους και προεκτείνετέ την μέχρι να περάσει από τα σημεία επαφής (Β.3. πρ.11.)·

Φέρτε την Red line και την Black line,
αλλά Blue dotted line = Black line (Β.1, ορ.15.),
∴ αν η Blue line προστεθεί και στις δύο,
Blue and dotted blue line = Blue line + Black line·
αλλά Blue and dotted blue line = Red line (Β.1, ορ.15.),
και ∴ Blue line + Black line = Red line· αλλά
Blue line + Black line > Red line (Β.1, ορ.20.),
όπερ άτοπον.

Διαγραμμα II.
Προταση 13 διάγραμμα 2

Διαγρ.2. Αν τα σημεία επαφής είναι τα άκρα της δεξιάς γραμμής που συνδέει τα κέντρα, αυτή η ευθεία πρέπει να διχοτομηθεί σε δύο διαφορετικά σημεία για τα δύο κέντρα· επειδή είναι η διάμετρος και των δύο κύκλων, όπερ άτοπον.

Διαγραμμα III.
Προταση 13 διάγραμμα 3

Διαγρ. 3. Τέλος, εφόσον γίνεται, ας εφάπτονται οι Yellow circle και Blue circle εξωτερικά σε δύο σημεία· φέρτε την Red and dotted red line που συνδέει τα κέντρα τους και περνά από ένα από τα σημεία επαφής, και φέρτε την Blue line και την Black line.

Blue line = Red line (Β.1, ορ.15.)
και Red dotted line = Black line (Β.1, ορ.15.)·
∴ Black line + Blue line = Red and dotted red line · αλλά
Black line + Blue line > Red and dotted red line (Β.1, ορ.20.)·
όπερ άτοπον.

Επομένως δεν υπάρχει περίπτωση δύο κύκλοι να εφάπτονται σε δύο σημεία.

Q. E. D.

Προταση XIV. Θεωρημα.

Προταση 14 διάγραμμα

Εις κύκλο δύο ίσες χορδές ( Yellow and dotted yellow line Red and dotted red line ) ισαπέχουν από το κέντρο και δύο χορδές που ισαπέχουν από το κέντρο είναι ίσες.

Από το κέντρο του Blue circle φέρτε την
Black dotted line ⊥ Red and dotted red line και την Blue dotted line
⊥ Yellow and dotted yellow line ,, φέρτε την Black line και την Blue line.

Τότε Yellow line = 1 / 2 Yellow and dotted yellow line (Β.3.πρ.3.)
και Red line = 1 / 2 Red and dotted red line (Β.3.πρ.3.)
εφόσον Yellow and dotted yellow line = Red and dotted red line (εξ υποθ.)
∴ Yellow line = Red line,
και Black line = Blue line (Β.1.ορ.15.)
∴ Black line2 = Blue line22·
αλλά εφόσον η Yellow angle είναι ορθή
Black line2 = Black dotted line2 + Red line2 (Β.1.πρ.47.)
και Blue line2 = Blue dotted line2 + Yellow line2 για τον ίδιο λόγο,
∴ Black dotted line2 + Red line2 = Blue dotted line2 + Yellow line2
∴ Black dotted line2 = Blue dotted line2,
∴ Black dotted line = Blue dotted line.

Αν τα τμήματα Red and dotted red line και Yellow and dotted yellow line απέχουν εξίσου από το κέντρο, δηλαδή αν δοθούν ίσες οι αποστάσεις Black dotted line και Blue dotted line αντί για ισότητα των χορδών Red and dotted red line = Yellow and dotted yellow line .

Τότε, όπως στην προηγούμενη περίπτωση,
Blue dotted line2 + Yellow line2 = Red line2 + Black dotted line2
αλλά Blue dotted line2 = Black dotted line2:

∴ Yellow line2 = Red line2, και οι διπλάσιες αυτών
Yellow and dotted yellow line και Red and dotted red line θα είναι επίσης ίσες.

Ο. Ε. Δ.

Προταση XV. Θεωρημα.

Διαγραμμα I.
Προταση 15 Διαγραμμα 1

Εις κάθε κύκλο η μεγαλύτερη χορδή είναι η διάμετρος, ενώ από τις άλλες χορδές μεγαλύτερη είναι αυτή που απέχει μικρότερη απόσταση από το κέντρο.

Διαγραμμα I.

Η διάμετρος Red and black line είναι > κάθε άλλης χορδής Blue line.
Διότι, αν φέρετε την Yellow line και την Yellow dotted line.
τότε Yellow dotted line = Black line
και Yellow line = Red line,
∴ Yellow line + Yellow dotted line = Red and black line
αλλά Yellow line + Yellow dotted line > Blue line (Β.1.πρ.20.)
∴ Red and black line > Blue line.

Και, η χορδή που είναι πλησιέστερα στο κέντρο είναι μεγαλύτερη από την πιο απομακρυσμένη.

Κατ’αρχάς, ας είναι οι Blue line και Red dotted line, οι δεδομένες χορδές, που βρίσκονται από την ίδια πλευρά του κέντρου και δεν τέμνονται· Φέρτε τις { Yellow dotted line, Yellow line, Black dotted line, Blue dotted line. } Στα Wide triangle και Narrow triangle ,
η Yellow line και η Yellow dotted line = Black dotted line and Blue dotted line·
Red and yellow angles > Yellow angle ,
∴ Blue line > Red dotted line (Β.Ι.πρ.24.)

Διαγραμμα II.
Προταση 15 Διαγραμμα 2

Διαγραμμα II.

Ας είναι οι δεδομένες χορδές Red line και Yellow line οι οποίες είτε βρίσκονται από την ίδια μεριά του κύκλου είτε τέμνονται· από το κέντρο φέρτε την Dotted yellow and red line και την Blue dotted line ⊥ Yellow line και την Red line, κατασκευάστε την Blue dotted line = Yellow dotted line, και φέρτε την Blue line ⊥ Dotted yellow and red line .

Εφόσον η Red line και η Blue line ισαπέχουν από
το κέντρο, Red line = Blue line (Β.3.πρ.14.)·
Αλλά Blue line > Yellow line (Β.3.πρ.15.),
∴ Red line > Yellow line.

Ο. Ε. Δ.

Προταση XVI. Θεωρημα.

Προταση 16 διάγραμμα

Η καθετη Yellow line στο άκρο διαμέτρου του κύκλου Black line θα πέσει εκτός του κύκλου.

Και οποιαδήποτε ευθεία Red dotted line αχθεί από κάποιο σημείο της κάθετης αυτής προς το σημείο τομής, θα τέμνει τον κύκλο.

Μερος I

Εφόσον γίνεται, ας είναι η Red line, που τέμνει τον κύκλο ξανά, να είναι ⊥ Black line,, και φέρτε την Blue line.

Τότε, επειδή Blue line = Black line,
Yellow angle = Black angle (Β.1.πρ.5.),
και ∴ κάθε μια από τις γωνίες είναι οξεία (Β.Ι.πρ.17.)
Αλλά η Yellow angle = Right angle (εξ υποθ.), όπερ άτοπον, επομένως η
Red line που έχει αχθεί ⊥ στην Black line δεν τέμνει ξανά
τον κύκλο.

Μερος II.

Έστω η Yellow line είναι ⊥ Black line και έστω η Red dotted line άγεται από σημείο Point μεταξύ της Yellow line και του κύκλου, που εάν είναι δυνατόν, δεν τέμνει τον κύκλο.

Επειδή Blue and red angle = Right angle ,
∴ η Blue angle είναι οξεία· έστω
η Dotted blue and black line ⊥ Red dotted line, που έχει αχθεί από το κέντρο του κύκλου, θα πρέπει να βρίσκεται στην πλευρά της Blue angle της οξείας γωνίας.
∴ η Outlined angle που υποτίθεται ορθή, είναι > Blue angle ,
∴ Black line > Dotted blue and black line ·
αλλά Blue dotted line = Black line,

και ∴ Blue dotted line > Dotted blue and black line , δηλαδή μέρος μεγαλύτερο του όλου, όπερ άτοπον. Επομένως το σημείο δεν βρίσκεται εκτός του κύκλου, και επομένως το τμήμα Red dotted line τέμνει τον κύκλο.

Ο. Ε. Δ.

Προταση XVII. Θεωρημα.

Προταση 17 διάγραμμα

Απο δοθέν σημείο να αχθεί εφαπτομένη σε δοθέντα κύκλο Red circle.

Αν το δεδομένο σημείο είναι πάνω στην περιφέρεια, όπως το Blue and black dotted point , είναι προφανές ότι η ευθεία Blue line ⊥ Black dotted line, θα είναι η ζητούμενη εφαπτομένη (Β.3.πρ.16.)

Αλλά αν το δεδομένο σημείο Red and blue point είναι εκτός της περιφέρειας, φέρτε την Red dotted and solid line
από αυτό προς το κέντρο, η οποία θα τέμνει Red circle· και
φέρτε την Blue dotted line ⊥ Red dotted line, κατασκευάστε τον Yellow circle
ομόκεντρο με τον Red circle, με ακτίνα = Red dotted and solid line ,
τότε η Blue line θα είναι η ζητούμενη εφαπτομένη.

Διότι στα Bottom triangle και Top triangle
Red dotted and solid line = Black dotted and solid line , η Blue and red angle κοινή,
και Red dotted line = Black dotted line,
∴ (Β.Ι.πρ.4.) Bottom yellow angle = Top yellow angle = ορθή γωνία,
∴ η Blue line είναι εφαπτόμενη στον Red circle.

Ο. Ε. Δ.

Προταση XVIII. Θεωρημα.

Προταση 18 διάγραμμα

Αν ευθεία Blue dotted line εφάπτεται σε κύκλο, τότε η ευθεία Blue line που συνδέει το κέντρο με τα σημεία επαφής είναι κάθετη στην εφαπτόμενη.

Διότι, εφόσον είναι δυνατόν, ας είναι η Red solid and dotted line ⊥ Blue dotted line,
τότε, επειδή Yellow angle = Right angle , η Red yellow angle είναι οξεία (Β.1.πρ.17.)
∴ Blue line > Red solid and dotted line (Β.1.πρ.19.)·
αλλά η Blue line = Red line,
και ∴ Red line > Red solid and dotted line ,
δηλαδή ένα μέρος είναι μεγαλύτερο από το όλον, όπερ άτοπον.

∴ Red solid and dotted line δεν είναι ⊥ στην Blue dotted line· και με τον ίδιο τρόπο μπορεί να αποδειχτεί ότι καμμία άλλη ευθεία πλην της Blue line δεν είναι κάθετη στην Blue dotted line.

Ο. Ε. Δ.

Προταση XIX. Θεωρημα.

Προταση 19 διάγραμμα

Αν ευθεία Blue line είναι εφαπτόμενη κύκλου και από το σημείο τομής φέρουμε κάθετη στην εφαπτόμενη Yellow line, τότε αυτή διέρχεται από το κέντρο του κύκλου.

Διότι, εφόσον είναι δυνατόν, ας είναι το κέντρο εκτός της Yellow line, καί φέρτε την Red dotted line από το υποτιθέμενο κέντρο προς το σημείο τομής.

Επειδή η Red dotted line ⊥ Blue line (Β.3.πρ.18.)

∴ Yellow angle = Right angle , ορθή γωνία·
αλλά Blue and yellow angles = Right angle (εξ υποθ.), και ∴ Yellow angle = Blue and yellow angles ,
Δηλαδή ένα μέρος είναι ίσο προς το όλον, όπερ άτοπον.

Επομένως το υποτιθέμενο σημείο δεν είναι το κέντρο· και με τον ίδιο τρόπο μπορεί να αποδειχτεί ότι κανένα σημείο εκτός της Yellow line, δεν είναι το κέντρο.

Ο. Ε. Δ.

Προταση XX. Θεωρημα.

Διαγραμμα I.
Προταση 20 διάγραμμα 1

Εις κύκλο η επίκεντρη γωνία είναι διπλάσια κάθε εγγεγραμμένης γωνίας που βαίνει στο τόξο της επίκεντρης.

Διαγραμμα I.

Έστω το κέντρο του κύκλου βρίσκεται πάνω στην Red solid and dotted line
πλευρά της Yellow angle .

Επειδή Black line = Red line,
Yellow angle = Red angle (Β.1.πρ.5.).

Αλλά Blue angle = Yellow angle + Red angle ,
Blue angle = διπλάσια της Yellow angle (Β.1.πρ.32.).

Διαγραμμα II.
Προταση 20 διάγραμμα 2

Διαγραμμα II.

Ας είναι το κέντρο εντός της Top red and yellow angles , την γωνία με κορυφή στην περιφέρεια· φέρτε την Black line από την κορυφή προς το κέντρο του κύκλου·
Τότε Top red angle = Bottom red angle , και Top yellow angle = Bottom yellow angle ,
λόγω της ισότητας των πλευρών (Β.1.πρ.5.).

Επομένως Bottom red angle + Top red angle + Top yellow angle + Bottom yellow angle = 2 φορές η Top red and yellow angles .
Αλλά Black angle = Top red angle + Bottom red angle , και
Blue angle = Top yellow angle + Bottom yellow angle ,
∴ Black and blue angles = 2 φορές η Top red and yellow angles .

Διαγραμμα III.
Προταση 20 διάγραμμα 3

Διαγραμμα III.

Ας είναι το κέντρο εκτός της Red angle
φέρτε την Red line, την διάμετρο.

Επειδή Blue and yellow angles = 2 φορές η Black and red angles · και
Blue angle = 2 φορές η Black angle (περίπτωση Ι.)·
∴ Yellow angle = 2 φορές η Red angle .

Ο. Ε. Δ.

Προταση XXI. Θεωρημα.

Διαγραμμα I.
Προταση 21 διάγραμμα 1

Οι γωνίες ( Red angle , Blue angle ) του ίδιου τμήματος κύκλου είναι ίσες.

Διαγραμμα I.

Έστω το τμήμα είναι μεγαλύτερο από ημικύκλιο, φέρτε την Red line και την Blue line προς το κέντρο.=

Yellow angle = 2 φορές Red angle ή = 2 φορές Blue angle (Β.3.πρ.20.)·
∴ Red angle = Blue angle .

Διαγραμμα II.
Προταση 21 διάγραμμα 2

Διαγραμμα II.

Έστω το τμήμα είναι ημικύκλιο ή μικρότερο, φέρτε την Blue line την διάμετρο, και επίσης φέρτε την Red line.

Yellow angle = Blue angle και Red angle = Black angle (περίπτωση Ι.)·
∴ Yellow and red angles = Blue and black angles .

Ο. Ε. Δ.

Προταση XXII. Θεωρημα.

Προταση 22 διάγραμμα

Το άθροισμα των απέναντι γωνιών Red and blue angles και Yellow and black angles , Black and blue angles και Yellow and red angles , εγγεγραμμένου σε κύκλο τετραπλεύρου είναι ίσο με δύο ορθές.

Φέρτε την Red line και την Black line τις διαγώνιες· και επειδή οι γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τμήμα είναι ίσες Left blue angle = Top blue angle ,
και Right red angle = Top red angle ·
προσθέστε Yellow and black angles και στις δύο.
∴ Red and blue angles + Yellow and black angles = Yellow and black angles + Left blue angle + Right red angle =
δύο ορθές (Β.1.πρ.32.). Με τον ίδιο τρόπο μπορεί να αποδειχτεί ότι,
Black and blue angles + Yellow and red angles = Two right angles .

Ο. Ε. Δ.

Προταση XXIII. Θεωρημα.

Προταση 23 διάγραμμα

Επανω σε κοινή χορδή και προς το ίδιο μέρος αυτής δεν είναι δυνατό να κατασκευαστούν δύο τμήματα κύκλου άνισα και όμοια

Διότι, εφόσον είναι δυνατόν,
ας είναι όμοια τα δύο κυκλικά τμήματα Blue segment και Red segment ·
φέρτε οποιαδήποτε γραμμή Red line που να τέμνει τα δύο τμήματα,
και φέρτε την Blue line και την Yellow line.

Επειδή τα τμήματα είναι όμοια,
Yellow angle = Blue angle (Β.3.ορ.10.),
αλλά Yellow angle > Blue angle (Β.1.πρ.16.)
όπερ άτοπον· επομένως κανένα σημείο σε οποιοδήποτε τμήμα δεν πέφτει εκτός του άλλου, και επομένως τα τμήματα συμπίπτουν.

Ο. Ε. Δ.

Προταση XXIV. Θεωρημα.

Προταση 24 διάγραμμα

Όμοια τμήματα κύκλων Red segment και Yellow segment με ίσες χορδές (Black line και Blue line) είναι ίσα.

Διότι, εάν το Yellow segment εφαρμοστεί έτσι στο Red segment ,
ώστε η Blue line να πέφτει πάνω στην Black line, τα άκρα της
Blue line θα είναι πάνω στα άκρα της Black line και
το Red curve στην ίδια μεριά όπως το Blue curve ·

επειδή Blue line = Black line,
η Blue line πρέπει πλήρως να συμπίπτει με την Black line·
και τα όμοια τμήματα που βρίσκονται πάνω στην ίδια χορδή και από την ίδια πλευρά, πρέπει επίσης να συμπίπτουν (Β3.πρ.23.), επομένως είναι ίσα.

Ο. Ε. Δ.

Προταση XXV. Προβλημα.

Προταση 25 διάγραμμα

Αν δοθεί κυκλικό τμήμα, να κατασκευάσετε τον κύκλο στον οποίο ανήκει το τμήμα.

Από τυχαίο σημείο επάνω στο τμήμα φέρτε την Blue line και την Black line, διχοτομήστε τις, και στα μέσα τους φέρτε καθέτους

την Yellow line ⊥ Blue line
και Red line ⊥ Black line
εκεί όπου αυτές τέμνονται είναι το κέντρο του κύκλου.

Επειδή η μεσοκάθετός Yellow line της χορδής Blue line θα περνά από το κέντρο (Β.3.πρ.1.) και όμοια, η Red line θα περνά από το κέντρο, το κέντρο του κύκλου θα βρίσκεται στην τομή των δύο αυτών μεσοκαθέτων.

Ο. Ε. Δ.

Προταση XXVI. Θεωρημα.

Προταση 26 διάγραμμα
Προταση 26 διάγραμμα

Εις ίσους κύκλους Blue circle και Red circle, ίσες γωνίες επίκεντρες ή εγγεγραμμένες βαίνουν σε ίσα τόξα Arc , Arc .

Κατ’αρχάς, ας είναι Yellow angle = Black angle επίκεντρες,
φέρτε την Black line και την Black dotted line.

Τότε, εφόσον Blue circle = Red circle,
τα Triangle και Triangle dotted έχουν
Blue line = Red line = Blue dotted line = Red dotted line,
και Yellow angle = Black angle ,
∴ Black line = Black dotted line (Β.1.πρ.4.).

αλλά Red angle = Blue angle (Β.3.πρ.20.)·
∴ Blue segment και Red segment είναι όμοια (Β.3.ορ.10)·
είναι επίσης ίσα (Β.3.πρ.24.)

Εάν επομένως τα ίσα τμήματα αφαιρεθούν από ίσους κύκλους, τα εναπομείναντα τμήματα θα είναι επίσης ίσα·

Επομένως Segment = Segment (αξ.3)·
∴ Arc = Arc .

Αλλά εάν οι δεδομένες ίσες γωνίες έχουν κορυφές στην περιφέρεια (είναι εγγεγραμμένες), είναι φανερό ότι οι αντίστοιχες επίκεντρες γωνίες, καθώς είναι διπλάσιες από τις εγγεγραμμένες, θα είναι επίσης ίσες, και επομένως τα τόξα στα οποία βαίνουν θα είναι ίσα.

Ο. Ε. Δ.

Προταση XXVII. Θεωρημα.

Προταση 27 διάγραμμα
Προταση 27 διάγραμμα

Εις ίσους κύκλους, Red circle και Blue circle, σε ίσα τόξα, βαίνουν ίσες γωνίες Yellow angles και Red angles , επίκεντρες είτε εγγεγραμμένες.

Διότι, εφόσον είναι δυνατόν, ας είναι η μία
Red angles μεγαλύτερη από την άλλη Yellow angles
και κάνετε
την Yellow and blue angles = Red angles

∴ Black and red dotted arc = Black dotted arc (Β.3.πρ.26.)
αλλά Black arc = Black dotted arc (εξ υποθ.)
∴ Black arc = Black and red dotted arc δηλαδή
τμήμα ίσο με το όλον, όπερ άτοπον· ∴ καμμία γωνία δεν είναι μεγαλύτερη από την άλλη ∴ είναι ίσες.

Ο. Ε. Δ.

Προταση XXVIII. Θεωρημα.

Προταση 28 διάγραμμα
Προταση 28 διάγραμμα

Εις ίσους κύκλους Yellow circle και Black circle, ίσες χορδές Red line, Red dotted line ορίζουν ίσα τόξα (μείζονα ή ελάσσονα).

Από τα κέντρα των ίσων κύκλων,
φέρτε τις Black line, Blue line και Black dotted line, Blue dotted line·
επειδή Yellow circle = Black circle
Black line, Blue line = Black dotted line, Blue dotted line
επίσης Red line = Red dotted line (εξ υποθ.)
∴ Red angle = Yellow angle
∴ Blue arc = Red arc (Β.3πρ.26.)
∴ Yellow arc = Black arc (αξ.3.)

Ο. Ε. Δ.

Προταση XXIX. Θεωρημα.

Προταση 29 διάγραμμα
Προταση 29 διάγραμμα

Εις ίσους κύκλους Yellow circle και Black circle ίσα τόξα ορίζουν ίσες χορδές Red line και Red dotted line.

Εάν τα ίσα τόξα είναι ημικύκλια η πρόταση είναι προφανής. Αν όχι,
φέρτε τις Black line, Blue line, και Black dotted line, Blue dotted line
προς τα κέντρα·
επειδή Blue arc = Red arc (εξ υποθ.)
και Red angle = Yellow angle (Β.3.πρ.27.)·
αλλά Black line και Blue line = Black dotted line και Blue dotted line
∴ Red line = Red dotted line (Β.1.πρ.4.)·
αλλά αυτές είναι οι χορδές που ορίζουν τα ίσα τόξα.

Ο. Ε. Δ.

Προταση XXX. Προβλημα.

Προταση 30 διάγραμμα

Να διχοτομηθεί δοθέν τόξο Red and dotted red arc .

Φέρτε την Black and dotted black line ·
κάνετε την Black line = Black dotted line,
φέρτε την Yellow line ⊥ Black and dotted black line , η οποία θα διχοτομεί το τόξο.
Φέρτε την Blue dotted line και την Blue line.
Black line = Black dotted line (εκ κατάσκ.),
η Yellow line είναι κοινή,
και Blue angle = Red angle (εκ κατάσκ.)
∴ Blue dotted line = Blue line (Β.1.πρ.4.)
Red arc = Red dotted arc (Β.3.πρ.28.),
και επομένως το δεδομένο τόξο διχοτομήθηκε.

Ο. Ε. Π.

Προταση XXXI. Θεωρημα.

Διαγραμμα I.
Πρόταση 31 διάγραμμα 1

Η γωνια που αντιστοιχεί σε ημικύκλιο είναι ορθή, ενώ η γωνία που αντιστοιχεί σε τόξο μεγαλύτερο ημικυκλίου είναι οξεία και η γωνία που αντιστοιχεί σε τόξο μικρότερο ημικυκλίου είναι αμβλεία.

Διαγραμμα I.

Η γωνία Yellow and black angles που αντιστοιχεί (βαίνει) σε ημικύκλιο είναι ορθή.

Φέρτε την Red line και την Blue and black line
Red angle = Yellow angle και Blue angle = Black angle (Β.1.πρ.5.)
Blue angle + Red angle = Yellow and black angles = η μισή των
δύο ορθών γωνιών = ορθή γωνία (Β.1.πρ.32.)

Διαγραμμα II.
Πρόταση 31 διάγραμμα 2

Διαγραμμα II.

Η γωνία Blue angle που βαίνει σε τόξο μεγαλύτερο του ημικύκλιου είναι οξεία.

Φέρτε την Red line την διάμετρο, και την Blue line
∴ Blue and red angles = ορθή
∴ Blue angle είναι οξεία.

Διαγραμμα III.
Πρόταση 31 διάγραμμα 3

Διαγραμμα III.

Η γωνία Red angle που βαίνει σε τόξο μικρότερο του ημικύκλιου είναι αμβλεία.

Πάρτε στο απέναντι τόξο οποιοδήποτε σημείο, και φέρτε προς αυτό την Blue line και την Red line.

Επειδή Yellow angle + Red angle = Two right angles (Β.3.πρ.22.)
Αλλά Yellow angle < Right angle (2ο Μέρος),
∴ Red angle είναι αμβλεία.

Ο. Ε. Δ.

Προταση XXXII. Θεωρημα.

Πρόταση 32 διάγραμμα

Αν μια ευθεία Blue line εφάπτεται σε κύκλο, και από το σημείο επαφής φέρουμε τέμνουσα του κύκλου Red line, οι γωνίες Bottom yellow angle που σχηματίζει η ευθεία με την εφαπτομένη θα είναι ίσες με τις γωνίες που είναι εγγεγραμμένες στον κύκλο και βαίνουν στο τόξο της χορδής Top yellow angle .

Αν η χορδή περνά από το κέντρο είναι προφανές ότι οι γωνίες είναι ίσες καθώς είναι και οι δύο ορθές. (Β.3.πρ.16,31.)

Αν όχι, φέρτε την Black line ⊥ Blue line από το σημείο επαφής, η οποία πρέπει να περάσει από το κέντρο του κύκλου, (Β.3.πρ.19.)

∴ Black angle = Right angle (Β.3.πρ.31.)
Top yellow angle + Blue angle = Right angle = Blue and yellow angles (Β.3.πρ.32.)
∴ Top yellow angle = Bottom yellow angle (αξ.).
Επίσης, Outlined, blue and yellow angles = Two right angles = Top yellow angle + Red angle (Β.3.πρ.22.)

∴ Outlined and blue angles = Red angle , (αξ.), η οποία είναι η γωνία στο άλλο τμήμα.

Ο. Ε. Δ.

Προταση XXXIII. Προβλημα.

Πρόταση 33 διάγραμμα

Επι δοθέντος τμήματος Black line να γράψετε κυκλικό τμήμα, που να δέχεται γωνία ίση προς δοθείσα ευθύγραμμη γωνία Right angle , Obtuse angle , Black angle .

Αν η δεδομένη γωνία είναι ορθή, διχοτομήστε την και εγγράψετε ημικύκλιο σε αυτή, το οποίο προφανώς θα δέχεται ορθή γωνία. (Β.3.πρ.31.)

Αν η δεδομένη γωνία είναι αμβλεία ή οξεία, με την δεδομένη γραμμή ως άκρο κατασκευάστε,

Yellow angle = Black angle , φέρτε την Blue line ⊥ Red line και
κάνετε Top red angle = Bottom red angle , κατασκευάστε Blue circle
με ακτίνα Blue line ή Yellow line, καθώς είναι ίσες.

Η Red line είναι εφαπτόμενη στον Blue circle (Β.3.πρ.16.)
∴ η Black line διαιρεί τον κύκλο σε δύο τμήματα
τα οποία δέχονται γωνίες Outlined and red angles και Yellow angle
οι οποίες κατασκευάστηκαν αντίστοιχα ίσες με
τις Obtuse angle και Black angle (Β.3.πρ.32.)

Ο. Ε. Π.

Προταση XXXIV. Προβλημα.

Πρόταση 34 διάγραμμα

Απο δοθέντα κύκλο Blue circle να αφαιρεθεί τμήμα το οποίο να δέχεται γωνία ίση με δοθείσα γωνία Red angle .

Φέρτε την Red line (Β.3.πρ.17.), εφαπτόμενη σε κύκλο· στο σημείο επαφής κάνετε

Blue angle = Red angle την δεδομένη γωνία·
και το Segment δέχεται γωνία = δεδομένη γωνία.

Διότι η Red line είναι εφαπτόμενη,
και η Black line την τέμνει, η
γωνία που δέχεται το Segment = Blue angle (Β.3.πρ.32.),
αλλά η Blue angle = Red angle (εκ κατασκ.)

Ο. Ε. Π.

Προταση XXXV. Θεωρημα.

Διαγραμμα I.
Πρόταση 35 διάγραμμα 1

Αν σε κύκλο δύο χορδές { Blue and dotted blue line Black and dotted black line } τέμνονται, τότε το ορθογώνιο το περιεχόμενο από τα τμήματα της μιας είναι ισοδύναμο με το ορθογώνιο που περιέχεται στα τμήματα της άλλης.

Διαγραμμα I.

Αν οι δεδομένες ευθείες διέρχονται από το κέντρο, διχοτομούνται στο σημείο τομής, επομένως τα περιεχόμενα ορθογώνια είναι τα τετράγωνα των ημίσεών τους και άρα ίσα.

Διαγραμμα II.
Πρόταση 35 διάγραμμα 2

Διαγραμμα II.

Έστω η Black dotted, red dotted, and black line περνάει από το κέντρο, και
η Blue and dotted blue line όχι· φέρτε την Yellow line και την Red line.
Τότε Blue line × Blue dotted line = Yellow line2 − Red dotted line2 (Β.2.πρ.6.),
η Blue line × Blue dotted line = Black and red dotted line 2 − Red dotted line2.
∴ Blue line × Blue dotted line = Red dotted and black line × Black dotted line (Β.2.πρ.5.).

Διαγραμμα III.
Πρόταση 35 διάγραμμα 3

Διαγραμμα III.

Έστω ότι καμμία από τις ευθείες δεν διέρχεται από το κέντρο, από το σημείο τομής τους φέρτε την διάμετρο Red dotted and red line ,

και Red dotted line × Red line = Blue line × Blue dotted line (2ο Μέρος),
επίσης Red dotted line × Red line = Black line × Black dotted line (2ο Μέρος)·
∴ Blue line × Blue dotted line = Black line × Black dotted line.

Ο. Ε. Δ.

Προταση XXXVI. Θεωρημα.

Διαγραμμα I.
Πρόταση 36 διάγραμμα 1

Αν από σημείο εκτός κύκλου φέρουμε μια τέμνουσα Black, dotted red, and red line και μια εφαπτομένη του κύκλου Blue line, τότε το ορθογώνιο που περιέχεται από την τέμνουσα Black, dotted red, and red line και το μέρος της τέμνουσας που βρίσκεται στο εξωτερικό του κύκλου Red line είναι ισοδύναμο του τετραγώνου με πλευρά την εφαπτομένη Blue line.

Διαγραμμα I.

Έστω η Black, dotted red, and red line περνά από το κέντρο·
φέρτε την Yellow line από το κέντρο στο σημείο επαφής·
Blue line2 = Dotted red, and red line 2 minus Yellow line2 (Β.1.πρ.47),
η Blue line2 = Dotted red, and red line 2 μείον Red dotted line2,
∴ Blue line2 = Black, dotted red, and red line × Red line (Β.2.πρ.6.).

Διαγραμμα II.
Πρόταση 36 διάγραμμα 2

Διαγραμμα II.

Αν η Dotted red, and red line δεν περνά από το κέντρο,
Φέρτε την Yellow dotted line και την Blue dotted line.

τότε Dotted red, and red line × Red line = Black line2 μείον Blue dotted line2
(Β.2.πρ.6.), δηλαδή,
Dotted red, and red line × Red line = Black line2 μείον Yellow line2,
∴ Dotted red, and red line × Red line = Blue line2 (Β.3.πρ.18).

Ο. Ε. Δ.

Προταση XXXVII. Προβλημα.

Πρόταση 37 διάγραμμα

Αν από σημείο εκτός κύκλου φέρουμε μια τέμνουσα Black and dotted black line και μια προσπίπτουσα Red line και το ορθογώνιο των δύο τμημάτων της τέμνουσας Black and dotted black line και Black dotted line, είναι ισοδύναμο με το τετράγωνο της προσπίπτουσας, τότε η προσπίπτουσα Red line εφάπτεται του κύκλου.

Από το δεδομένο σημείο φέρτε
Blue line, εφαπτόμενη στον κύκλο, και φέρτε από το
κέντρο τις Yellow line, Red dotted line, και Blue dotted line,
Blue line2 = Black and dotted black line × Black dotted line (Β.3.πρ.36.)
αλλά Red line2 = Black and dotted black line × Black dotted line (εξ υποθ.),
∴ Red line2 = Blue line2,
και ∴ Red line = Blue line·

τότε στα Red triangle και Blue triangle
Red dotted line και Red line = Blue dotted line και Blue line,
και η Yellow line είναι κοινή,
∴ Blue angle = Red angle (Β.1.πρ.8.)·
αλλά Red angle = Right angle ορθή (Β.3.πρ.18.),
∴ Blue angle = Right angle ορθή,
και ∴ η Red line είναι εφαπτόμενη του κύκλου (Β.3.πρ.16.).

Ο. Ε. Δ.

Βιβλια.

  1. Βιβλιο I. Βασική γεωμετρία του επιπέδου
  2. Βιβλιο II. Γεωμετρική άλγεβρα
  3. Βιβλιο III. Ο κύκλος και τα στοιχεία του
  4. Βιβλιο IV. Κανονικά πολύγωνα
  5. Βιβλιο V. Λόγοι και αναλογίες
  6. Βιβλιο VI. Ομοιότητα ευθύγραμμων σχημάτων