Πήγαινε σε

Βιβλιο II

Ορισμος I.

Ορισμος 1 διάγραμμα

Καθε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο λέμε ότι περιέχεται μεταξύ των πλευρών μιας ορθής γωνίας του.

Δηλαδή: το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο Rectangle λέμε ότι περιέχεται από τις πλευρές Black line και Red line· μπορεί εν συντομία να αναφέρεται σαν Black line· Red line.

Αν οι γειτονικές του πλευρές είναι ίσες, δηλαδή Black line = Red line, τότε το Black line · Red line που είναι το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο που περιέχεται μεταξύ των Black line και Red line είναι τετράγωνο, και

είναι ίσο με { Black line · Red line ή Red line2 Black line · Red line ή Black line2

Ορισμος II.

Ορισμος 2 διάγραμμα

Εις κάθε παραλληλόγραμμο, το σχήμα που συντίθεται από ένα από τα παραλληλόγραμμα περί της διαγωνίου, μαζί με τα δυό του παραπληρώματα, ονομάζεται Γνώμων.

Δηλαδή τα Blue and yellow parallelograms και Red and yellow parallelograms ονομάζονται Γνώμονες.

Προταση I. Θεωρημα.

Προταση 1 διάγραμμα

Το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο που περιέχεται μεταξύ δύο ευθύγραμμων τμημάτων, ένα από τα οποία διαιρείται σε οποιοδήποτε πλήθος μικρότερων τμημάτων, Blue, red, and yellow lines · Black line = { Black line · Blue line +Black line · Red line +Black line · Yellow line είναι ισοδύναμο με το άθροισμα των ορθογωνίων παραλληλογράμμων που περιέχονται από την ολόκληρη γραμμή και τα διάφορα τμήματα της διαιρεμένης ευθείας.

Φέρτε ευθεία Black line Blue, red, and yellow lines και = Black line (πρ.2,3,Β.1)· δηλαδή συμπληρώστε τα παραλληλόγραμμα,

φέρτε { Blue, red, and yellow dotted lines Blue, red, and yellow lines Black dotted lines Black line } (πρ.31.Β.1.)

Yellow, blue, and red rectangles = Yellow rectangle + Blue rectangle + Red rectangle
Yellow, blue, and red rectangles = Blue, red, and yellow lines · Black line
Yellow rectangle = Blue line · Black line, Blue rectangle = Red line · Black line,
Red rectangle = Yellow line · Black line

Blue, red, and yellow lines · Black line = Blue line · Black line + Red line · Black line + Yellow line · Black line.

Ο. Ε. Δ.

Σ.τ.Μ. α(β + c + d + ···) = αβ + αc + αd + ···

Προταση II. Θεωρημα.

Προταση 2 διάγραμμα

Αν τμήμα διαιρείται σε δύο οποιαδήποτε μέρη Blue and red lines , τότε το τετράγωνο με πλευρά το τμήμα είναι ισοδύναμο με το άθροισμα των ορθογωνίων με διαστάσεις το δοθέν τμήμα και τα τμήματα στα οποία το τμήμα αυτό διαιρείται. Blue and red lines 2 = { Blue and red lines · Blue line + Blue and red lines · Red line

Κατασκευάστε το Yellow and red rectangles (Β.1.πρ.46.)
φέρτε την Black line παράλληλη στην Black dotted line (Β.Ι.πρ.31.)
Yellow and red rectangles = Blue and red lines 2
Red rectangle = Black line · Blue line = Blue and red lines · Blue line
Yellow rectangle = Black line · Red line = Blue and red lines · Red line
Yellow and red rectangles = Red rectangle + Yellow rectangle
Blue and red lines 2 = Blue and red lines · Blue line + Blue and red lines · Red line.

Ο. Ε. Δ.

Σ.τ.Μ. αβ + αc = α2 εάν α = β + c

Προταση III. Θεωρημα.

Προταση 3 διάγραμμα

Αν τμήμα διαιρείται σε δύο οποιαδήποτε επιμέρους τμήματα Blue and red lines , τότε το ορθογώνιο που ορίζεται από ολοκληρο το τμήμα και οποιοδήποτε από τα δύο μέρη του, είναι ισοδύναμο με το το τετράγωνο με πλευρά αυτό του το μέρος συν το ορθογώνιο που περιέχεται στα δύο του τμήματα.

Blue and red lines · Blue line = Blue line2 + Blue line · Red line, ή, Blue and red lines · Red line = Red line2 + Blue line · Red line.

Κατασκευάστε το Red rectangle (πρ.46,Β.1.)

Συμπληρώστε το Yellow rectangle (πρ.31,Β.1.)

Τότε Red and yellow rectangles = Red rectangle + Yellow rectangle , αλλά
Red and yellow rectangles = Blue and red lines · Blue line και

Red rectangle = Blue line2, Yellow rectangle = Blue line · Red line,
Blue and red lines · Blue line = Blue line2 + Blue line · Red line.

Με το ίδιο τρόπο μπορεί να αποδειχτεί ότι Blue and red lines · Red line = Red line2 + Blue line · Red line.

Ο. Ε. Δ.

Σ.τ.Μ. αβ + (α + β) α = αβ + α2

Προταση IV. Θεωρημα.

Πρόταση 4 διάγραμμα

Αν ευθύγραμμο τμήμα διαιρεθεί σε δύο μέρη Bottom blue and red lines , το τετράγωνο του όλου τμήματος είναι ίσο με τα τετράγωνα των δύο μερών συν το διπλάσιο ορθογώνιο που περιέχουν τα δύο μέρη.

Bottom blue and red lines 2 = Blue line2 + Red line2 + διπλάσιο του Blue line · Red line.

Κατασκευάστε το Bottom and right sides of square from blue and red lines (πρ.46, Β.1.)
φέρτε την Diagonal black and dotted black lines (αιτ.Ι.),
και { Vertical blue and dotted black lines Bottom blue and red lines Horizontal red and dotted red lines Right blue and red lines } (πρ.31,Β.1.)

Blue angle = Yellow angle (πρ.5,Β.1.),

Blue angle = Red angle (πρ.29,Β.1.)

Yellow angle = Red angle

λόγω των (πρ. 6, 29, 34.,Β.1) το Blue square with triangle είναι τετράγωνο = Blue line2.

Για τον ίδιο λόγο το Red square with triangle = είναι τετράγωνο = = Red line2,
Top yellow rectangle = Bottom yellow rectangle = Blue line · Red line (πρ.43.Β.1)
Αλλά Blue square, red square, and yellow rectangles = Blue square with triangle + Top yellow rectangle + Bottom yellow rectangle + Red square with triangle ,
Bottom blue and red lines 2 = Blue line2 + Red line2 + 2 · Blue line · Red line.

Ο. Ε. Δ.

Σ.τ.Μ. (α + β)2 = α2 + β2 + 2αβ

Προταση V. Θεωρημα.

Πρόταση 5 διάγραμμα

Αν τμήμα διαιρεθεί από το μέσο του σε δύο ίσα τμήματα Bottom red, blue, and yellow lines και από ένα σημείο του σε δύο άνισα τμήματα Bottom red, blue, and yellow lines , το ορθογώνιο που ορίζουν τα δύο άνισα τμήματα συν το τετράγωνο που έχει πλευρά το τμήμα με άκρα τα σημεία διαίρεσης, είναι ίσα με το τετράγωνο που έχει πλευρά το μισό του αρχικού τμήματος.

Red line · Bottom blue and yellow lines + Blue line2 = Yellow line2 = Red and blue lines 2,

Κατασκευάστε Blue, red, and yellow rectangles (πρ.46,Β.1.), φέρτε την Black line και { Red and dotted black line Red and dotted blue lines Dotted black and yellow lines Bottom red, blue, and yellow lines Red dotted line Red and dotted blue lines } (πρ.31,Β.1.)

Black rectangle = Blue and bottom yellow rectangles (πρ.36,Β.1.)

Top yellow rectangle = Bottom yellow rectangle (πρ.43,Β.1.)

(αξ.2.) Lower left gnomon rectangles = Black, red, and bottom yellow rectangles = Bottom blue and yellow lines · Red line
αλλά Red rectangle = Blue line2 (πρ.4.Β.2.)
και Blue, red, and yellow rectangles = Red and blue lines 2 (εκ κατασκ.)

(αξ.2.) Blue, red, and yellow rectangles = Red, black, and bottom yellow rectangles
Red line · Bottom blue and yellow lines + Blue line2 =
Yellow line2 = Red and blue lines 2.

Ο. Ε. Δ.

Σ.τ.Μ. αβ + [(α + β) / 2 − β]2 = [(α + β) / 2]2

Προταση VI. Θεωρημα.

Πρόταση 6 διάγραμμα

Αν τμήμα διαιρεθεί στο μέσο του Blue and yellow lines και προεκταθεί οσοδήποτε Red, blue, and yellow lines , τότε το ορθογώνιο του νέου, εκτεταμένου τμήματος και της προέκτασής του, συν το τετράγωνο του μισού αρχικού τμήματος είναι ισοδύναμο με το τετράγωνο του τμήματος που απαρτίζεται από το μισό αρχικό τμήμα συν την προέκταση.

Red, blue, and yellow lines · Red line + Blue line2 = Red and blue lines 2.

Κατασκευάστε Yellow rectangles and red and blue squares (πρ.46,Β.1.), φέρτε την Black line
και { Red and dotted blue lines Red and dotted black lines Dotted black line and yellow line Red, blue, and yellow lines Red dotted line Red and dotted black lines } (πρ.31,Β.1.)

Top yellow rectangle = Bottom yellow rectangle = Black rectangle (πρ.36, 43,Β.1.)

Lower left gnomon = Blue, yellow, and black rectangles = Red line · Red, blue, and yellow lines ;
Red rectangle = Blue line2 (πρ.4.Β.2.)

Yellow rectangles and red and blue squares = Red and blue lines 2 = Blue and red squares and yellow and black rectangles (εκ κατασκ. αξ.2.)

Red, blue, and yellow lines · Red line + Blue line2 = Red and blue lines 2.

Ο. Ε. Δ.

Σ.τ.Μ. (2α + β) β + α2 = (α + β)2

Προταση VII. Θεωρημα.

Πρόταση 7 διάγραμμα

Αν ευθύγραμμο τμήμα διαιρεθεί σε δύο οποιαδήποτε μέρη Bottom blue and red lines , το τετράγωνο του ολόκληρου τμήματος συν το τετράγωνο ενός από τα μικρότερα τμήματα ισούται με δύο φορές το ορθογώνιο που περιέχεται από το ολόκληρο τμήμα και ένα από τα μικρότερα τμήματα συν το τετράγωνο του άλλου.

Bottom blue and red lines 2 + Red line2 = 2 Bottom blue and red lines · Red line + Blue line2

Κατασκευάστε το All rectangles and squares , (πρ.46,Β.1.).

φέρτε την Black line (αίτ.1.), Και τις { Right blue and black dotted lines Yellow line Top dotted black and red lines Bottom blue and red lines } (πρ.31,Β.1.).

Yellow rectangle = Black rectangle (πρ.31,Β.1.),
προσθέστε Blue rectangle = Red line2 και στις δύο (πρ.4,Β.2.)

Yellow rectangle and blue square = Blue square and black rectangle = Bottom blue and red lines · Red line
Red rectangle = Blue line2 (πρ.4,Β.2.)

Yellow rectangle and blue square + Blue square and black rectangle + Red rectangle = 2 Bottom blue and red lines · Red line + Blue line2 = All rectangles and squares + Blue rectangle ;

Bottom blue and red lines 2 + Red line2 = 2 Bottom blue and red lines · Red line + Blue line2.

Ο. Ε. Δ.

Σ.τ.Μ. (α + β)2 + α2 = 2(α + β) α + β2

Προταση VIII. Θεωρημα.

Πρόταση 8 διάγραμμα

Αν ευθύγραμμο τμήμα διαιρεθεί σε δύο οποιαδήποτε μέρη Blue and red line , το τετράγωνο του αθροίσματος του ολόκληρου τμήματος και οποιουδήποτε από τα μέρη του, ισούται με τέσσερις φορές το ορθογώνιο που περιέχεται από την ολόκληρη γραμμή και ενός από τα μέρη του συν το τετράγωνο του άλλου μέρους.

Blue, red, and yellow line 2 = 4 · Blue and red line · Red line + Blue line2,

Προεκτείνετε την Blue and red line και κάνετε την Yellow line = Red line

κατασκευάστε το All lines (πρ.46,Β.1.);
φέρτε την Black line, Blue and dotted blue line Blue and dotted black line } Blue, red, and yellow line Dotted black and red line Dotted and solid red line } Blue, red, and yellow line } (πρ.31,Β.1.) Blue, red, and yellow line 2 = Yellow line2 + Blue and red line 2 + 2 · Blue and red line · Yellow line (πρ.4,Β.ΙΙ.)
αλλά Red line2 + Blue and red line 2 = 2 · Blue and red line · Red line + Blue line2 (πρ.7.Β.ΙΙ.)
Blue, red, and yellow line 2 = 4 · Blue and red line · Red line + Blue line2.

Ο. Ε. Δ.

Σ.τ.Μ. 4(α + β) α + β2 = [(α + β) + α]2

Προταση IX. Θεωρημα.

Πρόταση 9 διάγραμμα

Αν ευθύγραμμο τμήμα διαιρεθεί σε δύο ίσα μέρη Blue and red/yellow lines και επίσης σε δύο άνισα μέρη Blue/yellow and red lines , τα τετράγωνα των άνισων μερών έχουν άθροισμα διπλάσιο από το άθροισμα του τετραγώνου του ημίσεος τμήματος και του τετραγώνου του τμήματος που ορίζεται από τα σημεία διαίρεσης.

Blue and yellow lines 2 + Red line2 = 2Blue line2 + 2Yellow line2.

Κατασκευάστε την Blue and dotted blue lines και = Blue line ή την Yellow and red lines ,
φέρτε τις Black dotted line και Dotted yellow and black lines ,
Red and dotted red lines Blue and dotted blue lines , Black and yellow lines Blue and yellow lines , και φέρτε την Black line.

Bottom yellow angle = Top yellow angle (πρ.5,Β.1.) = ήμισυ ορθής γωνίας. (πρ.32,Β.1.)
Blue angle = Black angle (πρ.5,Β.1.) = ήμισυ ορθής γωνίας. (πρ.32,Β.1.)
Yellow and red angles = ορθή.

Blue angle = Top red angle = Bottom red angle = Black angle (πρ.5, 29,B.1.).
Επομένως Red and dotted red lines = Red line, Blue dotted line = Black and yellow lines = Yellow line (πρ.6, 34,B.1.)
Black line2 = { Blue and yellow lines 2 + Red and dotted red lines 2, or + Red line2 = { Black dotted line2 = 2Blue line2 (πρ.47,Β.1.) Black and dotted black lines = 2Yellow line2 Blue and yellow lines 2 + Red line2 = 2Blue line2 + 2Yellow line2.

Ο. Ε. Δ.

Σ.τ.Μ. α2 + β2 = 2[([α + β] / 2)2 + ([α + β] / 2 − β)2]

Προταση X. Θεωρημα.

Πρόταση 10 διάγραμμα

Αν ευθύγραμμο τμήμα Red and yellow line διχοτομηθεί και προεκταθεί οσοδήποτε Red, yellow, and blue line , το άθροισμα των τετραγώνων του ολόκληρου τμήματος και της προέκτασής του είναι διπλάσιο του τετραγώνου του ημίσεος τμήματος και του τμήματος που αποτελείται από το ήμισυ τμήμα συν την προέκτασή του.

Red, yellow, and blue line 2 + Blue line2 = 2Yellow line2 + 2 Yellow and blue line 2.

Κατασκευάστε την Black and red lines και = στην Red line ή την Yellow line,
φέρτε την Red and yellow line και την Black and dotted black line ,
και { Red and dotted red line Black and red lines Yellow and dotted yellow line Yellow and blue line } (πρ.31,Β.1.); επίσης φέρτε τη Black line.

Black angle = Left yellow angle (πρ.5,Β.1.) = ήμισυ ορθής (πρ.32,Β.1.)
Left red angle = Right yellow angle (πρ.5,Β.1.) = ήμισυ ορθής (πρ.32,Β.1.)
Yellow angles = ορθή.
Right red angle = Left red angle = Right yellow angle = Left blue angle = Right blue angle =
ήμισυ ορθής (πρ.5, 32, 29, 34,Β.1.),
και Blue line = Red dotted line, Yellow and blue line = Yellow and dotted yellow line = Red and dotted red line , (πρ.6, 34,Β.1.). Επομένως λόγω του (πρ.47,Β.1.) Black line2 = { Red, yellow, and blue line 2 + Red dotted line2 or Blue line2 { + Red and yellow line 2 = 2Red line2 + Black and dotted black line 2 = 2 Yellow and dotted yellow line 2 Red, yellow, and blue line 2 + Blue line2 = 2Yellow line2 + 2 Yellow and blue line 2.

Ο. Ε. Δ.

Σ.τ.Μ. (2α + β)2 + β2 = 2[α2 + (α + β)2]

Προταση XI. Προβλημα.

Πρόταση 11 διάγραμμα

Να διαιρεθεί δοσμένο ευθύγραμμο τμήμα Red and dotted red line ώστε το ορθογώνιο που ορίζει το τμήμα και το ένα μέρος του να είναι ισοδύναμο με το τετράγωνο που έχει πλευρά το άλλο μέρος.

Red and dotted red line · Red dotted line = Red line2.

Κατασκευάστε το Yellow and blue square (πρ.46,Β.1.),
κάνετε την Blue line = Blue dotted line (πρ.10,Β.1.),
φέρτε την Black line,
πάρτε Blue and yellow line = Black line (πρ.3,Β.1.),
πάνω στην Yellow line κατασκευάστε το Blue square (πρ.46,Β.1.),

προεκτείνετε την Black dotted line (αιτ.2.).

Tότε, (πρ.6,Β.2.) Blue dotted, blue, and yellow line · Yellow line + Blue line2 = Blue and yellow line 2 = Black line2 = Red and dotted red line 2 + Blue line2 Blue dotted, blue, and yellow line · Yellow line = Red and dotted red line 2, ή,
Yellow rectangle and blue square = Yellow and blue square Blue square = Blue rectangle
Red and dotted red line · Red dotted line = Red line2.

Ο. Ε. Π.

Σ.τ.Μ. Αυτή η διαίρεση ευθύγραμμου τμήματος, έτσι ώστε ο λόγος του μεγαλύτερου τμήματος προς το όλον να είναι ίσος με το λόγο του μικρότερου τμήματος προς το μεγαλύτερο, ονομάζεται συνεχής διαίρεση, ή διαίρεση σε άκρο και μέσο λόγο ή και χρυσή τομή.

Προταση XII. Προβλημα.

Πρόταση 12 διάγραμμα

Εις κάθε αμβλυγώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο της πλευράς που βρίσκεται απέναντι από την αμβλεία γωνία είναι μεγαλύτερο από το άθροισμα των τετραγώνων των δύο πλευρών που περιέχουν τη γωνία κατά το διπλάσιο του γινομένου της μίας επί την προβολή της άλλης σ’ αυτή.

Blue line2 > Black line2 + Red line2 κατά 2Black line · Black dotted line.

Σύμφωνα με την πρ.4,Β.2.
Black and dotted black line 2 = Black line2 + Black dotted line2 + 2Black line · Black dotted line:
προσθέστε Yellow line2 και στις δύο
Black and dotted black line 2 + Yellow line2 = Blue line2 (πρ.7,Β.1.) = 2 · Black line · Black dotted line + Black line2 + { Black dotted line2 Yellow line2 } ή + Red line2 (πρ.47,Β.1.). Επομένως, Blue line2 = 2 · Black line · Black dotted line + Black line2 + Red line2: Άρα Blue line2 > Red line2 + Blue line2 κατά 2 · Black line · Black dotted line.

Ο. Ε. Π.

Σ.τ.Μ. Αυτή η πρόταση καθώς και η επόμενη είναι η επέκταση του πυθαγορείου θεωρήματος σε μη ορθογώνια τρίγωνα και είναι ισοδύναμη με τον γνωστό τύπο του συνημιτόνου: Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: ΒΓ2 = ΑΒ2 + ΑΓ2 − 2ΑΒ ΑΓ cosΒΑΓ. Αν η γωνία ΒΑΓ είναι αμβλεία το συνημίτονο θα είναι αρνητικό και επομένως ο τρίτος όρος θα προστίθεται, αν είναι οξεία το συνημίτονο θα είναι θετικό και άρα ο τρίτος όρος θα αφαιρείται. Αν η γωνία ΒΑΓ είναι ορθή ο όρος μηδενίζεται και έχουμε το πυθαγόρειο θεώρημα.

Προταση XIII. Προβλημα.

Πρόταση 13 διάγραμμα Πρωτο Δευτερο

Εις κάθε οξυγώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο της πλευράς που βρίσκεται απέναντι από την οξεία γωνία είναι μικρότερο από το άθροισμα των τετραγώνων των πλευρών που περιέχουν τη γωνία κατά το διπλάσιο του γινομένου της μιας από αυτές επί την προβολή της άλλης επ’ αυτή.

Πρωτο.

Blue line2 < Black and dotted black line 2 + Red line2 κατά 2 · Black and dotted black line · Black line.

Δευτερο.

Blue line2 < Red line2 + Black line2 κατά 2 · Black line · Black and dotted black line .

Πρώτα, υποθέστε ότι η κάθετος βρίσκεται εντός του τριγώνου, τότε (πρ.7,Β.2.)
Black and dotted black line 2 + Black line2 = 2 · Black and dotted black line · Black line + Black dotted line2,
προσθέστε Yellow line2 στο καθένα, οπότε,
Black and dotted black line 2 + Black line2 + Yellow line2 = 2 · Black and dotted black line · Black line + Black dotted line2 + Yellow line2
(πρ.47,Β.1.)
Black and dotted black line 2 + Red line2 = 2 · Black and dotted black line · Black line + Blue line2, και Blue line2 < Black and dotted black line 2 + Red line2 κατά 2 · Black and dotted black line · Black line.

Στη συνέχεια υποθέστε ότι η κάθετος πέφτει εκτός του τριγώνου, τότε (πρ.7,Β.2.)
Black and dotted black line 2 + Black line2 = 2 · Black and dotted black line · Black line + Black dotted line2,
προσθέστε Yellow line2 στο καθένα, τότε
Black and dotted black line 2 + Yellow line2 + Black line2 = 2 · Black line · Black line + Black dotted line2 + Yellow line2 (πρ.47,Β.1.),
Red line2 + Black line2 = 2 · Black and dotted black line · Black line + Blue line2, Blue line2 < Red line2 + Black line2 κατά 2 · Black and dotted black line · Black line.

Ο. Ε. Π.

Προταση XIV. Προβλημα.

Πρόταση 14 διάγραμμα

Να κατασκευαστεί τετράγωνο ισοδύναμο προς δεδομένο ευθύγραμμο σχήμα.
Να κατασκευαστεί Blue line τέτοια ώστε Blue line2 = Rectilinear figure

Κατασκευάστε Rectangle = Rectilinear figure (πρ.45,Β.1.),
προεκτείνετε την Dotted blue and black solid line έως ότου Black line = Yellow line
πάρτε Black and blue dotted line = Black line (πρ.10,Β.1.),

κατασκευάστε Semicircle (αίτ.3.),
και προεκτείνετε την Yellow line μέχρι να την τμήσει, φέρτε την Red line.
Black line2 or Red line2 = Black dotted line · Dotted blue and black solid line + Blue dotted line2 (πρ.5,Β.2.),
but Red line2 = Blue line2 + Blue dotted line2 (πρ.47,Β.1.);
Blue line2 + Blue dotted line2 = Black dotted line · Dotted blue and black solid line + Blue dotted line2
Blue line2 = Black dotted line · Dotted blue and black solid line , και
Blue line2 = Rectangle = Rectilinear figure

Ο. Ε. Π.